邏輯推理：學生必備的數學“核心素養”

江蘇省常州市新北區奔牛實驗小學 李 敏

推理是數學核心素養之一，也是學生數學學習的基本方式。推理主要包括合情推理和演繹推理兩大類。無論是哪一種形式的推理，都必須具有一定的邏輯性。推理的邏輯性在小學階段主要表現為能通過觀察、歸納、類比等獲得數學猜想，能主動地尋找證據，從而進行論證（包括證明和證偽）。在論證的過程中，教師要引導學生的推理做到有據、有理。這樣，才能將培育學生邏輯推理的要求落到實處。

一、基于學生立場，讓邏輯推理思路更清晰

著名數學教育家陳省身先生說：“學生應該學會推理，推理很重要，不僅在數學學科之中，在其他學科、在生活中都要用到?！痹谛W數學教學中培養學生的邏輯推理能力，教師首先應當明晰推理思路，要基于學生立場，引導學生能敏銳地抓住邏輯推理對象進行分析，讓學生的邏輯推理思路更為清晰。在數學教學中，教師首先要引導學生對邏輯推理對象進行分析，從而把握問題核心、問題本質，引導學生用邏輯的語言對邏輯對象做出數學化的提煉、概括，從而能把握邏輯推理的本質，提升學生的邏輯推理水平，發展學生的邏輯推理技能。

比如教學《平行四邊形的面積》（蘇教版五年級上冊）時，學生首先想到的是長方形面積的推理方法，將平行四邊形放置到方格圖之中，用數方格的方法進行推理。用數方格的方法推導平行四邊形的面積不同于長方形，長方形的每一個角都是直角，因而可以直接去數。平行四邊形需要進行剪拼后才能直接去數，根據這樣的操作，學生猜想可以將平行四邊形轉化成長方形，運用長方形的面積進行推理。教師要肯定學生的大膽猜想，引導學生進行推理：長方形的長相當于平行四邊形的底、長方形的寬相當于平行四邊形的高，那么長方形的面積相當于平行四邊形的面積，所以平行四邊形的面積也就是長方形的面積，就是長乘寬，也就是底乘高。這樣的邏輯推理，其思路是清晰的，其過程也是清晰的。

基于學生立場的邏輯推理，要真正將學生放置于課堂的“正中央”，引導學生抓住對象、抓住問題的本質，對邏輯推理的對象、問題等進行深度的剖析，讓學生對邏輯推理的對象、問題等形成清晰的認知、理解。從邏輯推理的形式上分析，邏輯推理由邏輯推理對象、推理邏輯、推理結論組成。學生首先要清楚邏輯推理對象，清楚邏輯推理思路，進而展開有效的邏輯推理。

二、夯實過程論證，讓邏輯推理方法更明晰

邏輯推理能力是學生的一種綜合性、合乎規范性的推理，是學生觀察、比較、抽象、概括、分析等能力的展示、綜合。在數學教學中，教師不僅要引導學生明晰邏輯推理思路，更要夯實學生的邏輯推理過程，從而讓邏輯推理方法更明晰。數學學習，不能僅憑人自身的感覺，不能用“存在就是被感知”的膚淺認知糊弄真理，而應當是笛卡爾的“我思故我在”。在邏輯推理過程中，要強化過程論證，無論這種論證是類比性的、歸納性的還是演繹性的。一般而言，相對于類比推理、不完全歸納推理，完全歸納推理和演繹推理更具有“嚴格性”、“真理性”、“正確性”、“科學性”。

