基于數學核心素養的幾何推理論證入門教學的三個“注意”

黃寶玉

摘要：在培養數學核心素養理念下的幾何推理論證入門教學中，為了克服幾何推理論證入門難關，發展學生的數學核心素養，教師應注意概念定理的探索發現與理解;培養學生幾何識圖能力，發展學生的邏輯推理素養;培養學生的幾何語言表述能力。

關鍵詞：初中數學;幾何;推理論證;數學核心素養

如何搞好平面幾何推理論證入門教學，以及如何在幾何推理論證入門教學中發展學生的數學核心素養，是值得每一個數學教師深入研究的重要課題。本文主要探討基于核心素養的平面幾何推理入門教學中應注意的三個方面，供參考。

一、注意概念、定理的探索發現與理解

（一）重視概念和定理的引入方式

七年級是幾何入門階段，涉及的概念、命題、定理和公理眾多，它們是推理論證的重要依據和基礎。若此階段教師沒有考慮初一學生的心理特征和認知規律，勢必會陷入教與學的兩難境地。有研究表明：學習是在學習者已有經驗的基礎上，通過與外界相互作用而自主構建的過程。因此，教師應從學生原有的認知結構中發展新概念和定理：靈活采用操作、演示、選用貼近學生生活實際的教學案材、創設教學情境等教學方式和手段，來豐富學生的感性認識，并在此基礎上逐步加工提煉，使新概念和定理的產生自然流暢，符合學生的認知規律。促進學生“數學想象”“數學推理”“數學直觀想象”等數學核心素養的提升。例如，在等腰三角形“三線合一”教學時，可以讓學生自己動手畫圖，從畫圖中探索發現“三線合一”定理：等腰三角形底邊匕的高、中線、角平分線三線重合;又如在學習等腰三角形“等邊對等角”這一性質時，讓學生課前準備一個等腰三角形，在課堂上讓學生動手量一量、折一折，探索發現“等邊對等角”的性質。上述2個例子中教師通過讓學生以動手操作的方式，探索發現新定理，并在此基礎卜發展出新定理。增強了學生的感性認識，既強化了學生對幾何的興趣，又能使學生更深入地理解概念和定理的內涵和外延。

（二）注重文字語言與圖形、符號語言的互譯

幾何概念、定理、公理的文字語言嚴謹簡練，勢必給學生的理解、掌握、運用造成一定困難，因此，在幾何教學中，教師應把培養學生的文字語言與圖形語言、符號語言之間的互譯能力作為一項重要任務，結合具體圖形把幾何概念、定理、公理、推理的文字語言翻譯為符號語言。例如：在初學“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行”這個定理時，可按下列步驟引導學生實現三種語言的互譯：

步驟二：以文作圖這樣做，能增強學生對該定理的理解、領悟、運用，還能為以后“正確進行推理論證書面表達”奠定良好的基礎。

二、注意培養學生幾何識圖能力

幾何識圖能力是幾何推理論證的核心能力。七年級數學教材的例題和習題中蘊藏著豐富的基本圖式，教師應注重挖掘和提煉、引導學生抽象概括此類圖式的共同特征，歸納為基本圖形，并應用于解題。鑒于以往學生在幾何推理論證過程中，面對較為復雜的幾何圖形，難以完成探究任務，在幾何推理論證入門教學時，教師應注重發展學生的識圖、辨圖、讀圖能力。

（一）加強基本圖形的變式訓練

基本圖形的變式訓練就是在維持原圖本質特征不變的前提下，有意識地將圖形的非本質特征，如形狀、位置等進行多角度、全方位的變化，引導學生從“變”中發現“不變”，在認清圖形本質屬性的過程中，領略“萬變不離其宗”的美妙人生境界及“以不變應萬變”的思維方法。揭示圖形的本質屬性，發展學生的“幾何直觀”“空間想象”“邏輯思維”等數學核心素養。例如在學習同位角、內錯角、同旁內角概念時，為了避免學生只會辨認“標準圖形”的幾種角（圖2），教師可以在圖2的基礎上呈現不同狀態的平行線的關系來進行變式訓練，要求學生找出圖3，圖4、圖5中的同位角、內錯角、同旁內角。避免學生只會辨認圖2位置的幾種角，不認識其他位置的角，揭示了同位角、內錯角、同旁內角的本質屬性，真正形成概念。

（二）分解復雜圖形訓練

平面幾何基本圖形有點、線、角、三角形、四邊形、圓等，它們通過一定方式組合成相對復雜的圖形。《義務教育數學課程標準》在幾何方面的學習要求學生：“能從較復雜的圖形中分解出基本圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，利用直觀來進行思考。”正確識別、分解基本圖形，或根據殘缺的基本圖形添加輔助線構造出完整的基本圖形，從而挖掘出隱藏在復雜幾何圖形中的數量關系和位置關系，是培養幾何推理論證能力的有效途徑。

