線性規劃問題分類例析

☉河南省商水縣第一高級中學 張學言

線性規劃問題是幾何與代數結合的典型，是每年高考的考點之一.線性規劃問題比較常見的題型是選擇或填空，有時也會出現在簡單的解答題中，考查的重點是在給定平面區域內的目標函數的最值問題，有時也涉及其他相關的題型.

一、區域問題

分析：根據不等式組確定對應的平面區域，通過分割三角形來確定對應的平面區域的面積，進而求解相應的參數值問題.

圖1

由于直線AB：x+y-2=0與直線BC：x-y+2m=0相互垂直，則△ABC是直角三角形.

化簡得（m+1）2=4，解得m=-3或m=1.

經檢驗知，當m=-3時，已知不等式組不能表示一個三角形區域，故舍去.

所以m=1，故選B.

點評：本題考查線性約束條件下平面區域的面積問題.此類問題是線性規劃的最基礎的問題，正確確定在題目條件下對應可行域的平面區域，進而為進一步正確求解相應的區域問題奠定基礎.

二、最值問題

A.-15 B.-9 C.1 D.9

分析：根據題目條件中的不等式組給出的約束條件作出對應的可行域，根據目標函數來確定相應的最值問題.

故選A.

點評：本題考查線性約束條件下已知目標函數的最值（最大值或最小值）問題.利用線性規劃來解決目標函數的最值問題的解題關鍵是：先設出決策變量，再利用圖形直觀，結合決策變量來確定線性目標函數達到的最大值或最小值問題.

三、距離問題

分析：先根據條件作出對應不等式組的可行域，根據目標函數z=x2+y2表示平面區域內的點（x，y）到原點的距離的平方，通過兩點間的距離公式與點到直線的距離公式來分析與求解.

而目標函數z=x2+y2表示平面區域內的點（x，y）到原點的距離的平方，

當取B（2，3）時，目標函數z取得最大值，最大值為22+32=13；

圖2

故目標函數z=x2+y2的取值范圍是

點評：本題主要考查簡單的線性規劃，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，考查數形結合思想，概念的理解與運算能力.此類問題往往通過數形結合，把問題轉化為求解點到直線的距離、兩點間的距離等問題，進而達到求解的目的.

四、斜率問題

分析：根據題目條件作出對應不等式組的可行域，根據斜率的意義知，是可行域內一點與原點連線的斜率，數形結合確定相應的斜率的最大值問題.

圖3

結合圖像直觀，可知當點A（1，3）與原點連線時對應的斜率最大，此時可得的最大值為3.

點評：本題主要考查在約束條件下研究線性規劃中相應的直線的斜率或斜率的最值問題.此類問題經常結合條件來直接求解相關直線的斜率，有時也通過斜率的幾何意義轉化為相關等式來求解分式的最值問題，關鍵是數形結合，通過已知點與可行域內的點的連線的斜率情況加以判定與求解.

五、最優解問題

分析：先根據條件作出已知不等式對應的平面區域，結合目標函數取得最大值的最優解不唯一確定對應的條件加以分析與求解.

解法一：畫出可行域，如圖4中的陰影部分所示，

則點A（0，2），B（2，0），C（-2，-2），

則 zA=2，zB=-2a，zC=2a-2，

要使對應最大值的最優解有無數組，

只要zA=zB＞zC或zA=zC＞zB或zB=zC＞zA，

解得a=-1或a=2.故選D.

解法二：畫出可行域，如圖3中的陰影部分所示，則點A（0，2），B（2，0），C（-2，-2），

z=y-ax可變為y=ax+z，

令l0：y=ax，則由題意知，l0∥AB或l0∥AC，

可解得a=-1或a=2.故選D.

點評：本題主要考查在限制條件下線性規劃可行域所對應的目標函數的最優解問題.對于封閉區間的平面區域問題，如果最優解有無數多個的情況，那么對應的線性目標函數的直線與可行域的某條邊平行.在分析最優解時，一般直接在可行解中的特殊位置加以探討，通過比較得出最優解.

線性規劃問題在高考中的考查有遞增的趨勢，往往考查的方式是由二元一次不等式組給出線性約束條件確定可行域，求可行域的面積、或確定形狀；或者是在線性約束條件下求目標函數的取值范圍、最值或取得最值時的點的坐標的確定以及由此衍生出來的其他相關問題，比如直線的斜率、平面距離的最值等問題.W

圖4