高中數學圓錐曲線題目的解題技巧探討

河北省保定市高陽中學 趙梓涵

圓錐曲線是幾何學習過程中的重要知識點，是解析幾何中的重要部分，也是高考的考核重點，想要取得好成績，就要突破這一難關。在進行數學學習時常常會因為題中涉及相關圓錐曲線知識而感受到一定的學習阻力，那么怎樣將課本中提到的知識點運用到解題中去？本文會提出一些看法，解決在圓錐曲線學習中遇到的問題，對與圓錐曲線相關的題型進行分析，熟練掌握其定義和性質，在解題中進行運用。

一、圓錐曲線的定義和性質

很多圓錐曲線問題的設定都是從其定義開始著手的，再通過定義擴展為性質，建立題目，這就需要我們熟練地對定義和性質進行掌握，并學會靈活運用，再通過這些知識進行題目解析，理順解題思路，解答問題，提高準確率。同時，要對橢圓、拋物線和雙曲線的定義和性質進行掌握，這樣就能夠在遇到焦半徑類的問題時，用定義解答。

例1：某舞臺燈光師想要在地板上進行圖案設計，將一處向下發光的支架和光源進行固定，兩者間角度為θ角，將支架一端固定在地板中心，另一端固定在天花板，當光源繞著支架以θ角做快速旋轉時，推測在地板上可能會形成的圖案。

解：設支架與地板夾角為α，當α=90°時，地板上圖案為圓；當θ＜α＜90°時，地板上圖案為橢圓；當α=θ時，地板上圖案為拋物線；當α＜θ時，地板上圖案為雙曲線的一支。

解題分析：在解答這道題時，主要的考查點就是圓錐曲線的定義，根據圓錐曲線的定義可以將旋轉情況細分為幾部分，分別討論當α=90°時、當θ＜α＜90°時、當α=θ時、當α＜θ時，地板上會出現的圖案形狀。

在遇到橢圓、雙曲線、拋物線和焦點三角形的問題時，我們就可以用正、余弦的相關知識結合圓錐曲線進行解答。

例2：已知橢圓與雙曲線存在公共焦點，兩條曲線的一個公共點為P，求cos∠F1PF2的值。

解：設P在第一象限中，根據橢圓和雙曲線定義可解得又|F1F2|=4,再通過余弦定理可得出 cos

解題分析：本題主要考查的知識點是橢圓、雙曲線的定義和余弦定理，想要解答本題，就要先明確問題的關鍵是在焦點三角形中，我們可以通過橢圓和雙曲線的定義與余弦定理的結合，用圓錐曲線的定義和余弦定理推算進行解答。

二、圓錐曲線與其他知識點的結合

在進行幾何題解析的過程中，圓錐曲線是其核心。通過圓錐曲線的應用，能夠將代數、向量、幾何和三角等數學知識結合起來，具有很強的綜合性，還能夠在解題過程中探索出新的解題方式。圓錐曲線會涉及很多的知識點，在解題過程中經常會因為解題形式太過復雜而放棄，想要解決這個問題，就要充分考慮題目的整體性，找出考查的重點，再進行知識點的運用。

試題解析：首先要明確本題的考查重點是雙曲線和拋物線的性質，想要解答這道題，就要對圓錐曲線的綜合知識進行充分運用，可以先通過雙曲線的方程求出左焦點的坐標，再通過方程式將準線方程表示出來，根據題意可得雙曲線的左焦點在拋物線y2=2px的準線上，關系式表示為先求出p的值，再得出雙曲線的離心率。

我們想要學好圓錐曲線，就要對相關知識點進行了解，牢記相關公式，確保在解題過程中能夠直接代入。

三、復習階段的題型訓練

在復習階段，我們對相關知識的掌握已經有了一定基礎，復習題型要以綜合性作為主要的考慮點，積累解題經驗，要將橢圓和圓的相關知識作為重點學習對象。

例4：橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為F1和F2，且|F1F2|=2，點在該橢圓上，求橢圓C的方程。

試題分析：首先，根據題意已知|F1F2|=2，可以得出結論c=1，并且點在該橢圓上，就可以根據橢圓定義求出a的值，間接求出b。考慮到直線垂直于x軸的情況，得出AB坐標為得出△AF2B的面積為3，結論與題意不符。再考慮當直線l與x軸不是垂直狀態時，設直線l的方程為y=k（x+1），在題中代入橢圓方程解得:用弦長公式表示為根據點到直線距離的公式解得圓的半徑就可以根據題中給出的面積求出k的值，得到圓F2的方程。

解：|F1F2|=2，c=1，又點在該橢圓上，得出所以橢圓C的方程為在進行數學圓錐曲線的學習時，我們要對各個章節的知識點和考查重點進行把握，但也要注意對題型的延伸拓展，不能局限自己的思維方式，要活學活用，在課堂學習上要緊跟老師的教學節奏，在遇到不能解決的難題時，要用課余時間進行咨詢，多與教師和同學們進行溝通。

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[2]姜文新．高中數學圓錐曲線教學現狀分析及其研究[J]．語數外學習（高中數學教學），2014（10）．

[3]蔡罡．高中數學圓錐曲線教學的分析與研究[J]．數學大世界（中旬版），2017（3）．