以形助數求參數范圍：從“抽象”到“形象”
——從2018年河北中考卷第16題“網傳錯解”說起

☉江蘇省連云港市新海實驗中學宋彥波

初中階段函數的學習對自變量的取值范圍要求不高，強調得往往不夠，這使得不少學生在解決函數相關的圖像問題時常常因為忽視自變量的取值范圍，出現解題漏洞或錯解.本文從一道河北中考題的“網傳錯解”說起，鏈接一些同類問題及“以形助數”的解法，并跟進教學思考，供分享.

一、從河北卷第16題“網傳錯解”說起

考題1：（2018年河北省中考卷，第16題）對于題目“一段拋物線L：y=-x（x-3）＋c（0≤x≤3）與直線l：y=x＋2有唯一公共點，若c為整數，確定所有c的值”，甲的結果是c=1，乙的結果是c=3或4，則（）.

A.甲的結果正確

B.乙的結果正確

C.甲、乙的結果合在一起才正確

D.甲、乙的結果合在一起也不正確

“網傳錯解”：把y=x＋2代入y=-x（x-3）＋c，得x＋2=-x（x-3）＋c.

化簡，得x2-2x＋2-c=0.

由題意得Δ=（-2）2-4×1×（2-c）=-4＋4c=0，解得c=1，所以甲的結果正確.故選A.

“網傳另解”：拋物線y=-x（x-3）＋c（0≤x≤3）可以看作y=-x（x-3）向上平移c個單位長度后的圖像.

所以可將條件“一段拋物線L：y=-x（x-3）＋c（0≤x≤3）與直線l：y=x＋2有唯一公共點”轉化為“一段拋物線y=-x（x-3）（0≤x≤3）與直線y=x＋2-c有唯一公共點”.（平移是相對的）

聯立y=-x（x-3）和y=x＋2-c，消去y，得到關于x的一元二次方程，利用Δ=0，解得c=1.

經驗證，滿足題意.

由于0≤x≤3，c為整數，所以2-c=-1、-2、-3，解得c=3、4、5.

綜上，c=1、3、4、5.答案為D.

簡評：上面的“網傳錯解”是忽略了“一段拋物線”中的“一段”，由于對這一段拋物線L：y=-x（x-3）＋c（0≤x≤3）的自變量的取值范圍0≤x≤3的“無視”出現解題漏洞，是一種常見錯解.而“網傳另解”“重點”解釋了c=1的一種思考，只是對于“錯解”答案的一種簡單更正，并沒有給出實質的、有力量的解釋，不能算作一種好的解答.以下進行訂正和優化.

對“網傳另解”的完善：先畫出一段拋物線y=-x（x-3）（0≤x≤3）的圖像，如圖1所示，再將直線l′：y=x＋2-c看成y=x＋2向下平移后的圖像，當平移后直線與那段拋物線有唯一公共點時，第一次是直線y=x＋1與拋物線相切狀態（此時對應著2-c=1，即c=1）；繼續向下平移到y=x時，此時仍然與這段拋物線有兩個交點，但這是一種臨界狀態，即當1

綜上，整數c的值有1、3、4、5.故選D.

圖1

圖2

更“自然”的解法：根據題意構造圖2進行形象化的分析，以形助數，讓這段拋物線向上平移c個單位，第一次“碰”到定直線y=x＋2時，是c=1時的“相切”狀態，接著是“當1

二、同類考題鏈接

考題2：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2-4x＋n-1.點C的坐標為（3，0），若該拋物線與線段OC有且只有1個交點，求n的取值范圍.

“以形助數”解法展示：拋物線的解析式y=x2-4x＋n-1即y=（x-2）2＋n-5. 這樣就可將拋物線y=x2-4x＋n-1看成由拋物線y=（x-2）2上下平移得到的.

可構造圖3，以形助數.

當拋物線的頂點在x軸上時，n-5=0，即n=5.

