初中幾何常見等量關系初探

楊海舟

【摘要】 初中平面幾何對一部分學生而言，是一門枯燥、無聊的學科.不僅學習起來復雜困難，教師在進行教學的過程中也比較吃力.造成這一問題的主要原因是沒有掌握正確的解決問題的方法.而初中幾何中隨處可見求邊長、角度、面積，求函數關系，求證數量或位置關系等等，這些都離不開建立等量關系.而各種資料中很少全面系統地歸納整理初中幾何中等量關系的有效方法，本文即對此做初步探究.

【關鍵詞】 轉化;構造;等量關系

新課改內容中一再強調，教師需要將數學思想與數學方法進行有機的融合，并將這一解決方法教學給學生.數學教師需要重視對學生數學思想和數學方法的培養，在實際教學中不斷進行滲透數學思想和方法活動，切實有效地不斷提高學生的數學學習與解題能力.在初中幾何教學中，經常會遇到求邊長、角度、面積，求函數關系，求證數量或位置關系等等，這些都離不開建立等量關系.幾何中常見的等量關系有以下幾種.

一、原有的等量關系（已知條件中包含的等量關系、明確圖形的等量關系、公式公理定理中的等量關系）

例如，兩直線若平行，則它們的斜率相等，若垂直，則它們的斜率互為負倒數，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等等.因為方法直接簡便此處不做詳解.

二、在直角三角形（或構造直角三角形）中利用勾股定理、銳角三角函數、或射影定理構造等量關系

直角三角形是初中幾何中一個基礎而又特別重要的內容，它有很多特別重要的性質，例如，兩直角邊互相垂直，兩銳角互余，勾股定理，銳角三角函數，射影定理等等，于是我們常可以借助已有的直角三角形或構造直角三角形，利用這些性質建立等量關系從而解決問題.一般可以通過直接作垂直，或者利用等腰三角形三線合一或垂徑定理等構造直角三角形.

例1?? （2014·河南）如圖1所示，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，當點D的對應點D′落在∠ABC的角平分線上時，DE的長為 .

分析? 連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC于點P，先利用勾股定理求出MD′，再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

解? 如圖2所示，連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點M，CD于點N，作D′P⊥BC交BC于點P.

∵點D的對應點D′落在∠ABC的角平分線上，

∴MD′=PD′，

設MD′=x，則PD′=BM=x，∴AM=AB-BM=7-x，

又折疊圖形可得AD=AD′=5，

在Rt△AMD′中，由勾股定理得x2+（7-x）2=25，

解得x=3或4，即MD′=3或4.

在Rt△END′中，設ED′=a，

① 當MD′=3時，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a，

∴a2=22+（4-a）2，解得a= 5 2 ，即DE= 5 2 .

② 當MD′=4時，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a，

∴a2=12+（3-a）2，解得a= 5 3 ，即DE= 5 3 .

故答案為 5 2 或 5 3 .

本題主要考查了折疊問題，解題的關鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對應相等的.矩形的折疊中一般可以借助直角三角形的勾股定理構造等量關系，建立方程，從而解決問題.

三、在相似三角形（或構造相似三角形）中利用對應線段成比例，或利用平行線分線段成比例構造等量關系

相似三角形對初中生來講是一個比較難的模塊，通過相似三角形的對應線段成比例的等量關系來構造方程或函數關系關鍵是找出相似三角形，更難的是構造相似三角形，此時經常采用逆向思維方法由需要的條件去找或構造相似三角形.

例2?? （2017·福建）如圖3所示，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分別是線段AC，BC上的點，且四邊形PEFD為矩形.

（1）若△PCD是等腰三角形，求AP的長;

（2）若AP= 2 ，求CF的長.

分析? （1）先求出AC，再分三種情況討論計算即可得出結論，此處利用的是本文中的第一條：原有的等量關系（已知條件中包含的等量關系、明確圖形的等量關系、公式公理定理中的等量關系）.

（2）方法1：先判斷出OC= 1 2 ED，OC= 1 2 PF，進而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判斷出△ADP∽△CDF，得出比例式構建方程即可得出結論.

方法2：先判斷出∠CEF=∠FDC，得出點E，C，F，D四點共圓，再判斷出點P也在此圓上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1構建方程即可得出結論.

方法3：先判斷出△PME∽△PND即可得出 DP PE = 4 3 ，進而用兩邊對應成比例夾角相等判斷出△ADP∽△CDF，得出比例式構建方程即可得出結論.

