啟發學生發現問題培養學生核心素養

吳玉紅

摘 要：啟發學生提出問題有助于學生積極學習與創新能力的培養。性質探究課堂中，以培養學生數學核心素養為理念，并存多種啟發學生發現問題的活動方法，能更好地激發學生的創新思維。以“圓”（第1課時）的教學片段為例談一談在課堂教學時啟發學生發現問題，滲透核心素養的培養。

關鍵詞：初中；圓；問題；核心素養

一、研究背景

1.當前概念性質課教學存在的問題

一些教師上概念性質課時，會直接告訴學生概念和性質并讓其記憶后大量練題。這樣不能激起學生學習興趣，也不能讓學生理解掌握知識。有一些教師自己設計問題與學生逐個問題解答，或學生根據教師設計的問題探究活動。這種教師牽著鼻子走的課堂氣氛不太活躍，也不能很好地激發學生的創新思維。新課標指出，培養學生創新意識的基礎是讓學生自己發現、提出問題。所以時下急需學生自己提出問題進行探究的概念性質課。

2.數學核心素養理論依據

數學核心素養是適應個人終身發展和社會發展需要的具有數學基本特征的思維品質和關鍵能力。它包含數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析6個核心素養。學生的核心素養是在學習過程中形成的，但學生有什么樣的學習過程取決于教師的教學設計。教學設計是教師思維的產物，思維受教學理念的驅動，所以教師在設計教學目標、情境引入、探究活動、驅動問題、評價方式時要關注核心素養的達成。

二、教學目標

1.對不在同一直線上的三個點確定一個圓的探索中經歷作圖、觀察、猜想、驗證等過程，獲得研究概念性質的一般方法。感悟分類討論思想，增強發現和提出問題、分析和解決問題的能力。（數學抽象、邏輯推理、數學建模）

2.了解不在同一直線上的三個點確定一個圓，以及過不在同一直線上的三個點作圓的方法，了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念。（直觀想象、數學抽象、數學運算）

3.會過不在同一直線上的三點作圓。

設計說明：教師在制訂教學目標時需以生為本，要充分關注數學核心素養的達成。

三、教學過程

1.創設情境，發現問題

師（問1）：人有悲歡離合，月有陰晴圓缺。月有缺和圓的時候，那么破碎的圓鏡子有復原的可能嗎？（配樂）

師（問2）：（呈現引例）今天早晨老師不小心摔碎了圓形鏡子，只留下如圖所示的一塊，如果要到玻璃店里去配一塊原來的模樣，你有辦法幫助復原嗎？學了今天的知識后同學們便能輕松地解決。（板書3.12圓）

生：聽清問題，不需回答。

設計說明：詩情畫意和音樂聲極大地調動了學生的學習興趣，提出與月相似的破鏡子復原的生活實例問題，激起了學生的求知欲。引出新課，并板書3.12圓。

師（問3）：引例中蘊含了什么數學問題？已知什么？求什么？

生1：已知一段圓弧，要求作出與原來一樣的圓。

師（問4）：作圓需要哪幾個要素？

生2：圓心和半徑。

師（問5）：圓弧是一段曲線，那么怎樣確定曲線圓弧或圓呢？我們有沒有經歷過類似的探究經驗呢？

……

生3：兩點確定一條直線。

設計說明：問3是讓學生從生活例子中抽象出數學問題（如何確定一個圓），增強了學生的問題意識。問4引導學生明確，確定了圓心和半徑，圓就確定了。這為后面說明“過不在同一條直線上的三個點的圓的唯一性”鋪平了道路。問5為引導學生設計“探究幾點確定一個圓”的問題方案埋下伏筆。

