銳角三角函數中蘊涵的數學思想方法分析及對教學的啟示

姜萍

【摘要】 當前數學教學中普遍存在這樣一個現象：急于把概念、公式、法則、定理等知識傳授給學生，然后按照考試要求進行練習，從而忽視了知識形成的過程.數學思想方法相較于知識點本身更富有生命的味道.作為教師，不僅要教給學生數學知識，更重要的是帶領學生體會這些知識背后的思想方法，重視讓學生經歷知識形成的過程.本文以“銳角三角函數”這一課題為例，通過分析教材，包括所包含的知識點以及所蘊含的數學思想方法，得出這些思想方法對數學教學的啟示.

【關鍵詞】 數學思想方法;數學教學;銳角三角函數

日本數學和數學教育家米山國藏說過這樣一段話：“對學生而言，作為知識的數學，通常是出校門以后不到一兩年很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，那些深深地銘刻于頭腦中的數學精神、思想方法、研究方法、推理方法和著眼點等都隨時隨地發生作用，讓他們受益終生.”所以對大多數學生來說，數學思想方法比形式化的數學知識更為重要.

一、數學思想方法

數學是一門研究數量關系和空間形式的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具.它是“思維的實驗過程”，是數學真理的抽象概括過程，其最重要的特點就是不斷地提出問題，不斷地解決問題.

數學思想方法是對數學事實、概念、原理和方法的本質和規律的認識.它是從某些具體的數學內容和對數學知識的認識過程中抽象、概括、提煉出來的數學觀點.它不是顯現的，而是滲透在數學知識里，所以需要教師透過具體的數學知識挖掘其背后的數學思想方法.

二、數學思想方法是課程理念和目標的核心

把數學思想方法的教學放在了數學教學的突出位置.強調數學課程的基礎性，力求保證學生掌握基本數學思想，基礎知識，基本技能和能力，形成對數學價值比較全面的認識.《義務教育階數學課程標準》中對數學思想方法提出了明確的要求：“學生能夠活得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能.”《義務教育階數學課程標準》在理念部分也提出：“數學課程要講推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的數學思想方法.”

三、教材分析

銳角三角函數是人教版義務教育教科書九年級下冊第二十八章第一節的內容.本章在前面已經研究了直角三角形中三邊間關系、兩個銳角之間關系的基礎上，進一步研究其邊角的關系.本章內容與“相似三角形”“全等三角形”“勾股定理”等內容聯系緊密.通過本章的學習，使學生全面掌握直角三角形的組成要素（邊、角）之間的關系，并綜合運用已有知識解決與直角三角形有關的度量問題，進一步培養學生的推理能力、運算能力和數學建模能力，同時為高中數學中任意角三角函數等知識的學習做準備.

“銳角三角函數”是《義務教育數學課程標準》中“空間與圖形”領域的重要內容.是在學生已學了一次函數、反比例函數和二次函數的基礎上進行的，它反映的是角度與數值之間的對應關系.這部分內容包括銳角三角函數的概念，以及利用銳角三角函數解直角三角形的內容.銳角三角函數為解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在實際當中有著廣泛的應用，這也為銳角三角函數提供了與實際聯系的機會.

（一）銳角三角函數包含的知識點

（二）教學目標分析

1.利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），能夠應用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中兩邊的比;知道30°，45°，60°角的正弦、余弦和正切值，并會由一個特殊角的三角函數值說出這個角.

2.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角.

3.理解直角三角形中邊與邊之間的關系、角與角之間的關系、邊與角之間的關系，能運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余以及銳角三角函數解直角三角形，并能用解直角三角形等有關知識解決簡單的實際問題，體會數學在解決實際問題中的作用.

（三）任意角的三角函數課題中蘊涵的數學思想方法

1.歸納推理

歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據一類事物中部分對象的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法.歸納推理往往是在人們實踐經驗的基礎上得出結論的，如通過觀察、實驗、比較、分析、綜合，形成對思維對象的共性認識，最后歸納結論.歸納法有助于發現并提出問題，進行大膽猜想，數學世上有很多著名的問題都是這樣提出來的，比如，哥德巴赫猜想、費馬猜想等.教材中以意大利比薩斜塔的傾斜程度的實際問題引出對直角三角形中邊角關系的討論，在教學中教師可以引導學生對三角形邊角關系進行猜想，并通過自主探究證明猜想.在證明的過程中讓學生充分經歷“研究特殊直角三角形——研究一般直角三角形——給出銳角的正弦概念”的過程.

在直角三角形中，通過討論銳角30°和45°與其所對的直角邊與斜邊的比之間的對應關系，學生很容易形成猜想：一個銳角的對邊與斜邊的比值是定值.當學生出現這樣的猜想時，教師要進一步引導學生探究——如果是一般三角形會不會也能得到這樣的結論？教師可啟發學生自主畫圖、測量計算，把特殊角轉換成一個任意的銳角.

教學片段：（1）猜想驗證，得出結論.由上述兩個結論可知，在Rt△ABC中，SymbolPC@C=90°，當∠A=30°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于 1 2 ;當∠A=45°時，∠A的對邊與斜邊的比都等于? 2? 2 ，由此你能猜想出什么一般的結論呢？教師引導學生思考、交流并用準確的語言歸納猜想.隨后，教師在幾何畫板上演示、驗證猜想的特殊情形.

