意義建模：讓數學教學煥發“模”力

茅婷婷

[摘要]模型建構關鍵在于讓學生體驗建模的過程。“生活世界”是意義建模的牢固根基，“抽象概括”是意義建模的有效提煉，“意義賦予”是意義建模的靈動運用。在數學意義建模過程中，學生能觸摸到數學的“模”力與魔力。通過數學建模，教師可以不斷地提升學生的數學學習能力，發展學生的數學核心素養。

[關鍵詞]小學數學;意義建模;模型建構

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2019）35-0091-02

學生數學學習的過程，說到底就是“數學化”的過程。所謂“數學化”，就是讓學生經歷從生活到數學的模型建構。模型建構，關鍵在于讓學生體驗建模的過程。模型建構有助于學生發現數學知識、建構數學知識、創新數學知識。意義建模，就是要讓學生用數學的眼光打量生活，用數學的大腦考量世界，用數學的方式解決問題。在數學教學中，意義建模既是一種方法，也是一種思想。

一、生活世界：意義建模的牢固根基

“數學化”過程包括“橫向數學化”和“縱向數學化”。所謂“橫向數學化”，就是將學生從生活世界引向數學符號世界。胡塞爾語：“所謂生活世界，就是學生置身其中的、預先給予的、活生生的世界。”因此，生活世界是學生意義建模的根基，是意義建模的起點，也是意義建模的歸宿。因此，在數學教學中，教師要主動鏈接學生的生活世界，激發學生的建模興趣，讓學生積極、主動地建模。

例如，在教學“間隔排列”時，教材提供了這樣的生活情境圖：兔子木樁圖、夾子手帕圖、籬笆木樁圖，讓學生直觀感受間隔排列，建立“兩端物體”和“中間物體”的概念。有了初步的生活化的情境感知，教師還可以讓學生舉出生活里間隔排列的例子。借助舉例，引導學生認識間隔排列的特征，即中間物體比兩端物體少1，或兩端物體比中間物體多1。通過生活中的間隔排列事物的列舉，引導學生思考：為什么兩端物體比中間物體多1，或者為什么中間物體比兩端物體少1 ？從而激發學生的數學思考，將學生從生活世界導向數學世界，促發學生感悟：在間隔排列中，兩種事物之間是一一對應的關系。一組組地圈畫，學生就能發現，兩端物體和中間物體在前面都是成對出現的，最后多了一個兩端物體，所以兩端物體比中間物體多1。在生活化情境中，學生根據生活原型，嘗試對間隔排列現象進行描述。通過生活化的表達，學生能找到間隔排列的數學規律，領悟到間隔排列的本質，形成了“一一對應”的思想。這樣的教學，為學生進一步學習“周期現象”奠定了堅實的基礎。

小學數學是質性數學，與學生的生活世界有著千絲萬縷的聯系，離開了生活世界的數學學習，無疑是無源之水、無本之木。將數學與學生的生活世界鏈接，學生的生活世界能自行解蔽、敞亮。在生活世界中，學生不僅建立了豐富的數學知識表象，更激活了數學思維。

二、抽象概括：意義建模的有效提煉

如上所述，學生的“數學化”過程不僅包括“橫向數學化”，也包括“縱向數學化”。所謂“縱向數學化”，就是在數學的符號世界里進行塑模、提煉與概括。數學教學不是解決某個具體問題，而是解決一類問題，是通過一個具有普適性意義的模型解決一類問題。比如“一筆畫”問題解決了著名的“七橋問題”，就彰顯了模型的力量。在數學中，模型具有較強的解釋力，是對數學問題的抽象化、簡約化、本質化的描述。