2.類比舊知，提出問題

師（問6）：請同學們設計出“經過幾點確定一個圓”的探究方案。（投影）

生4：與“經過幾點確定一條直線”的探究方法一樣。

探究步驟為：

步驟1：經過1個點A，能作幾個圓？（師完善問題投影）

步驟2：經過2個點A、B能作幾個圓？（師完善問題投影）

步驟3：經過3個點A、B、C能作幾個圓？（師完善問題投影）

經過4個點呢？……

師（問7）：老師也補充2個問題：怎樣找出一個已知圓的圓心？探究“經過幾點確定一條直線”的每個步驟時，我們是用什么方法探究的？（投影）

師：請同學們先看投影上的3個探究步驟和2個問題，并帶著問題在講義上作圖探究，再6人小組合作交流，最后由小組長投影所作圖像并匯報結果。

設計說明：問5和問6讓學生由確定一段曲線（圓弧或圓）聯想到確定一條直線的探究方法，用類比思想設計確定一個圓的問題方案。滲透了類比法，逐漸提高學生發現問題、提出問題、設計解決問題方案的能力。4個步驟中點數從少到多，點的位置從簡單到復雜，這樣的設計順應了研究問題的方法是從最簡單的開始，逐步變難。問7指明了學生的探究方向和探究方法（先畫草圖后觀察）。

3.自主探究，分析問題

步驟1：經過1個點A，能作幾個圓？

師：哪組組長第一個來匯報步驟1的問題？同時投影你們組推薦的圖像作品。

生5：步驟1的結論是：經過1個點能作無數個圓（師投影板書）。

師（問8）：你們組呈現的圖像中有好多大小不一的圓，那么怎樣找出這些圓的圓心？

生6：圓心位置任意取，只要不是點A就行了。

師：謝謝該組精彩的匯報，請回！是的，只有確定圓心的位置和半徑，才能確定一個圓。

步驟2：經過2個點A、B，能作幾個圓？

師：哪組組長來匯報步驟2的問題？同時投影你們組推薦的圖像作品。

生7：步驟2的結論是：經過2個點能作無數個圓。（師投影板書）

師（問9）：那么怎樣找出這些圓的圓心？

生8：圓心位置除點A、B外，任意取。

師（問10）：（投影）請把這些圓的圓心用光滑線連接，看看是什么圖形？

生9：是一條直線？

師（問11）：同學們觀察一下這條直線與點A、點B的位置關系？

生9：是線段AB的中垂線。

師（問12）：如何證明是AB的中垂線呢？

生9：⊙O1中∵O1A=O1B（半徑相等）∴圓心O1在AB的中垂線上。

⊙O2中∵O2A=O2B ∴圓心O2在AB的中垂線上。

∴直線O1O2是AB的中垂線。

師（問13）：那依據是什么？

生9：（投影）到線段兩端距離相等的點在這條線段的中垂線上。

師（問13）：那圓心在哪？

生9：由此可得，圓心在弦的中垂線上。（師投影板書）

師：同學們為該組的出色匯報豎起大拇指！請回！

設計說明：步驟2逐步引導學生發現圓心在連接兩個已知點的線段的中垂線上，并證明，使學生經歷作圖、觀察、試錯、猜想、驗證、歸納的過程，真正做到了以學生為本。當學生猜想錯誤時，教師通過追問10、11和13使學生通過作圖、觀察、發現圓心在弦的中垂線上，從而建立作圓心的模型，為步驟3的順利完成做好鋪墊。

步驟3：經過3個點A、B、C能作幾個圓？

師：哪組組長愿意來匯報步驟3的問題？同時投影你們組推薦的圖像作品。

生10：（投影）步驟3的結論是：經過3點確定一個圓。

師（問14）：那是怎樣找到這個圓的圓心的呢？

生10：（投影）假設經過A、B、C3點的⊙O存在，由OA=OB可得圓心O在線段AB的中垂線MN上？由OA=OC可得圓心O在線段AC的中垂線EF上，則圓心O就是弦AB、AC的中垂線MN、EF的交點。則OA，OB，OC都是半徑。

師：同學們對他們小組的匯報滿意嗎？致以掌聲！同學們有沒有不同意見補充？

生11：（投影）我這個為什么作不出圓？

師（問15）：讓大家集思廣益，看看能不能幫到你！

生12：（投影）過這樣的三點作不出圓，因為線段AB、BC的中垂線是平行的，沒有交點，就沒有圓心，也就作不出圓。不重合的兩條線相交有且只有一個交點。

師（問16）：Good！那么步驟3的結論是否要修改？

生13：（投影）不在同一直線上的三點確定一個圓！（師投影板書）

師：真棒！由于A、B、C三點的位置不確定，兩點共線或三點共線，所以產生了分類，這里蘊含了分類思想。所以我們找到了確定圓的另一種方法。

設計說明：步驟3使學生發現圓心是兩條線段的垂直平分線的交點（交規法）突破了難點中的唯一性。當三點在一直線上時，任意兩條線段的垂直平分線平行，沒有交點，即沒有圓心，突破了難點中的存在性。進而得出圓的性質：不在同一直線上的三個點確定一個圓，既突破了難點，也完成了重點。學生在作圖過程中發現三點共線不能作出圓的問題，提出問題并求救同學解決問題，不僅提高了學生問題發現和解決的能力，而且完善了圓的性質，必須是不在同一直線上的三個點，同時滲透了分類討論思想。

