合作中質疑，質疑中生成*
——以一道中考試題的講評為例

☉內江師范學院數學與信息科學學院 劉成龍

☉內江師范學院數學與信息科學學院 胡 丹

☉內江師范學院數學與信息科學學院 楊小兵

學習金字塔理論表明：不同的學習方式得到的學習效果區別很大，位于塔尖的是學生單憑閱讀或聽老師講授，效果最差（保持10%）；位于塔基的是學生動手參與和給別人講授，效果最好（保持90%）.可見，積極主動、合作交流是最有效的學習方式.［1］在教學中如何開展主動、合作的學習方式呢？研究者認為，質疑是一種較好的方式.所謂質疑，是指提出疑題.質疑是思維交流的重要方式，是創造的源泉.通過質疑喚醒固化的思維、閃現智慧的火花，通過思維碰撞、邏輯表達、活動反思，最終達成互識、共識.研究者以一道中考試題為載體，展示學生在合作中質疑、質疑中生成的整個講評過程.

問題：（2011年湛江中考）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A、D作圓O，使圓心O在AB上，圓O與AB交于點E.

（Ⅰ）求證：直線BD與圓O相切；

（Ⅱ）若AD∶AE=4∶5，BC=6，求圓O的直徑.

圖1

一、教學實錄

片段1：生疑——答案展示，認知沖突

師L：課后作業題（上述問題）第（Ⅰ）問較簡單，這里不作分析.請大家展示第（Ⅱ）問的答案.

生2：不對，是5.

……

設置意圖：教師L故意設置“結構不良”的問題，有利于驅動課堂的發展：學生解答時產生了不同的答案，而這些答案又是學生經過計算實實在在得到的結果，這讓學生產生了疑惑，陷入了憤悱狀態，有利于激發指向學習活動本身的內驅力，為下一步問題的探索、操作和掌握做鋪墊.

片段2：質疑——各抒己見，暴露思維

師L：能否說說你們的想法？

生6：如圖2，連接DE.由題意得∠ADE=∠C=90°，故DE//BC，所以△ADE △ACB.又D為AC的中點，可得DE=BC=3.設AD=4x，則AE=5x，DE=3x，則x=1，AE=5，即圓的直徑為5.

師L：生6的做法，大家聽懂了嗎？

圖2

眾生：懂了.

師L：說說你的做法.

生7：如圖2，連接DO、DE.同生6一樣，可求得DE=3.設圓的半徑為r，在Rt△ADE中，AD=.因為點D為AC的中點，則AD=DC，AE=EB=2r，故在Rt△DCB中，DB2=DC2+CB2=4r2-9+36=4r2+27.在Rt△ODB中，DB2+OD2=OB2，則4r2+27+r2=9r2，解得，故圓的直徑為3.

師L：生7表述清楚，但答案與生6不同，這是為什么呢？

全班同學陷入了思考.

師L：得出其他結果的同學來說說你們的做法.

生8：如圖2，由DE//BC，得∠EDB=∠DBC.又∠EDB=∠A，所以∠A=∠DBC，故cos∠A=cos∠DBC，則.又BC=6，解得.又點D為AC的中點，顯然DE為Rt△ACB的中位線，則AE=BE.由切割線定理可知：BD2=BE·BA=2AE2，故，即圓的直徑為

師L：生8的思路正確、推理嚴格，所得答案為什么和生6、生7都不一樣呢？

全班學生竊竊私語，再一次陷入了思考和討論中.

生9舉手，師L示意生9回答.

師L：答案又不一樣了.

師L：5位同學的解答思路、邏輯表達、推理過程都是對的，但得到了5種不同的答案，顯然這與答案唯一相矛盾.能否找到原因呢？

學生再一次陷入了思考……

設計意圖：《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下文簡稱《標準》）指出教師是教學活動的組織者、引導者，學生是學習活動的主體.［1］教師應創設民主、和諧的課堂氛圍，將時間、空間、話語權留給學生，讓學生在交流中引發深入的思考，從而迸發思維的靈感；讓學生在表達中訓練數學邏輯；讓學生在傾聽中引發反思，從而不斷修正、調整.

片段3：釋疑——刨根問底，追本索源

生11：生6的解答中用了“D是AC的中點”和“AD∶AE=4∶5”這兩個條件，但生7沒有用到AD∶AE=4∶5.

師L：你的意思是AD∶AE=4∶5這一條件多余？

生11：好像是.

生12：但是生10的解答中沒有用到“D是AC的中點”這個條件呀.

師L：“D是AC的中點”也多余？這兩個條件可以去掉嗎？

生13：感覺是多余的，但不能同時去掉.

師L：生8、生9的解答中這兩個條件都用了，但解答結果都和生6不一樣，這是為什么呢？

生14：難道這是一道錯題？

師L：錯在哪里？

生14：好像條件“D是AC的中點”和“AD∶AE=4∶5”在打架一樣.

師L：打架是什么意思？

生14：感覺不能共存一樣.

師L：生14表達的意思在數學中稱為條件間不相容：由“D是AC的中點”不能推出“AD∶AE=4∶5”，由“AD∶AE=4∶5”不能推出“D是AC的中點”.

眾生：哦.

師L：能否驗證生14的猜測？

生15：生10的解答中僅用“AD∶AE=4∶5”，得到DC=，顯然AD≠CD，不能推出“D是AC的中點”.

師L：講得很好，你在已有的成果的基礎上說明了“AD∶AE=4∶5”不能推出“D是AC的中點”，大家能說明另一種情形嗎？

生16：生7的解答中只用條件“D是AC的中點”，得到DE=3.設圓的半徑為r，則AD2=CD2=4r2-9.由切割線定理可知：BD2=BE·BA=8r2，在Rt△DCB中，4r2-9+36=8r2，解得.于是AE=3，AD=3，不能推出“AD∶AE=4∶5”.

