例談中職學生數學核心素養的培養

摘 要：我們知道數學教學的最終目標，是要讓學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。而數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是模型。恰恰數學核心素養正是由數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六大板塊組成，這些核心素養既相互獨立又相輔相成，構成一個整體。

關鍵詞：中職學生；數學核心素養；培養

一、 問題的提出

什么是數學核心素養？張奠宙認為：“真、善、美”三個維度是核心素養的高度體現。對中職學生而言，他們很多人認為在以后的工作生活中很少用到數學，所以他們對數學不夠重視，有些甚至放棄數學學習。在加快職教體系的建設中，要落實立德樹人的根本任務，就必須引起他們對數學學習的重視，提高他們的數學核心素養。舉個簡單的例子：家里用的水電煤，現在都實行階梯計費，如果具備數學素養能幫助他們在具體的情境中發現、分析和解決問題，做到怎樣才能勤儉持家，這就是數學核心素養在生活中的體現。當然我們知道數學核心素養主要由數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六大板塊組成。那么如何讓我們的中職學生能慢慢地具備這些素養，并能在實際工作和生活中應用呢？當然靠數學課堂這個教學主戰場。因此在課堂教學中培養中職學生的數學核心素養是我們中職數學教師的迫在眉睫的任務，本文通過具體的教學案例，談談如何在數學課堂教學中培養中職學生的數學核心素養。

二、 問題的解決

（一） 在陳述性知識的教學中，培養學生的數學抽象素養

我們都知道，概念是屬于陳述性知識的學習，是數學學習非常重要的一塊內容，是掌握“四基”“四能”的基礎，因此學好數學的首要任務就必須正確理解概念，這樣的數學才具有終身發展和可持續發展的力量。但是說到概念，我們中職學生也許最不喜歡上的就是概念課，想當初的函數概念，教師上的是頭頭是道，學生聽的是云里霧里，很多教師最后索性把概念淡化，直接要求學生會求函數的定義域和值域，把能判斷是否同一函數作為學生是否聽懂的標準。殊不知，這樣做的結果就是學生只會做題，遇到函數的本質問題還是不會。由于數學概念的獲得離不開數學抽象的過程，而數學抽象是數學六大核心素養之首，因此教師還是要從具體到抽象，再從抽象到具體，讓學生充分理解概念的本質屬性。下面以對數的概念為例，來闡述如何培養中職學生的數學抽象素養。

案例1 4.5《對數的概念》教學片段（浙江專版第一冊）

情境1：已知等式：（1）23=N；（2）a3=8；（3）2x=8都是形如ax=N（a>0且a≠1）的式子，我們稱之為指數式。

問題1：從方程的角度看，這三個指數式中，分別已知什么？要求什么？你會解嗎？

學生1：從方程的角度看，這三個指數式中分別屬于：（1）已知底數2、指數3，求冪，23=8；（2）已知指數3、冪8，求底數，2=38；（3）已知底數2、冪8，求指數，3=？（回答不出）。

問題2：這個指數x的大小與哪些數有關？能否用現有的數表示？

學生2：與2和8有關。好像表示不出來。（學生處于一種“憤”“悱”的狀態）

設計意圖：對于指數式2x=8，指數x是由2和8唯一確定的，用學過的數無法表示，引起學生求知欲望。教師因勢利導從數學史的角度開始講解蘇格蘭數學家、神學家約翰·納皮爾的故事，說明他發明了一種數——對數，用對數將它表示為log28（通俗地講：3是由2和8這對數唯一確定，因此稱為對數。）即2x=8，x=log28（讀作：以2為底8的對數），其中23=8是指數式，x=log28叫作對數式。

情境2：試將下列指數式中的指數用對數表示出來。

（1）36x=6；（2）2-1=12；（3）34=81；（4）ax=N（a>0且a≠1）。

由（4）式得到對數的概念。

板書（對數的定義）：一般地，如果ax=N（a>0且a≠1），那么數x叫作以a為底N的對數，記作x=logaN，其中a叫作對數的底數，N叫作真數。

ax=N x=logaN

（指數式）（對數式）

（后面對數的運算和應用略）

設計意圖：學生先從已有的認知中了解對數的來源，但是用僅有的知識解決不了實際問題，從而引起學生的認知沖突，此時對數這個抽象的概念便呼之欲出，從心理上為概念的出現做好了鋪墊。從特殊到一般，從具體到抽象，用數學符號語言表達出了對數的定義，學生知道了概念的來源，從自身認知出發經歷了概念的產生和發展，形成了相應的活動經驗。我們知道概念的獲得，概念的應用，建立概念體系是數學概念學習的三個階段，它不僅是數學學習的基礎，更是代數運算、推理證明的依據。