接著看拋物線向下平移時與線段OC的端點相交的臨界情況.當拋物線經過端點C時，0=（3-2）2＋n-5，解得n=4.當拋物線經過另一端點（原點）時，0=（0-2）2＋n-5，解得n=1.

故當1≤n＜4時，拋物線y=x2-4x＋n-1與線段OC有且只有一個交點.

綜上所述，1≤n＜4或n=5.

圖3

圖4

考題3：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-2mx＋m-4（m是不為0的常數）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，-3）.將拋物線在B、C之間的部分記為圖像G（包含B、C兩點），若直線y=5x＋b與圖像G有公共點，請直接寫出b的取值范圍.

“以形助數”解法展示：容易求出拋物線的解析式為y=x2-2x-3，則點A（-1，0）、B（3，0）.畫出示意圖分析，如圖4，對“圖像G”加粗.

將直線y=5x向下平移與“圖像G”第一次相交于點C（0，-3），此時b=-3.

繼續向下平移，可考慮聯立y=5x＋b與y=x2-2x-3，利用Δ=0，求出臨界值b=-15.25，此時對應的直線與拋物線的公共點（切點）在第一象限，這時與“圖像G”沒有交點，故只能取“圖像G”的右端點B（3，0），代入直線y=5x＋b中，求得b=-15.

綜上所述，若直線y=5x＋b與圖像G有公共點，則b的取值范圍為-15≤b≤-3.

考題4：（2018年北京卷，第26題，有刪減）在平面直角坐標系xOy中，直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=ax2+bx-3a經過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C.若拋物線與線段BC恰有1個公共點，結合函數圖像，求a的取值范圍.

“以形助數”解法展示：A（-1，0）、B（0，4）、C（5，4）.把點A（-1，0）的坐標代入拋物線y=ax2+bx-3a中，可得b=-2a，這樣拋物線的解析式為y=ax2-2ax-3a（注：含有多個參數的問題，“消參”是常用策略），這樣就可讀出拋物線的對稱接下來討論開口向上、向下時可能的臨界圖形（如圖5～7）“，以形助數”進行分析，

①當拋物線過點C時，把C（5，4）的坐標代入拋物線的解析式，得25a-10a-3a=4，解得a=.

②當拋物線過點B時，把B（0，4）的坐標代入拋物線的解析式，得-3a=4，解得a=-.

③當拋物線的頂點在BC上時，此時頂點為（1，4），有a-2a-3a=4，解得a=-1.

圖5

圖6

圖7

三、解題教學的思考

1.讓抽象、晦澀函數問題的解法盡量“形象、生動”起來

本文關注的函數問題比較抽象、晦澀，如果不借助圖像處理，往往解答的可讀性、理解性會大打折扣.作為解法研究，也許側重于簡潔，但是作為解題教學，讓更多學生理解這類問題的解法與進行問題結構的揭示，則需要輔以圖像示意，讓解法“形象、生動”起來，這也是我們在解題研究中要重視之處.這里可順便提及函數研究的重要方法——數形結合.數形結合可細分為以形助數（本文側重于這種策略）、以數馭形、數形互助，在不同習題訓練講評過程中，要注意引導學生加以體會、辨別.

2.加強同類問題鏈接，讓學生加深對變量取值范圍的印象

對于較難習題，在解題教學之后，學生往往聽懂、會做，但是仍然缺乏更深的理解.這時必要的同類問題的鏈接十分必要，這也是我們在上文鏈接考題2～考題4的原因所在.這些習題更多的要靠平時的解題研究、積累與收集.事實上，上面的4道考題稍加組合，按考題2、考題3、考題4的方式漸次呈現，就可成為解題教學課的前3個教學環節，把考題1放在最后作為一道變式問題檢測學生是否達到了課時訓練目標.從命題研究的角度看，河北卷這道選擇題放置在最后一題的位置，且4個選項也設置得很巧妙，以選擇題的方式呈現，4個選項之間互相關照，啟發學生注意查漏補缺，充滿了人文關懷.