在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想

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摘 要：學(xué)會(huì)如何用一次函數(shù)的模型解決實(shí)際中的問題，能類比為其他相關(guān)函數(shù)模型的應(yīng)用提供方向。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，從學(xué)生的“生活現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的教學(xué)設(shè)計(jì)，滲透建模思想，幫助學(xué)生形成一定的建模意識(shí)和能力，具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 建模思想 滲透

在昆山市教育局主辦的第八屆“百節(jié)優(yōu)秀課”展示課活動(dòng)中，來自昆山市葛江中學(xué)的周老師所執(zhí)教的一節(jié)“用一次函數(shù)解決問題”（教材：蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第六章第4節(jié)第1課時(shí)），給了筆者很大的觸動(dòng)。下面筆者將圍繞其執(zhí)教的課堂，談?wù)勛约旱囊恍┱J(rèn)識(shí)與思考。

一、課例概述

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，建立模型

執(zhí)教者在復(fù)習(xí)函數(shù)概念后，以現(xiàn)實(shí)生活為情境，詢問“雙十一”購(gòu)物情況，并給出買鞋時(shí)的尺碼表截圖，引導(dǎo)學(xué)生研究尺碼對(duì)情況：腳長(zhǎng)x（cm）24.0、24.5、25.0、25.5、26.0……，對(duì)應(yīng)的鞋碼y（碼）為38、39、40、41、42……

由此引發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考：這兩組數(shù)量有什么關(guān)系？（函數(shù)關(guān)系）還有哪些方法來描述它們之間的函數(shù)關(guān)系？（函數(shù)表達(dá)式、畫圖像）有了函數(shù)表達(dá)式后，我們能解決什么問題？（只要測(cè)得腳長(zhǎng)就能算出對(duì)應(yīng)鞋碼）學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證和歸納的過程，從而由現(xiàn)實(shí)問題建立了“腳長(zhǎng)與鞋碼”之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型：

環(huán)節(jié)2：引入現(xiàn)實(shí)問題，鞏固模型

在學(xué)生初步感受到建模思想的重要性后，繼續(xù)引入現(xiàn)實(shí)中購(gòu)物問題，在“將鞋子加入購(gòu)物車后，查詢了該鞋廠的信息，其固定成本為每天1200元，生產(chǎn)鞋子的成本合計(jì)為每雙90元”。由此執(zhí)教者引導(dǎo)學(xué)生思考能得到哪些數(shù)學(xué)信息？這些量有什么關(guān)系？此時(shí)，呈現(xiàn)出具體問題，即寫出成本與產(chǎn)量之間的函數(shù)表達(dá)式與相關(guān)銷售利潤(rùn)問題。由此進(jìn)一步鞏固模型的運(yùn)用，學(xué)生再次體會(huì)到數(shù)學(xué)建模在解決實(shí)際問題中的用處。

環(huán)節(jié)3：延伸現(xiàn)實(shí)背景，運(yùn)用模型

延伸該背景并巧妙結(jié)合教材例題，“該鞋廠貼出招聘信息：應(yīng)聘者被錄用后第 1 年的月工資為 2 000元，在以后的一段時(shí)間內(nèi)，每年的月工資比上一年的月工資增加 300元。”從而借助一次函數(shù)模型解決月工資與年份的關(guān)系問題，并由建立的模型進(jìn)一步追問學(xué)生還能解決什么問題，充分體現(xiàn)運(yùn)用模型在解決相似問題時(shí)帶來的便利。

環(huán)節(jié)4：拓展現(xiàn)實(shí)問題，深化模型

經(jīng)銷商若賣出不超過50雙鞋子，不予獎(jiǎng)勵(lì);若超過50不超過100雙，獎(jiǎng)勵(lì)80元;若超過100雙，則超過的部分另按3元/雙獎(jiǎng)勵(lì)。本環(huán)節(jié)進(jìn)一步拓展問題的深度，自然引入分段函數(shù)的練習(xí)，深化模型的同時(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生感悟函數(shù)模型能簡(jiǎn)略很多重復(fù)計(jì)算，提高工作效率的目的。

