基于問題解決認知過程分析的教學研究
——以“實際問題與二元一次方程組——檢驗估計”為例

☉江西師范大學數學與信息科學學院 李 菁

☉江西師范大學數學與信息科學學院 劉錫光

一、引言

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出“課程內容要符合學生的認知規律；學習評價的主要目的是為了全面了解學生數學學習的過程和結果，評價既要關注學生學習的結果，也要重視學習的過程［1］”.即要求教師在教學中要同時關注學生學習的結果和過程.

不少學生反映小學時就對應用題束手無策，年級越高題目中的數量關系越復雜，以致不少初中生遇到應用題時題目都不看就直接放棄，這是導致學生數學成績不好的重要原因.因此筆者試圖運用ACT-R理論分析學生解答應用題的認知過程，通過設計適合學生認知過程的教學方案讓學生更自然地掌握教學內容.

二、ACT-R理論概述

ACT-R（Adaptive Control of Thought-Rational）理論是由卡耐基梅隆大學教授John Robert Anderson提出的一種試圖闡述人類如何獲得和組織知識，以及如何產生智力活動的認知理論.該理論的基本觀點是：復雜認知是由相對簡單的知識單元所組成的，而這些知識單元是通過相對簡單的原理獲得的［2］.它將知識分為陳述性知識（是什么）和程序性知識（怎么做）兩類，程序性知識其實是提取陳述性知識的指令，稱為產生式.

圖1 ACT-R的symbolic系統的內部結構

ACT-R系統包括symbolic系統和sub-symbolic系統.能夠顯性表現出來的symbolic系統結構如圖1［3］所示（矩形表示功能模塊，橢圓表示緩沖塊）.它由六個基本模塊組成，產生式模塊通過產生式規則操作各個模塊的緩沖塊，從而聯合了其他所有模塊.

三、問題解決認知過程分析

（一）模型結構介紹

ACT-R認知模型包括視覺模塊（Visual Module）、映像模塊（Imaginal Module）、陳述性知識模塊（Retrieval Module）、目標模塊（Goal Module）、產生式模塊（Production Module）、輸出模塊（Manual Module）等六個模塊.

視覺模塊：感知問題，保留問題原形；

映像模塊：儲存當下問題或目的的表現形式或狀態；

陳述性知識模塊：在長時記憶中檢索相關信息；

目標模塊：記錄或跟蹤問題解決過程中的目的；

產生式模塊：激活能解決當前問題的產生式規則并作用于相應信息塊；

輸出模塊：經過操作運算獲取結果并輸出.

（二）分析內容選取

本文選取人教版七年級下冊第八章8.3節第1課時的課本例題：養牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約需用飼料675kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時1天約需用飼料940kg.飼養員李大叔估計平均每頭大牛1天約需用飼料18kg～20kg，每頭小牛1天約需用飼料7kg～8kg.你能通過計算檢驗他的估計是否正確嗎？［4］

（三）認知過程分析

上述例題問題解決的認知過程如表1所示：

（四）教學過程

1.創設情境，復習引入

教師展示世界杯足球賽和足球的圖片，提問：同學們喜歡踢足球嗎？觀看過世界杯比賽嗎？觀察過足球的表面由什么形狀構成的嗎？

表1“實際問題與二元一次方程組——檢驗估計”問題解決的認知過程

教師給出題目：足球表面由一些正五邊形和正六邊形的皮塊縫合而成，共計32塊，已知正五邊形塊數比正六邊形塊數的一半多2塊，問：兩種皮塊各有多少？

教師帶著學生回顧用方程組解決問題的步驟，按步驟解答上述問題.

2.探索分析，解決問題

師：前面我們結合實際問題，回顧了用方程組解決簡單實際問題的過程.本節我們繼續探究用方程組解決實際問題.

探究1：長18米的鋼材，要鋸成10段，而每段的長只能取“1米或2米”兩種型號之一，小明估計2米的有3段，他的估計是否正確？為什么？（可讓學生交流討論）

方法1：假設估計正確，檢驗是否符合條件.（算術法）

①2×3+1×（10-7）=13≠18；

②（18-2×3）÷1=12≠（10-3）.

上述方法是小學的算術法，我們最近學習的新知識能不能解決它呢？（引導學生聯想到借助二元一次方程組）題目問題是“你們認為他的估計是否正確”，我們如何判斷這個估計是否正確呢？小明的估計是2米鋼材有3段，若我們能知道2米鋼材有幾段就好了.我們能否利用已知條件計算出2米鋼材的段數？

方法2：根據題中條件求出兩種型號鋼材各有多少段（或只求2米鋼材的段數），再判斷估計是否正確.（方程法）

教師對學生一題多解的行為表示贊揚之后，提問哪種方法更簡單，大多數學生會回答方法1，此時可能有學生會有疑問：既然方程法比算術法麻煩，為什么要學習用方程組解決實際問題呢？于是引出教材中的例題.