（二） 在程序性知識的教學中，培養學生的邏輯推理素養

像數學定理和數學公式的推導等屬于程序性知識的教學，往往是根據一些已知條件，按照規則推出另一個結論的思維過程。邏輯推理能保證數學的嚴謹性，是數學結論、構建數學體系的重要方式，也是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質。

在證明均值不等式這一節課中，很多中職學生到后來都只記得這個結論，對于證明的過程一點印象都沒有，究其原因是因為很多中職數學教師弱化了證明過程，對學生的要求是能用均值不等式解決問題就可以。殊不知，數學是需要知其然，才能知其所以然的，這些證明的方法在很多地方都可以通用的，如果不掌握學生只會做這一類題型，其他的還是枉然，學生的邏輯推理素養還是得不到培養。

案例2 2.5《均值定理》教學片段（浙江專版第一冊）

問題：已知a，b都是正數，怎么判斷a+b2與ab的大小？并證明你的結論。

學生1：取a=1，b=2，ab=2≈1.414，a+b2=1.5，所以a+b2>ab。證明不會。

教師：哦！用特殊值法可以判斷兩式的大小，那還有沒有要補充？

學生2：取a=1，b=1，ab=1，a+b2=1，因此a+b2≥ab。

教師：也是取特殊值，發現還有相等的情況，不錯！但是，我們都知道特殊值法在選擇填空題中可以起到事半功倍的效果，但是在證明題中得到的結論不一定正確，需要合情合理的推理證明才能讓人心服口服。那么一般我們是如何來比較兩個數或式的大小的？

學生3：可以采用作差比較大小的方法。

教師：對！但是a+b2與ab，有個式子含有根式，我們可不可以先處理一下？

學生4：因為a，b都是正數，所以a+b2與ab也都是正數，即a+b與2ab也是正數，因此我們可以先平方比較，然后再還原。

教師：非常不錯！（學生敘述，教師板書）

a2+b2+2ab-4ab=a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，所以（a+b）2≥（2ab）2。

因為（a+b）2-（2ab）2≥0。因為a，b都是正數，所以a+b≥2ab，即a+b2≥ab。

設計意圖：數學很多時候是先猜想后證明，運用合情推理去猜想，再運用演繹推理去證明。在問題的解決過程中，經歷從特殊到一般的思維方式，先根據特殊值判定其大小關系，再對結論進行證明，從特殊到一般的歸納過程就是形成命題和猜想的過程。雖然中職學生的推理演繹能力沒有普高的學生強，但是并不意味著他們在以后的工作學習生活中不需要這個能力，所以培養中職學生的邏輯推理核心素養的培養是很重要的。

（三） 在實際應用問題的教學中，培養學生的數據分析和數學建模素養

數據分析是指針對題目中出現的相關數據，通過辨析對數據中的有用信息進行提煉，從而幫助解題。數學建模是把實際問題進行數學抽象，用數學的語言表達問題、用數學知識與方法來構建模型解決問題的過程。在運用數學知識解決實際問題的過程中，往往需要通過數據分析和數學建模將實際問題轉化為數學模型，求得數學模型的解，最后再將數學模型的解轉化為實際問題的解。中職學生估計最害怕的就是實際應用的題目，那么下面就以此為例來闡述。

案例3 3.5《函數的實際應用舉例——分段函數》教學片段（浙江專版第一冊）

在函數的應用教學中，有很多實際應用的例子，需要教師針對每個類型給學生講透，特別要依據實際生活中的現象，提煉數學信息，構建數學模型，解決數學問題，還原生活實際。下面以居民生活用電為例進行分析。

例：在中國有些地區，由于電力緊張，政府在號召居民節約用電的同時鼓勵夜間用電.四川省電網居民生活電價表（單位：元/kWh）規定“一戶一表”居民生活用電收費標準如下：

（1）月用電量在60kWh及以下部分，每日7：00～23：00期間用電，每千瓦時電價0.4724元；23：00～次日7：00期間用電，每千瓦時電價0.2295元。