步驟4：經過4個點A、B、C、D能作幾個圓？

師（問17）：既然不在同一直線上的三點能確定一個圓。那么平面內4個點，過其中3個點能作幾個圓呢？思考后作答。

生14：（如圖1）當四點共線時，過其中三點可作0個圓。（如圖2）過其中任意三點能作4個圓。

師（問18）：有誰能補充？

生15：（如圖3）當四點都在圓上，可作1個圓。

師（問19）：同學們看看圖2和圖3中的任意3點有什么位置關系？

生16：任意三點不共線，所以過其中三點可作1或4個圓。如果有三點共線呢，嗯……過其中三點可作3個圓（圖4）。

師：很棒！

板書：（1）當四點共線，則過其中三點可作0個圓。

（2）當有三點共線，則過其中三點可作3個圓。

（3）當任意三點不共線，則過其中三點可作1或4個圓。

設計說明：步驟4是對新知“不在同一直線上的三個點確定一個圓”和點位置分類討論的深度應用。

4.呼應引例，解決問題

師（問20）：（投影）同學們！現在能幫老師復原鏡子了嗎？

生17：（投影）在圓弧上任取三點，任意連接兩條線段，作這兩條線段的中垂線，其交點即為圓心。

師：其實圓心也就是兩條弦的中垂線的交點。（師板書）

設計說明：復原鏡子是再次應用新知，呼應引入，預設學生輕松回答。

5.巧編例題，再引新知

（投影）例題：任意作三角形ABC，用直尺和圓規作出過點A、B、C的圓？

師投影學生畫得不太正確的圖和清晰正確的圖，讓學生糾錯和講作法。

師提出“圓的內接三角形”“三角形的外接圓”和“外心”的概念，講清“接”的意思。

設計意圖：通過例2使學生鞏固新知，同時引出“圓的內接三角形”和“三角形的外接圓”的概念。

師（問21）：請同學們前后左右看一看，大家畫的過三角形頂點的圓中有什么新發現？

生18：圓心在三角形的位置不同？

師（問22）：這里圓心指外心，即外心與三角形之間位置有什么關系？

生19：銳角三角形的外心在三角形的內部，直角三角形的外心是斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部。（師板書）

師（問23）：圖二中，若AB=3，BC=4，則它的外接圓半徑是多少？

生20：半徑是2.5，因為直角三角形的外心是斜邊的中點。

設計說明：把例題中的銳角三角形改變成任意三角形，整合了課后習題。讓學生觀察周圍同學畫的過三角形頂點的圓，發現外心位置與三角形的類型有關，進而提出問題、解決問題，這種教法既達到了教學目的，又節省了作圖時間。問23直接應用所得結論。

6.應用實例，拓展提高

（投影）設計師通常用“T”字尺（如圖，AB恰好被CD所在的直線垂直平分）來找已知圓的圓心，你知道他是怎樣找的嗎？你任意畫一個圓，請用手中的“T”字尺找它的圓心。

師（問24）：請同學們來展示你是如何用手中的“T”字尺找到你所畫圓的圓心的。

生21：在投影上擺出如圖一的樣子，圓心就是AB的中垂線CD與A'B'的中垂線C'D'的交點。

師（問25）：有沒有不同情況？

生22：老師！為什么我畫的圓沒法找到圓心？

師（問26）：你在投影上演示一下，讓同學們看看是什么問題？

生23：他畫的圓的直經比AB短，所以AB就不能擺成圓的弦了。

師（問28）：那要怎么擺，才能解決這個問題？

生24：只要量的使AE=BF，A'E'=B'F'，圓心就是EF的中垂線CD與E'F'的中垂線C'D'的交點。

設計說明：讓學生自己畫圓，就有大有小，當學生畫的圓的直徑小于AB時，不少學生就會擺不出弦，就無法找到圓心，通過線段和差擺出弦EF和E'F'，說明學生已真正掌握“T”字尺的原理，也真正掌握了今天所學的知識，圓心是圓的兩條弦的垂直平分線的交點。學生在作圖和操作過程中發現問題，提出問題，解決問題，增強了學生的問題意識。用所學知識解決生活中的問題，真正做到了數學來自于生活，并用之于生活。

