例談微粒濃度關系線性化處理在解題中的應用

蘭建祥

摘要： 以電離平衡、溶解平衡為例，介紹了微粒濃度關系線性化的基本方法，旨在能幫助學生理解直線型平衡圖像的本質，由此將數學知識滲透到解決化學問題的思維之中，培養和發展學生的思維品質。

關鍵詞： 微粒濃度關系; 平衡常數; 線性化處理; 解題方法

文章編號： 10056629（2018）10008305中圖分類號： G633.8文獻標識碼： B

1問題的提出

在2017年高考化學新課標Ⅰ卷中，有一道考查化學平衡圖像的題引起廣大師生的高度關注：

常溫下將NaOH溶液添加到己二酸（H2X）溶液中，混合溶液的pH與離子濃度變化的關系如圖1所示。下列敘述錯誤的是（）

該題考查的是有關平衡圖像的問題，雖然考查的內容很常規，但這種直線型平衡圖像讓考生始料未及。絕大多數考生甚至不少化學教師在答題時無從下手，導致該題得分率極低。廣大師生戲稱此題為2017年高考化學新課標Ⅰ卷中最亮眼的一道題，于是把此類平衡圖像問題作為本年度高三復習教學中的難點和重點進行突破。

2微粒濃度關系線性化的教學思考

2.1學生認知直線型平衡圖像的障礙分析

常見的平衡圖像是以pH為橫坐標，以物質的量濃度或微粒的物質的量分數為縱坐標，如在2017年高考化學新課標Ⅱ卷中出現圖2所示的圖像：

隨著溶液pH的變化，三種微粒之間相互轉化，學生對此轉化過程很容易理解，因而可以輕松解讀圖像所表達的化學含義。

那么，學生為什么難以理解圖1中的圖像呢？筆者認為，原因主要在于學生不清楚lg[c（HX-）/c（H2X）]或lg[c（X2-）/c（HX-）]與溶液的pH到底有著怎樣的關系。換言之，學生完全不知道lg[c（HX-）/c（H2X）]或lg[c（X2-）/c（HX-）]與溶液pH之間的函數關系，當然也就難以理解圖像所表達的化學含義。

2.2線性化處理的意義

將微粒濃度關系線性化，是處理有關微粒濃度關系的一種常用數學方法。對溶液中的某種平衡而言，各種微粒的濃度之間滿足一定的關系，這種關系集中表現為相應的平衡常數表達式。在平衡常數表達式中，各微粒濃度之間的關系通常是非線性方程，對應的平衡圖像為曲線。

如何將非線性方程線性化呢？其實，只需將平衡常數表達式兩邊同時取對數，則可將平衡常數表達式中的乘積關系轉化為加減關系，從而實現關系式的線性化，對應的圖像也由曲線轉化為直線。顯然，如果讓學生明白這一點，自然就能從本質上理解圖1中的圖像意義。更為重要的是，可以讓學生學會運用數學方法處理和變換化學關系式的方法，體會數學作為工具學科在化學中的重要應用，從根本上提升學生分析和解決平衡圖像問題的能力。可見，開展微粒濃度關系線性化的深度教學有著非常重要的意義。

幫助學生搭建數學思維與化學思維的橋梁，打通運用數學方法分析平衡圖像問題的思維通道。具體過程為： 先把化學問題抽象成數學問題（函數與圖像的關系），再把數學問題具象為化學問題（賦予函數與圖像以具體的化學含義）。通過化學與數學的學科交叉融合，實現對化學平衡原理與化學平衡圖像問題的深度教學。

3微粒濃度關系線性化的教學設計

3.1鋪墊： 把化學問題抽象成數學問題

把圖1中的平衡圖像抽象成如圖3所示的數學圖像，讓學生寫出圖像中兩條直線對應的直線方程，即直線M為y=x+5.4，直線N為y=x+4.4。對學生而言，這是一個非常簡單的數學問題，目的是借此讓學生明確圖像中兩個變量之間的函數關系，為后面的教學做好鋪墊。

