高中數學教學中的布白

☉江蘇省六合高級中學 湯忠保

“布白”這一源于中國傳統國畫藝術的詞匯運用于數學教學中往往能夠達到此時無聲勝有聲的境界.教師應善于運用這一處理空間問題的重要技能并讓學生在一定的空間內展開聯想與想象，使學生在教師精心設計的適當布白中獲得更加豐富的體驗.

一、在教學內容中布白

教師在備課環節中應該對應該講、應該留著不講的內容有所篩選與預設，保持教學內容的彈性并讓學生在一定的問題中思考、分析與研究繼而獲得意料之外的效果.值得教師注意的是，“不講”并不意味著“舍棄”，而是教學中調動學生思維所采用的一種“欲擒故縱”的手段.

案例1 直線與平面垂直的判定.

“課標”在“直線與平面垂直判定定理”的教學上所提出的要求和傳統教學相比變化頗大，要求教師采取直觀感知、操作確認的方式將判定定理引入學生的思考中，因此，教師應舍棄喋喋不休的講解與證明并請學生進行證明與思考.

教學設計如下：引導學生將桌面看成平面、筆看成直線進行操作并思考以下問題：

（1）若一直線與平面內的一直線垂直，則該直線與該平面垂直嗎？

（2）若一直線與平面內的兩條直線垂直，則該直線與該平面垂直嗎？

（3）若一直線與平面內的無數條直線垂直，則該直線與該平面垂直嗎？

（4）平面內有多少條直線與已知直線垂直才能確保該直線與該平面垂直呢？

（5）“一直線垂直于平面內的兩條直線，則其與該平面垂直”的判斷正確嗎？應該怎樣修正呢？

讓學生在多個問題的思考與摸索中得出直線與平面垂直的判定定理，鍛煉學生動手能力與想象能力的同時也加深了學生對研究對象的理解，學生在充分的自主思考、實驗、失誤與發現中所獲得的學習狀態也會是最積極的.

二、在提問中布白

教師在課堂提問時應注意兩個“空白”的把握，一個是教師提問之后的“空白”，一個是學生回答問題之后的“空白”.教師提問以后應進行“布白”以保障學生充裕的思考與參與.教師在學生回答問題之后應進行“布白”以促進更多學生的回答或是對問題答案的修正與完善.

案例2 過兩直線交點的直線系.

求過直線l1：2x-y+2=0與l2：3x+2y-2=0的交點以及坐標原點的直線方程.

生1：這是不對的，答案也是偶然的，l1、l2兩方程相加后常數是0，因此才會產生這一巧合，但如果將l1的方程改成2x-y+1=0，兩方程相加就不會得到這樣的結果.

生2：我也覺得是偶然，兩方程相加并不代表其他直線就會經過它們的交點??！

生3：兩方程相加所得方程肯定會經過兩直線的交點，因為這一交點的坐標必然是適合相加后所得方程的，不過，相加后所得常數項是0，也就意味著該直線經過原點，如果常數項不是0呢？所以是偶然的.

師：大家有沒有想過使兩方程相加后常數項一定是0呢？

生4：將方程改成2x-y+1=0的想法不錯，改變系數令方程變為4x-2y+2=0再相加即可.（學生詫異）

師：如果將經過原點改成經過點（1，1），該方法行得通嗎？會不會失效？（學生沉默）

師：真的會完全失效？（給學生希望）

生5：將過點（1，1）轉化為過原點，將兩直線方程改成l1：2（x-1）-（y-1）+3=0和l2：3（x-1）+2（y-1）+3=0，然后再相加就可以了.（學生愕然）

師：那么這一結果究竟是偶然？還是巧合？還是必然呢？

生：有偶然，也有必然.

師：很好，兩直線的方程相加所得新的直線必然經過原來直線的交點，這就是此處所說的必然.設兩直線方程為l1：a1x+b1y+c1=0和l2：a2x+b2y+c2=0，l1和l2相交于點P，則a1x+b1y+c1+λ（a2x+b2y+c2）=0（λ∈R）表示一條除l2以外并經過點P的直線，即a1x+b1y+c1+λ（a2x+b2y+c2）=0（λ∈R）表示經過l1和l2交點的直線系.

筆者在以上教學過程中注意到了時不時的布白，學生在充分的思辨中觀察、分析、比較并不斷對結論進行深化與一般化，學生在不斷產生的認知沖突中獲得了很多書本中沒有介紹的知識.

三、在延時評價中布白

案例3 函數的奇偶性.

筆者在高一學生學習函數圖像時，在學生觀察、歸納得出奇偶性的定義之后，設計了以下練習：

判斷以下函數的奇偶性：

（1）（fx）=x2-1； （2）（fx）=2x；

（3）（fx）=2|x|； （4）（fx）=（x-1）2；

（7）（fx）=5； （8）（fx）=0.

在學生自主判斷練習的過程中，筆者進行了巡視并發現學生在第（4）、（7）、（8）題上有不同反饋.筆者沒有當場作出指導或糾正，而是繼續保持沉默，有的學生又聯想到作圖并修改了（4）、（7）兩題的答案，但是對第（8）題仍沒有其他的想法.

筆者隨后將部分學生的解答、修改結果、稿紙上的思維印記進行了投影展示并提問：“函數從其奇偶性來判斷可分成幾類呢？”

眾生：奇函數，偶函數，有的不是奇函數也不是偶函數.

師（追問）：第（8）題呢？

學生忍不住討論起來.

筆者未作任何回應而是寫出了以下函數：f（-x）=0=f（x），f（-x）=0=-f（x）.

學生恍然大悟：既是奇函數也是偶函數.

函數的類型也因此順利得出.

筆者在學生回答之后沒有立即評價，而是引導學生在發現中進行新的思考，這種在延時評價中的布白能夠很好地促進學生的智力發展.

四、在質疑中布白

學生在質疑問難時往往會處于心理上的空白期，教師此時應該及時引導并讓學生在“憤”、“悱”狀態中進行探索、思考與釋疑.

案例4 概率問題的教學.

學生雖然如此解題，但卻對自己的解題心存疑慮，筆者于是給出了以下解題過程：

學生在教師給出的答案中很快明白自己錯了，但究竟錯在哪里呢？學生不得而知，筆者在解釋過程中進行了布白以促進學生修正理解與答案.

師：怎么會想到加法公式的呢？

生：我認為題中事件是互斥事件.

師：什么是互斥事件呢？

生：互斥事件是指不可能同時發生的事件.

師：甲乙兩人射中目標不可能同時發生嗎？

師：概率反而變小了嗎？

生：對啊，奇怪了？

師：獨立事件又是什么呢？

生：某一事件發生的概率對另一事件發生的概率不會產生影響，這兩個事件叫作獨立事件，題中兩人的射擊事件是不會相互影響的呀，符合獨立事件的特征啊，變小是怎么回事呢？

師：你再看看AB、P（AB）表示的都是什么呢？

生：AB表示A、B同時發生，P（AB）表示兩人同時射中目標的概率.

師：問題要求什么？

生：各射擊一次的命中概率.

師：待求概率事件的對立事件是什么呢？

教師圍繞本題涉及的互斥事件、獨立事件、對立事件等概念與公式對學生進行了設問布白，學生在弄清一個個問題的過程中也排除了心中的各種疑惑并獲得了順利解題.H