（2）月用電量在61至100kWh部分，每kWh提高標準0.08元。

（3）月用電量在100至150kWh部分，每kWh提高標準0.11元。

（4）月用電量在150kWh及以上部分，每kWh提高標準0.16元。

根據以上規定，請建立該地“一戶一表”居民用電量與電費之間的函數關系模型。若某戶居民6月份的用電量為：7：00～23：00期間用200kWh，23：00～次日7：00期間用了100kWh，請計算這戶居民6月份應繳納的電費。根據所建立的模型為居民提供一個合理化的用電建議。

說明：1. 電表能準確地顯示每戶居民各時段的月用電量，且無公攤；2. 假設收費標準按月執行；3. 設z為“一戶一表”居民的月電費，居民一個月內在時段7：00～23：00的用電量為x，時段23：00～次日7：00的用電量為y。

教師：（出示題目）這里面有幾問？

學生1：有三問。一是建立電量與電費之間的函數關系模型；二是計算6月份的電費；三是提供一個合理化的建議。

教師：這三問最關鍵的是哪一問？

學生2：應該是第一問，第一問解決了，第二、三問也解決了。

教師：那解決第一問的關鍵是什么？

學生3：找出函數關系，也就是電費與用電量之間的關系。

接下來學生說，教師板演。

模型的分析與建立：居民月用電量應為在時段7：00～23：00的用電量與在時段23：00～次日7：00的用電量的總和，當總用電量超過60kWh而未超過100kWh時，超過 60kWh 部分的電量，居民需支付額外電費，依此類推……模型如下：

z=0.4724x+0.2295y，0≤x+y<60

0.4724x+0.2295y+0.08（x+y-60），60≤x+y<100

0.4724x+0.2295y+0.08×40+0.11（x+y-100），100≤x+y<150

0.4724x+0.2295y+0.08×40+0.11×50+0.16（x+y-150），x+y≥150

模型求解：這里x=200，y=100，因x+y=300>150，所以將x=200，y=100代入電費模型中的第4個，得z=150.13元。

建議：由于夜間（時段23：00～次日7：00）電價不到白天（時段7：00～23：00）電價的一半，所以居民應盡可能地在23：00～次日7：00時段用電，如一些耗電量較高的電熱水器等可設置在夜間工作。另外，由于用電量越高，電價越高，所以，倡議居民養成節約用電的好習慣。

設計意圖：通過學生自己思考，對題目中數據進行分析、提煉，這樣可以養成通過數據看問題的習慣。雖然中職學生的建模能力不強，但是師生一起合作，依托數據探索事物本質，建立數學模型活動，從而可以拓寬視野，增強創新和應用意識，最后激發內在的潛力。

（四） 在立體幾何習題課教學中，培養學生的直觀想象素養

借助幾何直觀進行空間想象，然后感知事物的形態與變化，從而利用圖形理解和解決數學問題，這就是直觀想象。直觀想象是發現、提出、分析和解決數學問題的重要手段，也是探索、形成、推理和構建抽象的思維基礎。

案例4 8.4《幾何體的面積和體積》習題課教學片段（浙江專版第三冊）

教師：（出示問題）在三棱錐OABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=3，OB=2，OC=1。分別經過三條棱OA，OB，OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關系為 。

（這個題目原題是OA>OB>OC，針對職高生，教師特意降低了難度，把它改編成具體的數據，這樣中職學生容易理解。）

經過小組合作，教師適當參與點撥，學生基本有兩種思路。

小組一代表：要比較S1，S2，S3的大小關系，只要把S1，S2，S3三個面積算出來即可。以S1為例，取BC的中點D，連接AD，S1即為△OAD的面積。因為OA，OB，OC兩兩垂直，所以AB=13，AC=10，CB=5。OD為直角三角形OBC斜邊上的中線，所以OD=52，所以S1=S△OAD=12×52×3=354。同理可得S2=2104，S3=134。所以S1>S2>S3。

教師：非常好！思路很清晰，而且計算也很到位。其他小組有沒有補充？

小組二代表：由于三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，故將三棱錐OABC放入以OA，OB，OC為同一頂點的三條棱的長方體中。