3.2發現： 弱酸電離平衡常數表達式的圖像線性化

以二元弱酸H2S的電離為例： H2SHS-+H+， HS-S2-+H+。

結論： 將平衡常數表達式兩邊同時取對數，可實現平衡常數表達式的線性化（見表1）。

3.3體驗： 已知碳酸的電離平衡常數畫直線圖像

給出碳酸的電離平衡常數： Ka1=10-6.4， Ka2=10-10.3，讓學生動手畫出溶液pH與lg[c（HCO-3）/c（H2CO3）]、pH與lg[c（CO2-3）/c（HCO-3）]的圖像。學生可以畫出如圖4所示的圖像{圖中lgX=lg[c（CO2-3）/c（HCO-3）]或lg[c（HCO-3）/c（H2CO3）]}。

3.4建模： 直線型平衡圖像問題的解決之道

以H2X的電離示例分析： H2XHX-+H+， HX-X2-+H+，其電離平衡常數表達式為： Ka1=[c（H+）·c（HX-）]/c（H2X）， Ka2=[c（H+）·c（X2-）]/c（HX-）。

焦點問題：

（1） 求算Ka1或Ka2的值;

（2） 判斷圖像中的兩條直線與有關微粒濃度的對應關系;

（3） 判斷NaHX溶液的酸堿性或比較NaHX溶液中有關離子濃度大小。

問題解決策略：

第1步： 根據電離平衡常數表達式建立相應的函數方程。

如： 根據Ka1表達式得pH=lg[c（HX-）/c（H2X）]-lgKa1①，根據Ka2表達式得pH=lg[c（X2-）/c（HX-）]-lgKa2②。

第2步： 取圖像中兩直線上的某一點，代入上述關系式，求出兩條直線對應的Ka。

第3步： 由于Ka1>Ka2，比較第2步得到的兩個Ka的大小可知Ka值較大者為Ka1，且Ka值較大者對應一級電離的平衡濃度關系式即式①。

第4步： 根據Kh=Kw/Ka1計算出Kh的值，比較Kh與Ka2的大小，據此判斷HX-的電離與水解程度相對大小，從而判斷溶液酸堿性或有關離子濃度的大小關系。若Kh>Ka2，則HX-的水解程度大于電離程度，NaHX溶液呈堿性，且c（Na+）>c（HX-）>c（OH-）>c（H2X）>c（X2-）>c（H+）;若Khc（HX-）>c（H+）>c（X2-）>c（H2X）>c（OH-）。

3.5進階： 其他平衡常數表達式的線性化

3.5.1水的離子積常數（見表2）

水的電離方程式為： H2OH++OH-。

表2水的離子積常數表達式及其線性化

平衡常數表達式平衡常數表達式對數化

關系式Kw=c（H+）·c（OH-）pH+pOH+lgKw=0

變量關系c（H+）與c（OH-）為反比例函數關系pH與pOH為一次函數關系

圖像形狀曲線直線（斜率為-1）

示例（2013·山東）某溫度下，向一定體積0.1mol·L-1的醋酸溶液中逐滴加入等濃度的NaOH溶液，溶液中pOH[pOH=-lgc（OH-）]與pH的變化關系如圖5所示，則（）。

A M點所示溶液的導電能力強于Q點

B N點所示溶液中c（CH3COO-）>c（Na+）

C M點和N點所示溶液中水的電離程度相同

D Q點消耗NaOH溶液的體積等于醋酸溶液的體積

解析： Kw=c（H+）·c（OH-），兩邊取對數得pH+pOH=-lgKw，由此可知pOH與pH為線性關系。醋酸是弱酸，離子濃度較小，在滴加NaOH溶液的過程中，生成強電解質，溶液中離子濃度增大，則M點溶液的導電能力比Q點弱，A錯;N點溶液呈堿性，即c（OH-）>c（H+），根據電荷守恒有c（CH3COO-）

3.5.2難溶鹽的溶度積常數（見表3）

以AgCl的溶解平衡為例： AgCl（s）Ag+（aq）+Cl-（aq）。

示例（2017·全國卷Ⅲ）在濕法煉鋅的電解循環溶液中，較高濃度的Cl-會腐蝕陽極板而增大電解能耗。可向溶液中同時加入Cu和CuSO4，生成CuCl沉淀從而除去Cl-。根據溶液中平衡時相關離子濃度的關系圖（見圖6），下列說法錯誤的是（）。

