非學不可的代數法

方常春

困惑：有了數形結合的利器，我就可以偷懶了嗎？

當我們在求解直線與圓的位置關系的相關問題時，利用代數法求解，往往使得我們的運算量大大增加，運算的難度也猶如重重險山，不可逾越，

這時，大部分老師都會告訴你，其實從幾何的角度去思考，利用圓心到直線的距離來分析問題更加簡單易行，這是聰明人的選擇！

但是不知道同學們有沒有過類似的困惑，課本的例題為什么非要向我們展示代數法呢？課本就不嫌麻煩？

針對這些疑問，我想談談我的看法，

代數法的真意：提升運算能力、強化模式解題、增強學習信心——有道理嗎？

我們學習解析幾何，才剛上手，最重要的當然是熟悉這種新知識的運用，悟通其化幾何為代數的神奇能力.而幾何問題代數化，就是其最根本的特征，有數學家說，幾何的根本出路是幾何問題代數化，在不久的將來，我們學習圓錐曲線后，你會發現今天學習的幾何法有時不靈驗了，而代數法卻能大行其道.這正是解析幾何的魅力所在.

如果今天就因為代數法計算繁復而棄之不用，那么我們的根基就不會牢靠.到了某一階段你會發現，代數法天天在你面前晃悠，你想避都避不開，而且，你失去了平常心，懷揣著一種擔心運算不過關的心態，數學怎么能學得好？小聰明還是大智慧，由你來選擇.

所以，我們在面對直線與圓的位置關系的問題時，要有清醒的認識——利用平面幾何的知識簡化我們的運算是可行的，對解題方法的多樣性培養很有幫助，但是，基礎不可放松！所以，如果有可能，還是需要同學們在空閑時間，多了解一些代數法，做題時多思考一些方法，并加以比較優化，相互印證，比如，哪種方法更簡捷，哪種方法更具一般性，適應范圍更廣？

繁復的運算是我們最大的敵人之一，狹路相逢勇者勝！不要老想著逃避，關鍵時刻，拼的就是勇氣與信念，就是細心和耐心！

遇到難關：堅定自己的信念，一舉攻破！

下面，我們熟悉一下利用代數法處理直線與圓位置關系的問題的一般步驟：

通過聯立直線與圓的方程，根據解的個數來研究，若有兩組不同的實數解，即△>O，則相交;若有兩組相同的實數解，即△=0，則相切;若無實數解，即△

聯立方程組，整理出關于x的一元二次方程最為關鍵，一旦出錯，將前功盡棄！因為后面的一切運算都是建立在這一方程的基礎之上的，之后我們就將面臨最為繁復的運算，這也是難關所在！考驗的無非是我們的細心程度.

我們就以下面一題為例，并以代數法求解，

分析 斜率的存在與否要考慮全面，不可遺漏.

【記住這一系列變換，它很重要，也很實用】

將③式代人，解得k=3/4.【說得簡單，但恰恰是最困難的一步，最為考驗你的運算能力】

代人②可知△>O成立，此時直線的方程為3x-4y+20=0.

當k不存在時也滿足題意，此時直線方程為x=0.所以所求直線的方程為x=0或3x-4y+20=0.

當然，此題如果利用幾何性質解題，就簡單得多了，請你自己試著做一做，但你想過沒有，如果不是圓，換成拋物線，或其他曲線，這個方法還有效嗎？

例如，已知直線y=x+b與拋物線y=x²相交于A，B兩點，若AB=4，求b的值.就不得不用上述的代數法了.

所以不要認為代數法很沒用、太繁瑣，也不要因為你現在能快速解一兩道題就沾沾自喜，要時刻牢記，你是在學習一種全新的數學知識和普遍的方法.要懂得打基礎的重要性，慢慢來，磨刀不誤砍柴工，總會有化拙為巧，化腐朽為神奇的一天！