注重知識形成過程的初中數學教學案例研究

☉安徽省宣城市宣州區金壩中心初級中學 袁永春

建立在學生認知發展水平與已有知識經驗基礎之上的數學教學才能令學生的思維更加活躍并積極參與到數學活動中，使學生能夠在自主探索與合作交流中對基本的數學知識與技能、數學思想與方法有真正的理解，在獲得豐富數學活動經驗的基礎上對數學知識的形成與本質形成獨到而深刻的理解.因此，教師應著眼于知識的形成、知識本質的揭示及學生發散思維的訓練進行有效的數學課堂教學.

學生必然會興致倍增并積極開展探索活動.

圖2

一、再現知識的形成

初中學生的抽象思維能力比形象思維能力相對薄弱，教師應關注到學生的這一認知特點，并以學生已有知識為出發點再現知識的形成，引導學生在精心設計的多種教學手段中對知識形成的過程展開觀察、歸納與發現，幫助學生在教師的精心指導中獲得學習能力與創新能力的發展.

例如，教師在“多邊形內角和定理”的教學中可以引導學生做如下思考：

首先出示△ABC，并引導學生對三角形內角和定理進行有效回顧，然后在AC邊上取一點D并將點D向△ABC外移動，線段AD、CD出現，隱去線段AC得到四邊形ABCD，以此類推并最終得到如圖1所示的六邊形.過該六邊形的一個頂點作出其對角線并將其分割成四個三角形，六邊形的內角和即為這四個三角形的內角和之和.

啟發學生在以上思考的基礎上進行討論與交流，并使其在合作學習中歸納得出n邊形內角和的計算方法.

教師接著可以這樣提問：如圖2，將圖2（1）中每個三角形的公共頂點A1（P）沿線段A1A2運動并形成圖2（2），大家能在這一變化中獲得求多邊形內角和的不同方法嗎？或者，你們可還有更好的想法？大家都來試試.

圖1

二、揭示知識的本質

教師在具體教學中，應為學生多創造學生能夠積極參與的數學活動并引導學生進行歸納與總結，令數學知識的本質在學生的親身參與和深刻理解中獲得展現.

例如，教師在“全等三角形”的教學中可以進行以下設計：

問題1：如圖3（1），已知AO=DO，BO=CO，求證：△ABC △DCB；

圖3

問題2：如圖3（2），已知AO=DO，BO=CO，BE=CE，求證：△ABE △DCE；

問題3：如圖3（3），已知AO=DO，BO=CO，BE=CF，求證：△ABE △DCE.

學生面對以上比較常規的問題都能解決得比較順利，教師可以在此基礎上啟發學生歸納與總結：大家能歸納出此類問題之間的規律呢？

學生在教師的啟發下立即開始了討論和動手操作，并歸納出了其中所隱含的圖形運動：將△ABE沿直線BC作平移即可得到圖3中的圖形.引導學生再次研究可得：將△ABE以過點A且垂直于BC的直線l為對稱軸并進行翻折（如圖4），將翻折后得到的△AFC平移即可得到圖3中的各個圖形.

圖4

進一步啟發學生：若要使△ABE沿直線l翻折后能直接得到以上圖形，我們應該怎樣確定直線l的位置呢？

三、發散思維訓練

1.圖形變式

對圖形進行適當的變式并引導學生重新思考往往能夠鍛煉學生的發散思維能力.一般來說，圖形的變化包含特殊圖形一般化和整體固本這兩個方面，舍去圖形中的一些次要元素是整體固本這一圖形變化的主要思想.

例如，在圖5中，Rt△ACD是圖中涉及最多的圖形，若將另一半舍去，正方形ABCD中的結論PE+PF=AB還成立嗎？

圖5

圖6

變式1：如圖6，在等腰直角△ACD中，斜邊AC上任一點P到兩直角邊的距離之和為其一條腰的長.

變式2：如圖7，△ACD中，DA=DC，P是底邊AC上任意一點，過P作PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分別為E、F，AH⊥CD于H，則PE+PF=AH.

圖7

圖8

變式3：如圖8，在等腰直角△ACD中，∠ADC=90°，點P是 三角形內一點，且∠PDC=∠PCD=15°，則AP=AD.

2.多種證法

教師在具體教學中應著眼于一題多證這一幾何的重要特點，引導學生對一題多證展開研究，這對于學生創新能力的發展來說極其重要.

例如，在變式2的解決中，可以引導學生從多個角度進行思考并證明：

思路1：延長法，即利用延長線將兩段或多段線段拼成一段并證明其相等.

分析1：如圖9，延長FP至點Q，使PE=PQ.易證△PAE△PAQ，則AQ⊥PQ，所以PE+PF=PQ+PF=QF=AH.

圖9

圖10

圖11

思路2：截短法，即將某一線段截短成兩段或多段，并根據其中明顯相等的線段來證明其他線段相等.

分析2：如圖10，與分析1證法相似.

思路3：面積法，即通過等面積法來探尋線段之間的關系.

分析3：如圖11，連接PD，利用S△ADC=S△DAP+S△DCP.

思路4：三角函數法，即利用直角三角形中的三角函數定義把邊和角聯系起來并進行關系的探尋.

分析4：如圖7，在Rt△AHC中=sin∠ACH，則AH=AC·sin∠ACH.

同理可得：

PE=PA·sin∠DAC，PF=PC·sin∠DCA.

又∠DCA=∠DAC，則PE+PF=AH.

評注：引導學生在多種證明方法的思考中激發出主動探索的意識并培養其創新意識與能力.

3.動手實驗

根據教學內容巧妙設計開放性問題，并引導學生親手實驗，能令學生的發散思維得到很好的鍛煉.

例如，請學生利用紙張折一折，并將等腰直角△ACD分成面積相等的五個部分，大家有多少種方案呢？

學生往往在合作實驗與探索中能夠獲得更多的分割方法（.圖略）

總之，教師只有讓學生真正成為學習的主人，才會令學生的思考更加積極，才能令學生在大膽探索、猜想與嘗試中獲得真實、有效的學習效果.因此，教師一定要根據教學內容進行有意義的設計，并引導學生在不斷探索中不斷獲得新奇的發現，使學生能夠在享受探索帶來的樂趣之時獲得學習的激情、深刻的理解、與日俱增的學習能力及學習的持久動力.F