以小學數學最為重要的數量關系的模型建構為例，從眾多的、形式不同的相遇問題中概括出“速度和×相遇時間=路程和”;從眾多的、形式不同的追及問題中概括出“速度差×追及時間=路程差”，進而提煉出“速度×時間=路程”;從眾多買東西的事例中提煉出“單價×數量=總價”;從眾多的工程問題中提煉出“工效×工時=工作總量”等。當我們將這么多數量關系概括起來進行整體觀照時，不難發現這些數量關系可以建構一個更具普適意義的數學模型：每份數×份數=總數。應該說，這樣的數學模型超越了個別的數量關系，具有更高的統攝性、包容性，是一種更為上位、更具統馭意義的關系。再比如，從長方形、正方體、圓柱體的體積公式中建構具有統一意義和價值的“V=Sh”的直柱體的體積公式模型;從整數加減法、小數加減法、分數加減法的計算法則中提煉出“只有計數單位相同才能直接相加減”等，也是一種數學模型。因此，從根本上說，學生數學學習的過程就是抽象、推理和建模的過程。在數學教學中，教師要有數學模型建構的意識。只有將個別化、孤立的數量關系、數學公式、計算法則等提煉成數學模型，才能讓學生感受到數學知識的內在統一。

提煉、概括、建構數學模型，能讓學生觸摸到數學知識的本質。在這個過程中，教師要引導學生感知生活原型，經歷數學建模的過程，感受數學模型的意義和價值。教師要豐富建模內容，激發學生建模的興趣，指導學生建模的方法，展示學生的建模過程，只有這樣，學生在數學建模中才能體會到數學思想，積累豐富的數學活動經驗。

三、意義賦予：意義建模的靈動運用

意義建模只有回歸實踐才有意義。從數學到生活、從理論到實踐，就是學生對數學模型進行意義賦予的過程。對數學模型進行意義賦予的過程更能彰顯學生的數學思維、催生學生無限的數學想象。數學教學從某種意義上看，就是引導學生在“數學化”與意義賦予之間來回穿行。

值得注意的是，學生對數學模型的意義賦予，有時是不成熟的，甚至是錯誤的。教師要呵護學生的意義賦予，鼓勵學生的意義賦予，不能絕對地對學生的意義賦予進行批評指責，應抓住學生意義賦予的可取之處，調動學生的積極性。例如，教學“用數對確定位置”后，學生建立數對的模型——（x，y）。筆者讓學生列舉生活中的一些用數對確定位置的事例。一位學生用兒童化、故事化的講述方式講述了一則童話故事：小鴨子從家出發，先向東走了5步，又向西走了7步，小鴨子的位置在哪里？小鴨子向南走了3步，又向北走了8步，小鴨子現在的位置在哪里？學生的故事讓數對知識生動了起來。那么，以什么位置作為小鴨子的原始位置呢？學生經過討論，認為應該以小鴨子最開始所在的位置作為原點。那么，問題又來了，小鴨先向東走了5步，又向西走了7步，也就是說小鴨到了原點的左邊。如果以向右作為正方向的話，那么向左就是負方向了。這里，將數軸從正方向拓展延伸到負方向，讓用數對確定位置從正數拓展到負數，讓直角坐標系由原來的兩個象限拓展到四個象限。學生故事化的意義賦予，讓小學的用數對確定位置與初中的直角坐標系的內容連接了起來。這不僅讓學生認識到了數對的本質，更活化了學生的數學認知，突破了數學學習的瓶頸。

當教師引導學生進行意義賦予時，就必須充分調動學生學習的積極性、能動性。意義賦予的過程能展現學生的思維，讓教師把握學生數學學習的樣態。在數學教學中，教師還可以引導學生對數學模型進行評價。只有當學生能夠進行“模型化”思考，具備了“模型化”的數學眼光、思考方式時，意義建模才能彰顯應有的魅力。

教師要善于發掘數學知識中的模型因子，豐富建模內容和形式，啟迪學生的建模方法，如讓學生在生活中建模、在有效遷移中建模等等。在學生建模過程中，教師要適當穿插一些模型背景，只有這樣，學生才能明晰模型的意義，科學地進行數學模型的意義賦予，真正提升數學學習能力，發展數學核心素養。

（責編黃露）