教師：這個想法很棒，你能代表你們組到黑板上來畫一畫嗎？

小組二代表：如圖，不妨先分析過棱OA的截面，因為要平分三棱錐的體積，所以它與平面OBC的交線平分△OBC的面積，所以它就是長方體中包含OA的對角面OAEF在三棱錐內的部分，所以S1=S△OAM=14SOAEF=354，同理可得S2=2104，S3=134。所以S1>S2>S3。

教師：這個方法減少了計算量，容易避開計算錯誤這個大坑，非常贊。

設計意圖：學生通過兩兩垂直的三棱錐聯想到長方體的一個角，運用熟悉的幾何圖形的直觀模型解決問題。學生把握圖形與空間的能力被提升了，探究的好奇心被增強了，創新意識也形成了。

（五） 在解析幾何的教學中，培養學生的數學運算素養

數學運算是根據運算法則解決數學問題。它是由理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果組成。在數學運算核心素養的形成過程中，學生通過提升數學運算能力，解決實際問題，促進思維發展，養成程序化思維的習慣，從而形成一絲不茍，嚴謹求實的科學精神。

案例5 《圓錐曲線與直線的位置關系》例題教學片段（浙江專版第三冊）

教師：（出示例題）過橢圓x216+y24=1內一點M（2，1）引一條弦，使弦被M點平分，求這條弦所在直線的方程。（思考：要求直線方程，已經有一個點已知，那么還需要知道什么條件？）

學生1：要么再來一個點，要么求斜率。

學生2：想要再求一個點，設一個交點為A（x，y），點A關于M（2，1）對稱，則求得另一個交點B（4-x，2-y）。因為兩個點都在橢圓上，所以點A，B都滿足橢圓方程x216+y24=1（4-x）216+（2-y）24=1，兩個未知數兩個方程，應該可以解，但是我還沒有解出來。

學生3：我是想直接求斜率，設直線方程為y-1=k（x-2），因為直線與橢圓有兩個交點，所以把直線方程代入橢圓方程求得兩交點，再利用M（2，1）是兩交點的中點，求得k。不過我也還沒有解出來，看著有點煩。

教師：兩位同學的想法都很好，其實第一位同學如果運算技巧過關的話應該已經能夠解出來了，把兩式相減，運用平方差公式解得4（2x-4）16+2（2y-2）4=0，化簡得到x+2y-4=0，再解得x=4-2y代入方程x216+y24=1，解得y=0或者y=2，再代入x=4-2y得到x=4或者x=0。于是得到這條弦所在直線的方程為x+2y-4=0。

學生4：啊！我發現所求的直線方程就是把兩點代入橢圓方程得到的兩式相減，運用平方差公式解得4（2x-4）16+2（2y-2）4=0，化簡得到的方程x+2y-4=0。

教師：對！你很細心哦！其實這里我給大家介紹一種設而不求的點差法計算方法。設直線與橢圓的交點為A（x1，y1）、B（x2，y2），

∵M（2，1）為AB的中點，∴x1+x2=4，y1+y2=2，

又∵A、B兩點在橢圓上，∴x21+4y21=16，x22+4y22=16，

∴兩式相減得（x21-x22）+4（y21-y22）=0，

∴（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴y1-y2x1-x2=-x1+x24（y1+y2）=-44×2=-12，即kAB=-12，

∴所求直線的方程為y-1=-12（x-2），即x+2y-4=0。

設計意圖：中職學生在數學的學習過程中遇到難煩的計算問題往往會繳械投降，這時需要教師分解難度，適當強化運算技巧，在困難中提出設而不求點差法的運算技巧，不僅讓學生記住了這個方法，而且在以后的類似的中點弦問題中不自覺地會想到這個方法，從而內化所學。

總之，數學運算能力的培養是一個循序漸進，螺旋上升的過程。教師要做好教學的頂層設計，站在系統的高度，規劃好達成教學目標的每一步驟，引領學生逐步提升數學素養。

參考文獻：

[1]鐘革輝.概念課教學的實踐探索[J].2018（6）：32-35.

[2]李剛，楊志文.例談學生核心素養的提升[J].2018（5）：11-14.

[3]陳萬斌.談數學運算核心素養的提升——以一堂解析幾何習題課為例[J].2018（6）：46-49.

[4]張嵐.基于數學核心素養的解析幾何教學——談數學運算能力的提升[J].中學教研（數學），2017（5）：27-30.

作者簡介：

何群，浙江省杭州市，浙江省富陽區職業高級中學。