例如：如圖6，已知：C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN=BM。

此題把多個三角形有機組合在一起，并隱含了等邊三角形、全等三角形等基本圖形，它是一道典型的圖形分解題型，從圖形中分解出全等三角形是解決本題的最佳途徑。

（1）要證AN=BM，需證明分別以AN、BM為邊的兩個三角形全等，因此要把這兩個三角形從這個錯綜復雜的圖形中分解出來。

（2）教學時，先讓學生將以AN、和BM為邊的三角形全找出來，它們是△ACN、△ABN、△BCM和△BAM（圖7）。

（3）再分析要證出△ACN≌△MCB就很容易了：

∵△ACM，△CBN是等邊三角形，

∴AC=CM，CN=BC，

又∵∠ACN=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+60°，

∴∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，

∴AN=BM

在解題時，教師要有意識地引導學生分解圖形，舍去干擾圖形，找出基本圖形，逐步培養學生的識圖能力，從而提升學生的幾何推理論證能力。

三、注意發展學生的邏輯推理素養

解答幾何推理論證題，清晰的邏輯推理是很重要的。邏輯推理是指從一些事實或命題出發，依據規則，推出其他命題或結論的素養。它是數學核心素養的重要組成部分，是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是學科嚴謹性、邏輯性的基本保證，它能幫助人們在數學活動中形成有條理、合邏輯的思維品質。平面幾何推理論證作為發展學生數學邏輯推理素養的良好載體，教師要善于利用。如何在平面幾何推理論證入門教學中發展學生的邏輯推理素養呢？筆者認為：幾何推理題，看似難以捉摸，但思考問題的方法是一定的，教師應在平時的幾何教學中有意識地教給學生思考、分析問題的方式方法，逐步培養學生的邏輯思維能力，發展數學核心素養，才能從根本上解決在入門階段學生由于邏輯推理素養較弱造成的種種教與學困境。

幾何中常用的分析問題的方法主要有以下三種：

1.綜合法：綜合法是從已知出發，運用相關定理，逐步推導到結論的方法，例如：

如圖：△ABD和△BCE都是正三角形，求證∠5+∠2=60°

分析：已知△ABD是正三角形，由這個條件可得到∠3，∠BDA、∠BAD都為60°，AB=BD=AD，

又已知△BCE是正三角形，由這個條件可得到∠4、∠BCE、∠EBC都為60°，BC=CE=BE，由∠3與∠4都為60°，可知∠DBC=∠ABE，又由AB=BD，BE=BC，可得△DBC與△ABE全等，從而∠6=∠5，又因為∠BEC=∠6+∠2，而∠BEC=60°，得到∠5+L2=60°

這種從已知分析到結論的方法就是綜合法。

2.分析法：分析法是從題目的結論出發，運用所學的定義、定理和公理，由果導因，一步步追溯到已知條件為止。

例如：如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數。

分析：在△BDC中，BD是AC邊上的高，即∠BDC=90°，為求∠DBC，可先求∠C的度數，在△ABC中，由已知條件∠C=∠ABC=2∠A可求得∠C的度數，設∠A=x，則∠ABC=2x，∠A=2x，用三角形內角和定理列方程x+2x+2x=180°，求出x即可知∠C的度數。

把上述分析過程倒寫過來就是證法。

3.分析綜合法：在解決較為復雜的問題時，一般是將這兩種方法合并使用，還有些題目可以用分析綜合法來尋找解題思路，分析綜合法即從題目的“已知”與“求證”出發向中間靠攏的方法，俗稱“兩頭湊”。

例如：已知△ABC是銳角三角形，以BC為直徑作圓，交AB于G，作此圓的切線AD，切點為D，又在AB上取點E，使AE=AD，過點E作EF⊥AB，交AC延長線于F。求證：AE/AB=AC/AF

分析：如圖，因為已知AE=AD，因此要證AE/AB=AC/AF，只要證AD/AB=AC/AF，又因為BC是直徑，所以CG⊥AB，又由EF⊥AB得，GC//EF，所以可以推出AC/AF=AG/AE=AG/AD，干是問題可以轉化為求AD/AB=AG/AD，即證AD²=AG·AB，這可由AD是切線可證。

如果能熟練運用這種以上幾種分析問題的方法，學生解題時方向明確、思路清晰，就能大大提升推理論證能力，因此，教師在教學中要經常有意識地逐步培養、滲透、加強訓練，逐步做到熟能生巧。

雖然幾何推理論證對學生的理解和思維能力要求很高，但是幾何推理能力的培養并不是完全不可捉摸的，培養學生邏輯思維能力，發展學生的數學核心素養，是一個漫長的過程，不能操之過急，必須從幾何推理論證入門開始，有意識、有計劃地，從簡單到復雜，循序漸進，使學生逐步學會推理論證的方法。

參考文獻：

[1]徐生根.數學思維的幾種方法[J].初中數學教與學，2004，4（4）.

[2]白雪峰.發展學生的邏輯推理素養[J].中學數學雜志，2018，7（8）.

編輯 謝尾合