（2）證明猜想，形成概念.教師引導學生將猜想“在Rt△ABC中，當銳角A的度數一定時，無論這個直角三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值.”用數學語言表示并畫圖，引導學生找到證明猜想的方法.（在剛剛經歷自主畫圖、測量并計算等自主探究的活動，學生很容易想到利用相似三角形來證明猜想的正確性，可以讓學生講述證明過程）

在此基礎上，教師和學生共同總結出正弦的定義：Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫作∠A的正弦，記做sinA，即sinA= ∠A的對邊 斜邊 = a c .

2.數形結合

數學是圍繞數量關系和空間關系的研究展開的，數和形是它的兩個側面.它們之間可以相互轉換，而數形結合的方法就是把數與形聯系起來，它最大的特點就是能把抽象的內容直觀的用圖形表現出來.銳角三角函數的一個突出特點是它的概念的產生和應用都與圖形有著密切的聯系，因此，本章內容是體現數形結合很好的載體.例如，對銳角三角函數的概念，教材利用學生對直角三角形的認識以及相似三角形的有關知識引入，結合幾何圖形定義三角函數，將數形結合起來，有利于學生理解銳角三角函數的本質.再比如，將實際問題抽象成數學問題時，也離不開幾何圖形，通過分析得到邊、角的關系，再通過計算、推理等使實際問題得到解決.因此，在教學中，要注意加強數形結合，在引入概念、推理論證、解決實際問題時，畫圖幫助分析.

如教材74頁的例3：2012年6月18日，“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現交會對接.“神舟”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面343 km的圓形軌道上運行.如圖所示，當組合體運行到離地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與P點的距離是多少（地球半徑約為6400 km，結果取整數）？

本題根據題意畫出示意圖，將抽象的實際問題變得具體，通過幾何圖形幫助學生找到直角三角形邊、角的關系.分析：從組合體中能直接看到的地球表面最遠點，是視線與地球相切時的切點.如圖所示，⊙O表示地球，點F是組合體的位置，FQ是⊙O的切線，切點Q是從組合體中觀測地球時的最遠點的長就是地面上P，Q兩點間的距離，為計算的長需先求出∠POQ（即α）的度數.

3.模型思想

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構.從廣義的角度講，數學的概念、定理、規律、法則數量關系式、圖形、圖表等都是數學模型.數學建模是一個比較復雜且富有挑戰性的過程，大致有以下幾個步驟：（1）理解問題的實際背景，明確要解決的問題.（2）分析和簡化復雜的情境，并確定必要的數據.（3）建立模型，可以是數量關系，也可以是圖形.（4）解答問題.

對大多數人來說，在現實生活和工作中利用數學解決各種問題，基本上都是根據對現實情境的分析，利用已有的數學知識構建模型.例如，第28.2.2的例3以“神舟”九號載人航天飛船與天宮一號交會對接為例，求能看到地球表面最遠點與地球表面P點之間的距離，第28.2.2的例5的航海問題，求圖中B處距離燈塔P有多遠，77頁練習1的觸礁問題，都是將實際問題轉化為數學問題，讓學生在活動中體驗數學模型思想和數學建模過程.去除掉復雜的情境，分析所給出的條件和數據，確定將問題轉化為一般的解直角三角形，即用銳角三角函數求直角三角形一邊的長度.

四、結論與思考

（一）滲透數學思想方法重在對教材的分析

數學思想方法是蘊涵于數學知識的發生、發展和應用過程，如果說數學知識是一個人的骨架的話，數學思想方法就是讓這個人有生命力的血肉.所以，教師在教學過程中首先要分析好、分析透教材，才能擁有一雙慧眼，從零零散散的知識點背后挖掘更深層次的數學思想方法，并且透過這些思想方法將這些知識點串聯起來.

（二）系統了解數學思想方法在教學內容中的分布

教師應該系統了解數學思想方法在中學各階段、各章節中的分布.在教學的每一個環節，如概念講解、定理證明、例題解答，都蘊含著大量的數學思想方法.只有做到心中有數，才能充分地結合具體的知識滲透數學思想方法.

（三）在例題教學過程中增強數學思想方法的指導

例題教學重在分析，教師在進行例題講解的過程中，應該引導學生分析該題所包含的思想方法，并且用這種思想方法來指導解題.教師還可引導學生進行一題多解的練習，用數學思想指導知識、方法的靈活運用.

（四）關注學生的認知能力

向學生滲透數學思想方法必須立足于學生的認知水平，教師應從學生的實際認知能力、理解能力、接受能力、領悟能力，知識儲備等方面綜合考慮，有層次、有梯度的逐步地向學生滲透.

（五）思考與反思

上好一節數學課，必須分析和熟悉教材，明確教材是怎樣安排教學內容的，這樣安排是否合理，根據實際情況是否要做調整.其次，教師的價值就是講教材上沒有的東西，所以還要充分挖掘教材背后隱藏的數學思想方法.在以后的學習中要加強自身數學專業知識的學習，熟悉中小學教材，認真分析教材，挖掘其中的數學思想方法.

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