探究2：上述例題.

同學們嘗試用方法1解決此問題.（使學生感受到有些題算術法不適用）接著再用方法2，教師引導：題目中估計了兩個量，應假設兩個未知數表示這兩個量；題中有哪些已知量？結合未知量，有怎樣的數量關系？采用請學生填空的方式得到兩個等量關系：①30頭大牛1天所需飼料+15頭小牛1天所需飼料=原來1天的飼料總量，②42頭大牛1天所需飼料+20頭小牛1天所需飼料=現在1天的飼料總量.

請同學們將等量關系用數字符號表達出來，列出方程組.解方程時請同學們認真計算，鼓勵學生靈活交錯使用代入法和加減法解方程組.

再請同學們思考：以上問題能列出不同的方程組嗎？解是否一致？

檢驗可知方程組的解即實際問題的答案，得到大牛、小牛實際1天所需飼料量，回答問題時別忘了原題是問估計是否正確，因此要比較答案和估計范圍后再回答問題.

解：設每頭大牛和每頭小牛1天各需用飼料xkg和ykg.

答：每頭大牛1天約需飼料20kg，每頭小牛1天約需飼料5kg.因此，飼養員李大叔對大牛的食量估計較準確，對小牛的食量估計偏高.

3.思考回顧，歸納總結

（引導學生一起總結）回顧一下剛才的解題過程：首先有一個待解決的實際問題，我們通過轉化問題形式，找出未知量、已知量及數量關系，列出方程組，即將實際問題轉化成了數學問題，解方程組后就得到數學問題的解，經驗證，符合實際意義的解即為實際問題的答案.這樣的過程我們稱為“數學建模”.

4.簡單應用，鞏固提升

劉老師購買運動會的獎品后，向總務處李主任交賬時說：“我買了兩種書共105本，單價分別為8元和12元，我領了1500元，現在還剩418元.”李主任計算后說：“你肯定搞錯了.”李主任為什么說他搞錯了？

分析劉老師是哪里錯了：由題意可知他花了（1500-418）元買了單價為8元和12元的書共105本，這兩種書各買了多少本？能求出來嗎？假設8元的買了x本，12元的買了y本，得到等量關系：①8元書的數量+10元書的數量=書本總數，②8元書的總價+10元書的總價=所花總錢數.由此可得解完方程組，接下來呢？檢驗.x、y的值是小數，不符合實際意義，故劉老師的話一定出現了錯誤.

5.課堂小結，思想升華

通過這節課的學習，大家有什么收獲？

二元一次方程組可以幫助我們解決許多實際問題；如何將實際問題轉化為數學問題；什么是數學建模……

四、教學啟示

分析學生的認知過程可以幫助教師更好地了解學生學習過程中可能遇到的困難，掌握學生的學習情況，并根據學生的實際情況設計教學方案.比如，檢驗估計問題中沒有直接提問要求的量，學生解題時可能找不到未知量，因此可設計題型類似但難度更低的題目為學生提供可參照的范例，同時幫學生建立信心.

同時考慮具體的教學內容和學生的認知特點兩方面來設計引導問題，有助于學生在認知過程中快速形成正確的產生式規則.例如，為了讓學生能更順利地發現探究2中的未知量，筆者先設置了更簡單的探究1；探究1中兩種解法對應兩個產生式：檢驗估計→假設估計正確加以驗證；檢驗估計→求出估計的實際值，而前者適合估計為準確數值類型，后者適用于估計為大致范圍類型.

相關研究表明，策略的準確性是影響學生解題策略選擇的因素，且學生總傾向于用自己認為好的方法解決問題，而不是教師所教授的方法.因此筆者認為讓學生在課堂上使用他們喜歡的方法，待發現效果不好甚至錯誤后再進行正確方法的引導和教學，能使學生印象深刻且更愿意接受教師的方法，教學效果會更好，因此有探究2先讓學生嘗試用方法1的設計，同時能凸顯方程法的優勢.

五、結語

文中的不足在于“檢驗估計”問題解決認知過程是筆者依據ACT-R理論的認知觀針對這一具體問題進行的教學分析嘗試，只是從表層開展模擬驗證，更多停留在理論階段；設計的教學過程盡管在實際教學中實施過，但由于未做課前測試或對照試驗，缺乏效果對比的驗證，因此接下來的研究將對學生認知開展更規范的模擬實驗，進一步將上述教學設計應用于教學實踐，并編制問卷測試實驗效果，以驗證本研究的真實性，在此僅拋磚引玉，企盼得到大家的指正.