高中數(shù)學(xué)多元變式教學(xué)的訓(xùn)練意義及策略

周建英 黃進(jìn)岳

摘? 要：新一輪數(shù)學(xué)課程改革明確指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該運(yùn)用多種教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極學(xué)習(xí)，變式教學(xué)作為一種可有效激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)熱情的教學(xué)方式，應(yīng)受到高度重視。數(shù)學(xué)教師應(yīng)不斷創(chuàng)新變式訓(xùn)練方式，充分發(fā)揮問題串變式、多元表征變式、類比變式等在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，提高變式教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)? 變式? 重視? 創(chuàng)新? 質(zhì)量

變式教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度看待數(shù)學(xué)問題，激發(fā)他們的潛能，培養(yǎng)他們總結(jié)、發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力。高中數(shù)學(xué)涉及許多概念理解、解題訓(xùn)練，采用變式訓(xùn)練更能達(dá)到讓學(xué)生深刻理解概念知識(shí)，掌握解題技巧的教學(xué)目標(biāo)，利于培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維。

一、高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)現(xiàn)狀

當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師和學(xué)生對(duì)變式教學(xué)的地位及作用是肯定的，但是由于認(rèn)識(shí)不深刻、不全面，對(duì)變式教學(xué)運(yùn)用不到位。表現(xiàn)在幾個(gè)方面：大多數(shù)教師都意識(shí)到應(yīng)使用變式教學(xué)，并認(rèn)為變式訓(xùn)練對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)極為重要，但在實(shí)際的使用中存在頻率不高，運(yùn)用形式有限等問題，變式教學(xué)單一單調(diào);多數(shù)教師認(rèn)為使用變式訓(xùn)練對(duì)提高學(xué)生思維能力、數(shù)學(xué)成績、學(xué)習(xí)興趣及智力等有益，可以幫助學(xué)生理解消化數(shù)學(xué)概念知識(shí)，更好地尋找解決問題的方法。但對(duì)如何使用，很多教師并沒有明確的教學(xué)計(jì)劃，變式訓(xùn)練操作較為隨意，不能夠真正發(fā)揮變式訓(xùn)練應(yīng)有之效。

二、高中數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練的意義

（一）有利于學(xué)生建立新舊知識(shí)鏈接

變式訓(xùn)練設(shè)計(jì)注重知識(shí)間的縱向聯(lián)系，學(xué)生在解題過程中需要自覺聯(lián)系以前所學(xué)習(xí)的知識(shí)才能完成習(xí)題的解答。在這個(gè)過程中，學(xué)生之前所學(xué)的舊知識(shí)得到鞏固檢驗(yàn)，他們能發(fā)現(xiàn)自己在舊知識(shí)習(xí)得方面的不足，同時(shí)，又能建立新舊知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，可以夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)習(xí)得基礎(chǔ)，提高學(xué)習(xí)效率。這樣的變式訓(xùn)練中，學(xué)生會(huì)養(yǎng)成尋找事物之間聯(lián)系的學(xué)習(xí)習(xí)慣，可提高他們發(fā)現(xiàn)、解決問題的能力。

（二）利于學(xué)生掌握化歸解題技巧

變式訓(xùn)練就是通過一個(gè)個(gè)與已知問題相關(guān)的變式題，引導(dǎo)學(xué)生尋找不斷變化的新問題與基礎(chǔ)問題之間的聯(lián)系，然后將新問題化歸為自己已知的、熟悉的問題，變復(fù)雜為簡單，變未知為已知。這樣的訓(xùn)練既能激發(fā)學(xué)生探索能力，又能讓學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，能提高學(xué)生舉一反三的解題能力。

（三）利于學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力提升

數(shù)學(xué)在人們的學(xué)習(xí)、生產(chǎn)及工作中是非常重要的，但當(dāng)前學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力不強(qiáng)，不能將所學(xué)知識(shí)很好地應(yīng)用到實(shí)際問題的解決中。變式教學(xué)通過合理變換形式，將數(shù)學(xué)問題與生活生產(chǎn)實(shí)際結(jié)合起來，可以讓學(xué)生體會(huì)到運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的喜悅和成就感，學(xué)會(huì)學(xué)以致用。在長期的訓(xùn)練中，能顯著提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

三、高中數(shù)學(xué)多元變式教學(xué)的運(yùn)用策略

高中數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練有多種形式，如問題串變式、多元表征變式、類比變式等，根據(jù)不同知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)需要采用相應(yīng)的變式訓(xùn)練模式，才能起到理想的效果。