環(huán)節(jié)5：完整現(xiàn)實(shí)脈絡(luò)，體會(huì)模型

已知郵寄一定重量的包裹免收快遞費(fèi)，超過則需另付快遞費(fèi)，快遞費(fèi)用y（元）與重量x（g）是一次函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖所示：

結(jié)合一次函數(shù)圖像可利用待定系數(shù)法求出具體函數(shù)表達(dá)式，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)模型發(fā)現(xiàn)問題的慧眼。

二、分析與討論

義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程能為學(xué)生在未來生活、工作和學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ)^[1]。故而數(shù)學(xué)課程在教授中應(yīng)體現(xiàn)“問題情境—建立數(shù)學(xué)模型—理解、應(yīng)用與發(fā)展”，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程^[2]。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中研究建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的教學(xué)設(shè)計(jì)，滲透建模思想，幫助學(xué)生形成一定的建模意識(shí)和能力，具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

本節(jié)課，執(zhí)教者充分利用了當(dāng)時(shí)的“雙十一購(gòu)物節(jié)”背景，通過“買鞋查詢鞋碼——鞋廠銷售利潤(rùn)問題——鞋廠招聘信息——經(jīng)銷商獎(jiǎng)勵(lì)金額——包裹快遞費(fèi)”幾個(gè)現(xiàn)實(shí)問題，在調(diào)動(dòng)課堂氛圍的同時(shí)，緊緊圍繞一個(gè)現(xiàn)實(shí)主線，自然引入一次函數(shù)的數(shù)學(xué)建模，在逐步豐富情境、深化實(shí)際問題的過程中，滲透建模思想，引導(dǎo)學(xué)生感受建模在分析、解決實(shí)際問題中的作用。在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生在教師的引領(lǐng)下不僅學(xué)會(huì)，而且會(huì)學(xué)，并達(dá)到了樂于學(xué)的效果。教師以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)為原則，關(guān)注學(xué)生從情境中發(fā)現(xiàn)問題的過程，貫穿始終的問題是“你能提出什么問題？”“你能解決什么問題？”可見，執(zhí)教者致力于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，在無形中訓(xùn)練學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新能力。

一次函數(shù)作為八年級(jí)學(xué)生首次接觸的一類函數(shù)，同時(shí)也是后繼學(xué)習(xí)反比例函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，學(xué)會(huì)如何用一次函數(shù)的模型解決實(shí)際中的問題，對(duì)之后的教學(xué)有很大的幫助。因而，執(zhí)教者在充分鉆研教材，把握重難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合教材上的例題設(shè)置成在“購(gòu)物節(jié)”大背景下的環(huán)節(jié)2與環(huán)節(jié)3，融會(huì)貫通，不至于學(xué)生在導(dǎo)入環(huán)節(jié)1后便快速感知到濃重的“數(shù)學(xué)味”，而失去學(xué)習(xí)積極性。在深化模型的環(huán)節(jié)4中，執(zhí)教者又合理地設(shè)置了分段函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，拓展模型形式，展開分類討論，把促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)與最終歸宿;環(huán)節(jié)5則是結(jié)合前一節(jié)的一次函數(shù)圖像，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，旨在進(jìn)一步突出函數(shù)模型的優(yōu)勢(shì)與便利。

三、感悟與啟示

教學(xué)過程滲透建模思想對(duì)初中數(shù)學(xué)教師來說非常重要。教師要結(jié)合實(shí)際情況，進(jìn)行更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、自然的、有“數(shù)學(xué)味”的創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，將培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實(shí)處，這無論是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展、學(xué)生個(gè)人的發(fā)展抑或是教師的專業(yè)發(fā)展都有著舉足輕重的作用。

初中數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)教育的重要階段，但學(xué)生做的很多應(yīng)用題都與實(shí)際生活有較大的差別。因而，如何從生活背景下抽離出符合學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，又能與教學(xué)內(nèi)容相匹配的情境，讓學(xué)生真切感受到基于現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問題，為孕育建模思想提供生長(zhǎng)點(diǎn)，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的必然趨勢(shì)。