師L：生15、生16驗證了兩個條件不相容，這正是得到不同答案的原因.

設計意圖：教師設置了一系列追問，繞過淺層教學，直接進入知識意義系統的深度教學.具體來講，教師引導學生通過尋找各種解法間的差異與關聯，水到渠成地讓學生“喊出”試題錯誤和條件“打架”的猜測，并通過“證明”真切認識兩個關鍵條件的不相容關系，從而消除疑問.

片段4：消疑——優化試題，回歸合理

師L：試題中兩個關鍵條件不相容，能優化嗎？

生17：去掉“D是AC的中點”.

生18：去掉“AD∶AE=4∶5”.

師L：很好，刪掉“AD∶AE=4∶5”和“點D為AC的中點”其中一個條件可以使得試題科學、合理.

師L：刪掉“AD∶AE=4∶5”后的試題，答案是多少呢？

師L：對.去掉“點D是AC的中點”呢？

師L：至此，問題得到了優化.

設計意圖：通過合作交流，去除“多余條件”讓“結構不良”的試題得到優化，生成了新的成果，這有利于加深學生對問題的理解，同時讓學生真切感受成功的愉悅感，增強學習數學的成就感和自信心.

二、教學感悟

反思即元認知，是人們以自己的認知活動過程及結果為認識對象的認識活動.弗賴登塔爾曾提出：“反思是重要的數學活動.它是數學活動的核心和動力，是一種積極的思維活動和探索行為，是發現、是再創造”.［2］本案例中，教師L以一道“結構不良”的中考試題為載體，展示了一節別開生面的講評課.具體來說，教師L設置了生疑、質疑、釋疑、消疑四個環節，讓學生經歷了在合作中質疑、質疑中生成的整個過程.同時，學生在質疑、探索、釋疑中真正明白自己所困惑的問題，在自我發現、解決問題的過程中獲得“實現自我”的快樂，充分暴露學生的思維歷程，展現自己的思維方法.整個講評過程自然、和諧、民主、有效，引起了研究者深入的思考，以期引起讀者的共鳴.

1.教學的有效性

有效教學是指教師在達成教學目標和滿足學生發展需要兩方面都獲得成功或表現俱佳的教學行為.［3］具體來講，有效教學的根本目的是學生的發展，尤其是思維的發展.本案例中，學生思維品質得到了發展，批判精神得到了鍛煉：教學中，信息流向并非傳統的講—練—講的單一模式，而是在問題驅動、合作互動的多向流動中引發不同思維碰撞、各種視域融合，進而培養思維的靈活性、深刻性和批判性.試想，若教師L在講評中直接告知學生試題答案、存在的錯誤及優化方式，這將在學生頭腦中留不下任何痕跡，而通過合作、質疑的方式發展了學生的認知和數學思維，堪稱高效.

2.教學的藝術性

教學是一門高超的藝術.整個教學中教師L表現出了較為高明的教學藝術.

（1）教師L善于追問.

追問既是學問，也是一門藝術.追問能提升質量，追問能提升品味，追問能開啟智慧，追問能掀起課堂的高潮，追問能演繹課堂的精彩.［3］教師L并沒有直接告知學生試題是一道錯題、錯在哪里、怎么糾正，而是通過一系列富有針對性、啟發性、聚焦性的追問啟發學生思考、推動教學活動有序發展，讓學生在合作中、質疑中達成共識.

（2）教師L善于營造民主氛圍.

人本主義教學理論認為，良好的師生關系是有效教學的基礎.心理學研究表明，在現實的學校生活中，只有民主、公正、理解、愛護、尊重學生的教師，才可能使學生產生學習的熱情、克服困難的意志和創造的欲望.［4］教師L充分信任學生、尊重學生，以平等姿態與學生對話，將時間、空間、話語權交給學生，整個過程中，教師就是一個組織者、引導者、研究者、合作者.案例中，學生敢于表達內心所惑、內心所思，表現出了較大的學習熱情和創造力，這些均得益于民主的氛圍.

3.學生的主體性

《標準》指出：學生是學習的主體.［1］質疑是一種“再創造”的思維活動，需要發揮學習者的主體性、自主性與創造性.［5］在教學中，可以引導學生“三動”來參與質疑活動：

一是行動.所質疑的問題能激發學生的學習動機，引起學生深度參與，使他們深度融入到質疑活動中.案例中的問題“結構不良”，遠在學生的意料之外，這有利于調動學習者的學習動機，使他們感受生疑、質疑、釋疑、消疑的認知過程.

二是互動.質疑活動強調師生之間的合作、溝通，更強調生生間的合作與對話，在師生對話、生生對話的過程中形成“互識”與“共識”.本案例中，通過合作給出了四種不同的答案，讓學生產生了困惑；通過多種方法的梳理，讓學生對試題產生了質疑；通過師生合作，達成了條件多余、條件不相容的“共識”；通過師生配合，最終優化了試題.在整個過程中，師生既有行為參與，還有認知參與和情感參與，豐富了思維的內容和方式.

三是心動.質疑的過程是學習者情感、態度、信念、價值賦予的過程.在經歷生疑、質疑、釋疑、消疑的過程中，使學生產生強烈的沖突感、發現感、成就感與自我存在感、價值感.特別是在釋疑、消疑等環節中，學習者不斷地感受到新發現、新成果，將質疑活動推向了高潮，極大地發展了他們的問題意識與創新意識.