向“本外”延伸，讓“數感”落地有聲

莊小麗

[摘 要]數感是一種敏感性直覺，具有直接性、偶然性、不可靠性、或然性等特征。在課堂上需要激發并積極捕捉這種直覺，讓數感成為一種穩定的、可以外顯的思考性表征。挖掘與課本素材相關聯的知識外延，對課本素材進行補充、優化、重構，力求使隱性的數感外顯——看得見、說得出，落地有聲。

[關鍵詞]數感；小學數學；素材拓展

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0031-02

“數感”是數學新課程提出的十大核心概念之一，它是對數及數量間的一種敏感性直覺，因而具有直接性、偶然性、不可靠性、或然性等特征。伊恩斯圖加特這樣說：“直覺是真正的數學家賴以生存的東西。”如何組織素材并巧妙呈現，在課堂上激發并積極捕捉學生這種直覺，讓學生的數感成為一種穩定的、可以外顯的思考性表征，值得我們在教學實踐中去探究。

一、基于認識

“加減法”是一、二年級“數與代數”的主要教學內容，三年級的教學內容是以整數乘除法為主并開始滲透分數和小數。在“加減法”教學尾聲，綜合應用加減法有關數量關系，尋找加強學生數感培養的契機，提升學生解決問題的能力尤為重要且必要。

蘇教版教材第四冊的“認識分米和毫米”單元有一道題：“一只螞蟻先向東爬5分米，再向西爬4分米；又向東爬7分米，向西爬3分米，然后停下來。這時螞蟻停在起點的東面還是西面？離起點幾分米？”此題雖然涉及的新知識是常見的量“分米”，但解題所用的知識基礎卻是加減法間的數量關系，與學生已有的加減法的應用能力相比，有一定距離。這樣稍有高度的綜合性應用更利于啟發學生的思維，使學生在思維碰撞中生成靈感，是培養學生數感的好載體。對此，教師可挖掘與課本素材相關聯的知識外延，找到可以拓展的銜接點，對課本素材進行補充、優化、重構，設計拓展課程，以題組呈現，構建更嚴密的知識體系，給學生搭建更適合的臺階，讓學生在探究中獲得更為完整的內涵體驗，力求使隱性的數感外顯，可以看得見、說得出，落地有聲。

二、立足課堂

螞蟻原來的所在位置可以是一個起點，也可以理解為一個標準，重點需要思考標準下后續的變化過程。基于這點思考，以問題“與原來做比較，有什么變化？”建立題組，從最基本的一步變化到兩步變化再到三步變化，在不斷增加外部條件的同時，給各環節增設達成目標，以不斷提升學生解決問題的能力，增強學生的數感。

1.一步變化：（1）桌上有一籃桃子，猴爸爸又買回10個；（2）桌上有一籃桃子，被猴大吃掉6個，現在和原來相比，個數是多了還是少了？多（少）了幾個？

二年級學生慣用兩個條件解決問題，在發現題目只給出一個條件時，就會自發地啟用假設的策略：假設原有桃子的個數，通過多次嘗試，發現“桃子原有個數”這個條件在“與原來比”的問題下，可以忽略不計，只需直接觀察變化的有關信息。這里對“原有個數”的不計，其實是把“原有個數”作為起點或是標準的淺思維，需要教師通過直觀手段，讓學生思維由表及里，引發學生的深層次感悟。

2.兩步變化：（1）桌上有一籃桃子，猴爸爸又買回10個，被猴大吃掉6個；（2）桌上有一籃桃子，被猴大吃掉10個，猴爸爸又買回6個，現在和原來相比，個數是多了還是少了？多（少）了幾個？