（一）問題串變式的運(yùn)用

問題串變式包含5W要素，分別為是什么，為什么，什么時(shí)候，在哪里，如何做。這種變式在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運(yùn)用較為普遍，通過設(shè)計(jì)一連串能表現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的問題，讓學(xué)生一步步“剝開概念的外衣”，了解概念的內(nèi)涵。問題串變式的設(shè)計(jì)核心在于各個(gè)問題之間的承接性和有序性，后一個(gè)問題一定不是憑空的，而是前一個(gè)問題的延續(xù)。以“函數(shù)單調(diào)性”一課問題串變式教學(xué)為例，教師可以通過以下問題串變式進(jìn)行教學(xué)：

第一步設(shè)置情境性的變式問題，將學(xué)生帶入知識(shí)情境中。

問題1：早中晚氣溫是不同的，請(qǐng)畫出一天內(nèi)氣溫變化簡圖，并簡要概括氣溫的變化情況。

問題2：嘗試用數(shù)學(xué)語言概括一天內(nèi)氣溫的變化特征，如“一天中，隨著時(shí)間的變化，氣溫逐漸升高或逐漸下降。”

這兩個(gè)問題從學(xué)生熟悉的生活情境入手，將數(shù)學(xué)問題與學(xué)生的生活實(shí)際結(jié)合起來，可以讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)源于生活、用于生活的應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)，生活化情境可以激發(fā)學(xué)生興趣。

第二步設(shè)置鋪墊性的變式問題，在學(xué)生頭腦中建立函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知印象。

問題3：根據(jù)下面兩個(gè)函數(shù)式子畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，并觀察函數(shù)圖像從左到右發(fā)生了怎樣的變化？

（1）f（x）=x+1;（2）f（x）=-x-1;（3）f（x）=x²

問題4：嘗試用數(shù)學(xué)語言描述以上函數(shù)圖像從左到右的變化，如“從左到右，沿著 軸方向，隨著x的增大，函數(shù)圖像呈上升趨勢(shì)，隨著x的減小，函數(shù)圖像呈下降趨勢(shì)。”

這兩個(gè)問題的設(shè)計(jì)可以建立學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像“上升”或“下降”變化的感知，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)圖像變化的過程，建立學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的基礎(chǔ)認(rèn)知。

第三步，設(shè)計(jì)目標(biāo)性變式問題，讓學(xué)生獲得清晰的函數(shù)概念知識(shí)。

問題5：描述隨著x的增大，函數(shù)值會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

問題6：在區(qū)間D上取x軸上任意兩個(gè)自變量x₁、x₂，且x₁2

將問題串運(yùn)用在概念教學(xué)中，可以有效揭示數(shù)學(xué)概念的形成過程，在學(xué)生的頭腦里形成思維鏈，從而深刻全面了解概念的產(chǎn)生、內(nèi)涵及外延。但問題串教學(xué)應(yīng)遵循上述程序，才能確保其效果最優(yōu)化。

（二）多元表征變式的運(yùn)用

多元表征理論認(rèn)為變化的目的是為了讓學(xué)生更加清晰地發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)藏的不變因素，找到概念或數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，這與數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的有價(jià)值的數(shù)學(xué)和有意義的學(xué)習(xí)是貼合的。多元表征變式教學(xué)實(shí)質(zhì)上是多元表征與變式的整合，二者都屬于認(rèn)識(shí)事物的方式，多元表征是通過多種工具，如語言、符號(hào)、圖像等來認(rèn)識(shí)事物，變式則是通過變化非本質(zhì)特征來凸顯事物本質(zhì)。二者之間本身就存在密不可分的關(guān)系，將二者融合形成多元表征變式教學(xué)，能達(dá)到讓學(xué)生深刻把握事物本質(zhì)的目的，即先通過變式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)知識(shí)的表層，然后通過多元表征引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，了解知識(shí)的縱橫聯(lián)系。如在“數(shù)列的通項(xiàng)公式”一課教學(xué)時(shí)，

