“一字之差”的思考

周香

摘 要：數學是思維的體操，就像做廣播操可以鍛煉身體一樣，學數學可以鍛煉思維。下面，一起來體驗數學中“一字之差”帶來的思維體操吧。

關鍵詞：數學；巧妙解法；思考

思維訓練1：設ω>0，函數f（x）=2sinωx在- ， 上是增函數，那么ω的取值范圍是 。

思維體操1-1（常規的數學思維）：從定義出發，- ， 應該是f（x）=2sinωx所在增區間中某個增區間的子集。

解：當- +2kπ≤ωx≤ +2kπ（ω>0，k∈Z）時，- + ≤x≤ + ，即f（x）=2sinωx在- + ， + k∈Z上分別單調遞增，- ， 是f（x）過坐標原點的增區間，則

- + ≤- ； + ≥ ；ω>0.

解得當k=0時，0<ω≤ ；當k≠0時，ω無解。

綜上ω的取值范圍是（0， ]。

思維體操1-2（巧妙的數學思維）：從圖象的周期出發，f（x）=2sinωx的每個增區間的區間長度應不超過其周期的一半。

解：由

-- ≤ ；T= 。

有ω≤ ，又ω>0，故ω的取值范圍是（0， ]。

思維總結：“思維體操1-1”從定義出發，踏踏實實一步一個腳印的做法，雖然是正確的，但是計算非常繁瑣，容易導致計算錯誤；而“思維體操1-2”利用三角函數的周期性和單調性簡化了計算，思維非常巧妙，同時也體現了學生對三角函數性質靈活運用的能力。

但是，是不是類似這樣的題目都可以以“思維體操1-1”或者“思維體操1-2”的方法解答呢？下面請看“思維訓練2”。

思維訓練2：設ω>0，函數f（x）=2sinωx在- ， 上是增函數，那么ω的取值范圍是 。

“思維訓練2”是在“思維訓練1”的基礎上僅僅更改了一個數字，結果還會不會一樣呢？解題思路、方法又會有什么樣的變化呢？

思維體操2-1：類似“思維體操1-1”常規的思維，從定義出發，- ， 應是f（x）=2sinωx所在增區間中某個增區間的子集。

解：由

- + ≤- ； + ≥ ；ω>0.

解得當k=0時，ω≤ 且ω<2；當k≠0時，ω無解。

綜上ω的取值范圍是（0， ]。

思維體操2-2：同樣也可從圖像的周期性與單調性出發，

f（x）=2sinωx每個增區間的區間長度應不超過其周期的一半。

錯解：由

-- ≤ ；T= 。

有ω≤ ，又ω>0，故ω的取值范圍是（0， ]。

正確解法：由于f（x）=2sinωx是奇函數，關于原點對稱的定義區間內的單調性是一致的，故- ，0與0， 單調性一致，都是單調遞增的。所以，

-- ≤ ；T= 。

有ω≤ ，又ω>0，綜上ω的取值范圍是（0， ]。

思維總結：“思維體操2-1”沿用了常規的定義法，雖然無法避免計算上的繁瑣，但是實實在在地保證了結果的正確性；而“思維體操2-2”在利用巧妙的思維時卻弄巧成拙，上面的錯解看似天衣無縫，無懈可擊，但因為它忽視了f（x）=2sinωx函數本身所具有的對稱性，導致了過程、結果的錯誤。不過，我們不能因為一個錯解而否定一種巧妙的解法，只要成功地挖掘出題目的隱含條件，加上周全的考慮，“巧妙的思維、解法”仍然可為我們節省了許多計算量，使得解答過程更為簡便。“思維體操2-2”中的正確解法就是一個很好的體現。

兩道思維訓練題，大同小異，卻給我們帶來了很多的思考。遇到此類題目，我們常常會出錯，原因是：

第一，計算能力太差。

第二，不善于尋找和挖掘題目的隱含條件。

第三，缺乏嚴謹的數學思維。

總結：我們中常常會有這樣的同學，面對老師剛給他講過不久的題目，如果沒有老師的指點他仍然是一頭霧水，感覺山重水復疑無路，這就是忽視方法的總結和反思的典型例子。所以，在數學的學習中，我們應該認識到數學的學習不應該只是結果的學習，更應該是過程的學習；要注重對比學習、變式學習，在對比中達到舉一反三、事半功倍的功效。死記硬背并不是長久之計，特別是對于一些常用的結論或者解題方法，只有在理解的基礎上加以記憶，才能夠在面對各種相關問題時應用自如。

參考文獻：

[1]陳德前.在數學學習中鍛煉思維[J].初中生世界，2009（14）：31-32.

[2]宋強，劉耀曉.讓思維來做體操[J].學周刊（b），2010（2）：149.

編輯 杜元元