學生畫圖直觀呈現數量關系。這種圖示是學生自己喜歡的，可以幫助學生看圖和梳理、挖掘已知條件、整合條件，把解決問題的本質直觀形象地呈現出來。通過觀察比較，得到這一類題的共同屬性，有利于學生明確探討任務的類型由文字到橫向的實物桃子圖，再到縱向的較抽象的圓形圖，實現了從抽象到形象再到抽象的層層遞進，是對文字處理到尋求直觀性策略再逐步提煉成模型的過程。將原有個數用橫線表示，從直觀上把“原有”定位為一個比較的標準，將“買回”和“吃掉”兩個相反意義的數量變化形式，抽象成“向上”和“向下”兩個相對的變化方向，使得學生能從抽象的文字符號到借助直觀圖理解數量的多與少及變化關系，讓數感有據可依，有體可載。

這里列算式雖然作為較高思維層次的解決方式，但在學生沒有通透理解知識本質之前出現，并不利于學生直觀感受的建立，所以在這里不主張列式解決。而手勢比畫實則是較圓形圖更為抽象的一種線段圖的走向。由文字到實物桃子圖，到圓形圖，再到較為抽象的線段圖的模擬比畫，實現了從形象到抽象的自然過渡。再一次的手勢比畫是讓學生將文字信息抽象成圖形，在腦里模擬作圖，再外顯在變化手勢中，完成了對題意的理解及對數量關系的本質提煉。

【鞏固練習】口答：（1）桌上有一籃桃子，猴大吃掉6個，猴二吃掉10個；（2）桌上有一籃桃子，猴爸爸先買回6個，猴媽媽又買回10個。學生在思考時，自發選用了手勢比畫的方法模擬變化走勢，使較多的變化步驟在直觀方式的輔助下得以呈現，并將對數量關系的直覺理解落實在動作上，讓數感這種直覺思維有了外顯的載體。

3.三步變化：（1）桌上有一籃桃子，猴爸爸先買回12個，被猴大吃掉20個，猴媽媽又買回15個。（2）桌上有一籃桃子，猴爸爸先買回12個，猴媽媽又買回15個，被猴大吃掉20個。逐步加大難度，設計大數據、多步驟的變化，讓學生產生利用此前方法解決問題較為煩瑣要另尋策略的需求，在形式的不斷簡潔中完成辨析和概括，逐步完成思維抽象，讓加減法的數量關系再次外顯在符號中，賦予了“+”“-”號更豐富的內涵。

4.拓展：一只螞蟻先向東爬5分米，再向西爬4分米；又向東爬7分米，向西爬3分米，然后停下來。這時螞蟻停在起點的東面還是西面？離起點幾分米？變換變化順序，讓學生在此題中立即得到實惠。學生的自主應用顯示出他們對“+”“-”的再認識和理解。這里的“+”不再是之前理解的各部分“合起來”，“-”也不是“去掉部分數后的剩余部分”，這對意義相反的運算符號在這里被賦予了“量的相對變化”這一新內涵。

5.變式：12路公交車原有59人，在新華書店下去了9人，又上來了4人；火車站下去5人，又上來了12人。現在公交車上有多少人？體驗原有數據最初參與計算與最后參與計算的不同，感受過程性思考的價值。

6.延伸：二（1）班珠心算社團要求大家在規定時間內完成10道題，各人完成情況記錄如下表：

以“+”“-”號為依托，在加減法數量關系的綜合探究應用中，培養學生的數感，并向相關知識領域（負數、平均數）進行拓展。

三、延續鏈接

課程標準在關于學習內容的說明中指出，數感主要表現在：理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體情境中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當的算法；能估計運算的結果，并對結果的合理性進行解釋。

在綜合拓展中，進行“數感”數學素養的培養，需要教師深層次研讀教材，了解數學知識的相關背景，掘出它的數學內涵，在課堂中隨時捕捉學生的動態生成，找到知識切入點，溝通聯系，向“本外”延伸，組建較豐富的素材資源，讓其成為強化和培養學生數學素養的主陣地。

數感既然是對數的一種感悟，就不會像知識、技能的學習那樣立竿見影，它需要教師在教學中幫助學生積累經驗，經歷一個逐步建立、發展的過程，更需要教師在課堂上實施智慧調控。

（責編 黃春香）