A Ksp（CuCl）的數量級為10-7

B 除Cl-反應為Cu+Cu2++2Cl-2CuCl

C 加入Cu越多，Cu+濃度越高，除Cl-效果越好

D 2Cu+Cu2++Cu平衡常數很大，反應趨于完全

解析： Ksp（CuCl）=c（Cu+）·c（Cl-），兩邊取對數得lgc（Cu+）=-lgc（Cl-）+lgKsp（CuCl）， lgc（Cu+）與-lgc（Cl-）成直線關系，lgKsp（CuCl）為縱截距。由圖6可知，縱截距約為-6.7，即Ksp（CuCl）約為10-6.7，Ksp（CuCl）的數量級為10-7，A正確;反應物為銅、硫酸銅以及氯離子，生成物為CuCl，反應為Cu+Cu2++2Cl-2CuCl，B正確;加入固態物質Cu對平衡無影響，C錯誤;反應2Cu+Cu2++Cu的平衡常數K=c（Cu2+）/c2（Cu+），從圖6中兩條曲線上任取橫坐標相同的兩點對應的c（Cu2+）、c（Cu+）[如橫坐標為0.5時，c（Cu2+）=c（Cu+）=10-6]代入計算可得K≈106>105，反應趨于完全，D正確。選C。

3.5.3難溶氫氧化物的溶度積常數（見表4）

以Cu（OH）2的溶解平衡為例： Cu（OH）2（s）Cu2+（aq）+2OH-（aq）。

表4難溶氫氧化物溶度積常數表達式及其線性化

平衡常數表達式平衡常數表達式對數化

關系式Ksp=c（Cu2+）·c2（OH-）lgc（Cu2+）+2pH=lgKsp-2lgKw

變量關系c（Cu2+）與c（OH-）為冪函數lgc（Cu2+）與pH為一次函數關系

圖像形狀曲線直線（斜率為-2或-1/2）

示例25℃時，Fe（OH）2和Cu（OH）2的飽和溶液中，金屬陽離子的物質的量濃度的負對數[-lgc（M2+）]與溶液pH的變化關系如圖7所示，已知該溫度下，Ksp[Cu（OH）2]

A b線表示-lgc（Fe2+）與pH的關系，且Ksp[Fe（OH）2]=10-15.1

B 當Fe（OH）2和Cu（OH）2沉淀共存時，溶液中： c（Fe2+）∶c（Cu2+）=1∶104.6

C 向X點飽和溶液中加入少量NaOH，可轉化為Y點對應的溶液

D 除去CuSO4溶液中含有的少量Fe2+，可加入適量CuO

解析： 因為Ksp[Cu（OH）2]c（Cu2+），故b線表示Fe（OH）2飽和溶液中的變化關系，再由圖像可知，

4教學感悟

數學是研究人類思維方式的科學，是眾多門類科學的工具。將數學知識滲透到化學教學中，實際上就是將化學問題抽象成數學問題，即在化學教學中引導學生運用已掌握的數學工具，通過分析化學變量之間的相互關系，建立一定的數學關系或構造數學模型，最終達到解決問題的目的[1]。通常來說，具體的研究方法是通過化學原理建立化學模型，再尋找研究對象間的量變規律，使用數學方法對模型進行處理，將其變為適當的數學模型，最后解決這個數學模型的問題，這樣一來，原本的化學問題也就解決了[2]。

課程結構改革的一個重要方向就是實現多個學科間的交叉，在各學科教學中加強學科間的聯系，尤其是對于數學這種基礎性工具學科應用到其他學科中，將會有非常顯著的效果[3]。將化學問題抽象成數學問題，既能激發學生學習的新鮮感和探求欲望，更可以讓學生的思維得以飛躍，提升化學教學的品質。

高考化學考試說明中，對考生思維能力的考查有明確的界定，其中重要的一條就是“將化學問題抽象成為數學問題，利用數學工具，通過計算和推理（結合化學知識），解決化學問題的能力”。近年來高考命題已順應新課改的要求，很大程度上實現了由“知識立意”向“能力立意”的轉變，越來越重視和體現對學生綜合素質、學科綜合能力的考查。高考對教學的指揮棒效應，也正在促使化學教學必須注重培養學生運用數學方法分析和解決化學問題的能力，提升學生的學科綜合素養。

參考文獻：

[1]尹亞東.論化學教學中數學知識的滲透[J].湘潭師范學院學報（自然科學版）， 2002，24（4）： 120～125.

[2]靖曉風.淺談數學與化學的關系[J].中文科技期刊數據庫社會科學（引文版）， 2017，（1）： 51.

[3]曾鳴.數學與化學之間的關系[J].新課程（中旬）， 2016，（2）： 124.