四、教學思考

1.啟發學生發現問題的活動方法應多元化

蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處都希望自己是一個發現者……”核心素養數學建模中的首要任務是發現問題，提出問題。新課標中培養學生創新意識的基礎是讓學生自己發現問題和提出問題。所以教師要創造能有效啟發學生自己發現問題的活動和問題，并注意活動方法的多樣性，使學生樂于參與到學習活動中，從而增強學生的問題意識，培養學生的創新能力。

創設有效生活情境讓學生從生活實例中發現問題，并抽象出數學問題。如把破碎的鏡子復原，啟發學生發現并提出問題：怎樣確定一條曲線（圓或圓弧）？

類比已學知識的探究方式設計學習新知識的探究方案。如學生能根據兩點確定一條直線的探究方式設計幾點確定一個圓的探究方案？

學生在作圖過程中發現問題。如探究活動步驟2中，學生先嘗試多畫幾個過A、B兩點的圓，就有可能發現這些圓的圓心位置有什么共同特征？嘗試連線，學生可能發現這條直線與線段AB有什么關系？又如步驟3中，有學生把三點畫在同一條線上時，發現問題：作不出圓心？為什么找不到圓心？再如步驟4中，學生在畫四個點的時候，發現問題：由于四個點的位置不同，要分類討論？

學生在觀察中發現問題。如例題讓學生畫任意一個三角形的外接圓，由于不同學生畫的三角形可能是不同類型的。這樣讓學生觀察前后左右同學的作品，會發現問題：外心的位置與三角形的類型有什么關系？

學生在作圖和操作過程中發現問題。如拓展題中，讓學生任意畫圓，然后用自制的丁字尺擺放作出圓心，由于圓是任意畫的，學生會發現問題：當圓的直徑比丁字尺的長度短時，該怎么找圓心？

這些啟發學生自己發現問題，提出問題的方法是自然的，讓學生在學習活動過程中自然發現問題。這種培養學生的問題意識和創造意識的方式真正做到了潤物細無聲。

2.發展數學核心素養要重視數學探究活動

波利亞有言：“學習知識的最佳途徑是自己去發現，因為這種發現最深刻，最容易理解掌握其內在規律、聯系和性質。”數學探究活動是提升數學核心素養的重要載體。所以提升核心素養的保證是提高教師對探究活動的組織能力。教師不僅要提供豐富的學習資源，而且要指引有效的方法，提出具有啟發性、開放性、挑戰思維的問題，引導學生積極參與，疏導學生因爭執發生的分歧，使學生思維更敏捷靈活。本節課中，如當學生類比舊知的探究方法制定新知的探究方案時，教師補充2個問題：怎樣找出一個已知圓的圓心？探究“經過幾點確定一條直線”的每個步驟時，我們是用什么方法探究的？在每個探究步驟中，問1為學生指明探究方向，問2為學生指引有效的探究方法。學生類比制定探究方案發現提出問題，經歷四個步驟探究分析思考，展示活動中提煉歸納圓的性質，在整個過程中提升了數學抽象和數學建模的核心素養。

3.打開幾何之門要滲透數學思想方法

數學思想方法是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁。這種只重視傳授知識，不注重滲透數學思想方法的教學，是不利于學生對知識的理解和掌握的，難以提高學生的知識水平。所以教師要寓數學思想方法于每一節課中，讓學生在不知不覺中提升了問題解決能力。本節課中，分類思想有很好的體現：三點和四點的位置不同，就產生分類；例題中由于三角形形狀類型不同，就產生外心與三角形位置不同的分類；拓展題中由于學生自己作圓的半徑與丁字尺的長度誰長，就產生分類。類比舊知的探究方法制定新知的探究方案，點數逐步增多的方法（由簡單到復雜）研究問題，其中隱含的數學方法對以后解決學習、生活中的問題提供了策略指導。

參考文獻：

王開林.微專題引領高效數學復習[J].數學通訊，2017（2）：17-21.

編輯 謝尾合