教學《小數加減乘除法混合的簡便運算》（蘇教版五年級上冊）時，許多教師認為學生在四年級已經學習過“整數加減乘除法混合的簡便運算”，因而五年級就能自覺地、自動地遷移，所以對這一部分內容的論證往往是一帶而過、蜻蜓點水、浮光掠影的。事實上，在數學中擴充數系，要具有一種兼容性，即新的數必須能適應、融合到原來數的運算之中去。但是，對于學生來說，教師的這樣的一種簡單化的類比教學，并不能讓學生信服，不能讓學生接納小數乘除法混合的簡便運算定律。筆者認為，在《小數加減乘除法混合的簡便運算》教學之中，教師依然應當引導學生經歷過程論證環節，從而使學生有效地將新知納入到已有認知之中。教學中，教師可以出示一組算式，引導學生觀察，提出猜想，在此基礎上，引導學生自由舉例進行論證。為了讓論證過程更為嚴謹，教師還可以引導學生嘗試舉反例。只有當學生能舉出系列正例而不能舉出反例時，才能有效地引導學生進行不完全歸納。事實上，“類比推理的規則在所有的邏輯推理中是最不嚴格、最不確定的……類比在數學思維中的主要作用表現為發現問題、提出猜想、建立模擬”，其結論有時準確、有時不準確。因而“小數加減乘除混合的簡便運算”，筆者引導學生將類比、歸納等推理結合起來。只有這樣，學生的數學學習才能更為合情、更為合理、更為深刻，才能彰顯數學的理性。

在上述邏輯推理的過程中，引導學生嘗試舉反例的過程是必須的、必要的。因為不完全歸納作為一種實證方法，其例子的無窮舉性必然導致這樣推理的結論的或然性。為了讓數學的結論更為科學，為了讓學生的數學學習更為合理，教師引導學生進行正向、反向舉例，能讓學生形成數學推理的邏輯素養，讓學生感受、體驗到數學邏輯推理的嚴謹性、嚴格性。

三、啟迪邏輯聯想，讓邏輯推理表達更清晰

學生的數學邏輯推理不僅依賴于學生的數學思維，而且依賴于學生的數學想象。在數學教學中，教師不僅要激活學生的邏輯思維，而且要啟迪學生的邏輯聯想、想象，從而讓學生的邏輯推理表達更為清晰。在學生的數學學習中，聯想尤其是想象往往是創造的發端，是學生數學創新、再創造的基礎，對于學生數學核心素養的發展、學習力的提升具有十分重要的作用。教師要鼓勵學生基于數學事實基礎想象，從而有效地延伸、拓展學生的數學學習觸角，引領學生向數學推理更深處漫溯。

在數學教學中，教師要賦予學生邏輯想象的時空，給學生提供邏輯想象的素材，從而助推學生的邏輯想象。比如教學《長方形和正方形的面積》（蘇教版三年級下冊）時，筆者在教學中運用結構化的素材，啟迪學生思維、想象。首先，筆者給學生提供一個規格小的長方形硬紙板，讓學生用單位面積的小正方形拼擺，助推學生形成初步的猜想，然后給學生提供規格稍大的長方形硬紙板，讓學生用單位面積的小正方形拼擺。相比較第一層次的實驗，這一次的拼擺，單位面積的小正方形已經不能將長方形拼滿了，這時可以引發學生的猜想。在猜想的基礎上，教師引導學生合作論證，再次給學生提供一個規格較大的長方形硬紙板，這個時候，學生用單位面積的小正方形已經不能鋪一行或一列了，由此激發學生的邏輯推理性的想象：長方形的長就相當于每行的個數，長方形的寬就相當于行數，長方形的面積就相當于單位面積的小正方形的總個數。在這樣的數學猜想的基礎上，教師可以引導學生進行組與組之間的合作實驗論證。通過這樣三個層面的教學，學生對長方形的面積的理解已經從膚淺走向深度、從感性走向理性。不難看出，在數學教學中，教師不僅要引導學生進行邏輯推理，還要引導學生建立邏輯推理的共同體，培養學生的數學邏輯推理的交流能力、表達能力、實驗驗證能力等。

小學數學學習中的邏輯推理，是學生數學化學習的一種思維過程、行為方式。教師不僅要引導學生進行邏輯推理，還要引導學生從多個視角來進行思考、辨別，從而有效地發展學生的邏輯思維能力，發展學生的邏輯推理素養。