四、等積法構造等量關系

等積法其實就是等面積或等體積（容積）法，運用面積（體積）關系來證明或計算幾何題的方法，稱為等（面或體）積法，它是幾何中的一種常用方法，可以利用“一個圖形的面積相等”或“分割圖形后各部分面積之和等于原圖形的面積”，從而建立等量關系解決問題.用等積法可以解決很多問題，例如，求三角形、四面體的高，求圖形的面積或體積，求三角形內切圓半徑，求函數解析式，在某些規律探究題中也有一定的作用.等積法的特點是把已知和未知各量用面積（體積）公式聯系起來，通過運算達到求證的結果.所以用等（面或體）積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添置輔助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到.用等積法常要用到同（等）底同（等）高的兩個三角形面積相等，同（等）底或同（等）高的面積的比等于它們的高（或底）之比，圖形的平移、對稱、旋轉等知識.

例3?? 已知正方形ABCD和正方形CEFG的邊BC與邊CE在同一直線上，BC=2，求△BDF的面積.

分析? 在這個問題中只有正方形ABCD的邊長，顯然△BDF的面積只與這個量有關，因此，考慮將△BDF的面 積轉化到正方形ABCD中，連接CF，易證CF∥BD，現利用同底等高的兩個三角形面積相等將所求的△BDF的面積轉化為△BDC的面 積.

五、“第三者”代換

在生活中“第三者”似乎“不能見光”，但在數學中“第三者”可以“光明正大”地“登堂入室”，數學中的第三者是轉化問題的橋梁，有時候是解決問題的關鍵，解題時若能眼觀全局，明確最終目的，就有可能發現這個“第三者”.常見的“第三者”有邊、角、某些比例，例如，三角函數等.經常可以利用全等三角形或等腰三角形中的某些邊或角相等，也可以利用平行線、相似三角形、三角函數中的比例或同角（或等角）的余（補）角相等等多種途徑達到“第三者”代換的目的，從而建立等量關系達到解題的目的.

例4?? （2017·北京）如圖5所示，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點，過點E作EC⊥OA于點C，過點B作⊙O的切線交CE的延長線于點D.

（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半徑.

解? （2）作DF⊥AB于F，連接OE.

∵DB=DE，AE=EB=6，∴EF= 1 2 BE=3，OE⊥AB.

在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，

∴DF= 52-32 =4，

∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，

∴∠AOE=∠DEF，∴sin∠DEF=sin∠AOE= AE AO = 4 5 .

∵AE=6，∴AO= 15 2 ，∴⊙O的半徑為 15 2 .

在第（2）問中作DF⊥AB于F，連接OE.只要證明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE= AE AO = 4 5 ，由此 求出AE即可解決問題.此處就是利用了“第三者”——比例關系：角相等，從而相等角的同名三角函數值也相等建立的等量關系達到解題的目的.

六、將相關量轉化到同一直線上，利用線段的和、差、倍、分關系

在與線段有關的等量關系證明中，線段的和、差、倍、分問題，只要通過“縮”將它們變成一條線段，就可以劃歸為相等關系的證明，與倍、分相關的證明還可以通過中位線、中線、中點“加倍”“折半”，使變成一條線段，也可以轉化為相等的關系證明，或者化歸為比例，與證明線段成比例類似，可以利用平行線分線段成比例定理、相似三角形性質的內容來解決，有時，把與面積有關的等量關系轉化為與線段有關的等量關系來證明也不失為一條捷徑.

學習數學的最重要的意義是學會變式思維，能一題多變，一題多解，多題同解，當我們將以上的方法熟練掌握以后，對很多幾何問題我們就可以多方面、多角度地處理.

例5?? （2017·陜西）如圖7所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3.若點E是邊CD的中點，連接AE，過點B作BF⊥AE交AE于點F，則BF的長為（? ）.

A. 3 10? 2

B. 3 10? 5

C.? 10? 5

D. 3 5? 5

先借助勾股定理求出AE=BE= 10 .

方法一? 借助相似三角形對應邊成比例，易證△AED∽△BAF，得 AD AE = BF AB ，得 3? 10? = BF 2 ，從而BF= 3 10? 5 .

方法二? 借助等面積法，連接BE，S△ABE= AE×BF 2 = AB×BC 2 ，得到 10 ×BF=2×3.

方法三?? 借助將所有關聯量全部轉化到線段上，設BF= x，則AE=AF+EF，即： 10 = 22-x2 + （ 10 ）2-x2 .

方法四? 借助第三者轉化，設AF=x，則EF= 10 -x，則BF2=22-x2=（ 10 ）2-（ 10 -x）2.

當我們熟練掌握了以上六種常見構造等量關系的方法后，這個問題就變得相當簡單了.此題就是從多角度用了文中提到的四種方法建立方程，從而解決問題.

七、結 語

在解決初中平面幾何問題中，對題目加以分析，理清頭緒、找出各量之間的內在關系，通過常見的一些構造等量關系的技巧構造方程、函數關系來解決問題，提升學生的解題能力.

【參考文獻】

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