第一步，要從學(xué)生現(xiàn)有思維水平出發(fā)來設(shè)計(jì)變式問題，啟發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生形成多元表征。具體步驟為教師引導(dǎo)學(xué)生在課前準(zhǔn)備好正方形紙片、剪刀等工具，在課堂伊始先讓學(xué)生動(dòng)手操作，讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的長為16厘米的正方形紙片，然后將其按照一樣的大小和形狀剪成四個(gè)小正方形，接著再將任意的小正方形繼續(xù)剪成更小的大小、形狀一樣的正方形，剪5次之后讓學(xué)生數(shù)一數(shù)一共得到了多少個(gè)正方形。

第二步，指導(dǎo)學(xué)生將每一次剪后得到的正方形數(shù)量依次填在下面的表格中：

第三步，繼續(xù)提問，讓學(xué)生想一想，如果剪100次，可以得到多少個(gè)正方形？

第四步，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照表格里的數(shù)據(jù)，尋找正方形個(gè)數(shù)與所剪次數(shù)之間的關(guān)系，讓他們嘗試書寫出a_n和n之間的關(guān)系式。

以上這些步驟中，既體現(xiàn)了問題變式，又體現(xiàn)了多元表征訓(xùn)練，通過圖形表征、動(dòng)作表征、語言表征等讓學(xué)生在觀察、思考、猜想中對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式有了深入的了解，并探索得到了數(shù)列的通項(xiàng)公式，即：a_n=3n+1，其中，n為自然數(shù)。

第五步，設(shè)計(jì)應(yīng)用問題，讓學(xué)生計(jì)算一下一共要剪多少次才能剪出31個(gè)小正方形？

第六步，提出辨析性問題，讓學(xué)生思考是否能夠?qū)⒃瓉淼恼叫渭舫?997個(gè)小正方形？并證明結(jié)論。

這兩步的設(shè)計(jì)旨在訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用公式的意識(shí)和能力，考察學(xué)生對(duì)公式的理解和掌握程度，能夠通過符號(hào)表征加深學(xué)生對(duì)項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間關(guān)系的理解。

（三）類比變式的運(yùn)用

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求高中數(shù)學(xué)教材要按照知識(shí)發(fā)展順序進(jìn)行編排，確保知識(shí)螺旋上升。這就決定了數(shù)學(xué)前后知識(shí)之間的聯(lián)系性。高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)該有效利用新舊知識(shí)之間的聯(lián)系和銜接進(jìn)行類比變式教學(xué)。這也符合元認(rèn)知理論要求學(xué)生控制自己思維和學(xué)習(xí)過程的主張，通過類比，讓學(xué)生反思舊知識(shí)的學(xué)習(xí)，然后知不足改進(jìn)，對(duì)提高學(xué)生素質(zhì)和能力作用顯著。如在“等比等差數(shù)列”教學(xué)中，就可以積極地運(yùn)用類比變式教學(xué)

第一步，引導(dǎo)學(xué)生回憶等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并讓學(xué)生說出來，寫出來。

第二步，引導(dǎo)學(xué)生回憶等差、等比數(shù)列的證明推導(dǎo)方法，讓學(xué)生再試著寫一遍證明步驟。

第三步，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納等差和等比數(shù)列中蘊(yùn)藏的規(guī)律。

第四步，設(shè)計(jì)變式問題，引導(dǎo)學(xué)生利用類比思想解決實(shí)際問題。如在等差數(shù)列{a_n}中，a₁₀=0時(shí)，等式a₁+a₂+……a_n=a₁+a₂+……a_（19-n）（n<19，n∈N*）成立。那么請(qǐng)類比等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)，猜想一下在對(duì)比數(shù)列{b_n}中，可以得到什么樣的結(jié)論？

類比問題的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生感覺“和”與“積”、“差”與“商”之間的類比關(guān)系，并能利用這種類比關(guān)系解決實(shí)際問題。

結(jié)語

當(dāng)前，很多高中數(shù)學(xué)教師都在有意識(shí)地運(yùn)用變式教學(xué)，但是運(yùn)用程度不深、運(yùn)用范圍局限、運(yùn)用形式有限，部分教師對(duì)變式教學(xué)的內(nèi)涵、表現(xiàn)形式等缺乏深刻、多角度的思考，對(duì)變式訓(xùn)練的意義認(rèn)識(shí)不足，導(dǎo)致變式教學(xué)無法得到有效推廣和使用，教學(xué)效果大打折扣。改變這種局面，必須要提高教師變式使用意識(shí)，豐富變式形式，采用多元化的變式訓(xùn)練方式，提高學(xué)生創(chuàng)新思維能力。

參考文獻(xiàn)

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