找共性，巧解三角形相似問題

劉懷富

【摘 要】初中數學中三角形相似知識是一個教學重點，同時也是一個學生學習的難點，如何幫助學生輕松掌握這個知識點是教學中的一個難題。本文從近幾年的期末考試題中找出解決這類題型的共性，可以幫助學生找到解決這類三角形相似問題的基本思路。

【關鍵詞】初中數學；教學；找共性；巧解題

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）07-0277-02

三角形相似是初中數學的一個重要知識，同時也是一個難點知識。縱觀近幾年宜賓市九年級上冊期末考試和中考，都會涉及三角形相似的相關知識，并且會出現在選擇、填空的最后一題或最后的壓軸題中，學生望而生畏。我做了近幾年的九上期末和中考試題，發現命題者在這個知識點上的出題有兩大共性，現總結如下，如有不當之處，望得到各位同行的批評指正。

一、巧找兩角分別相等，判“母子”型三角形相似

（所謂為“母子”型三角形，即指小三角形包含于大三角形中，他們有一組公共角、有一組公共邊。）

例1：（2016秋，九上末第21題）已知AB∥CD，AD、BC相交于點E，點F在ED上，且∠CBF=∠D.

（1）求證：FB2=FE·FA；

分析：要證等積式FB2=FE·FA，因為

線段FB、FE、FA在△FBE和△FAB中，

只要證△FBE∽△FAB即可。

這兩個三角形是標準的“母子”型。

證明： ∵AB∥CD，（已知）

∴∠A=∠D.（兩直線平行，內錯角相等）

又∵∠CBF=∠D，（已知）

∴∠A=∠CBF（等量代換）

∵∠BFE=∠AFB（公共角）

∴△FBE∽△FAB（兩角分別相等的兩個三角形相似）

∴FBFA=FEFB（相似三角形的對應邊成比例）

∴FB2=FE·FA （比例的基本性質）

例2：（2014秋，九上末第22題）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點E，∠ADB=∠ACB.

（1）求證：△ABE∽△ACB；

分析：△ABE與△ACB已有一組公共角，

要證他們相似，只需再找一組角相等即可。

這兩個三角形是標準的“母子”型。

證明：∵AB=AD，（已知）

∴∠ADB=∠ABD.（等邊對等角）

又∵∠ADB=∠ACB，（已知）

∴∠ABD=∠ACB（等量代換）

即：∠ABE=∠ACB

∵∠BAE=∠CAB（公共角）

∴△ABE∽△ACB（兩角分別相等的兩個三角形相似）

二、利用“三角形的一個外角，等于與它不相鄰的兩個內角和。”巧找角相等，判“等角對頂”型三角形相似

（所謂“等角對頂”型三角形，即指這兩個三角形有一組角對應相等且有一公共頂點，但兩三角形相對，無包含關系。）

例1：（2017秋，九上末第16題）如圖，把等邊△ABC沿DE翻折，使點A落在BC上的F處，給出以下結論：

①∠BDF=∠EFC；

②BD·CE=BF·CF；

其中正確的結論有.（填序號）

分析：因為△ABC是等邊三角形，由題意可得

∠A=∠DFE=∠B=∠C=60°，

又由三角形外角定理得∠DFC=∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF

所以易得∠BDF=∠EFC和△BDF∽△CFG，從而讓問題得以解決。

這兩個三角形是標準的“等角對頂”型。

解：①∵△ABC是等邊三角形（已知）

∴∠A=∠DFE=∠B=∠C=60°

又∵∠DFC=∠DFE+∠EFC=∠B+∠BDF（三角形的一個外角，等于與它不相鄰的兩個內角和）

∴∠BDF=∠EFC（等式的性質）

∴①正確。

②由①得∠BDF=∠EFC，∠B=∠C=60°

∴△BDF∽△CFE（兩角分別相等的兩個三角形相似）

∴BDCF=BFCE（相似三角形的對應邊成比例）

∴BD·CE=BF·CF（比例的基本性質）

∴②正確。

∴①、②正確

例2：（2015秋，九上末第24題）如圖，在△ABC中，已知AB=AC=10，BC=16， 點P在線段BC上運動（P不與B，C重合），連接AP，做∠APM=∠B，PM交AC于點M .

（1）求證：△ABP∽△PCM；

分析：這兩個三角形是標準的“等角對頂”型。

證明：∵AB=AC=10，（已知）

∴∠B=∠C（等邊對等角）

又∵∠APM=∠B（已知）

∠APC=∠APM+∠MPC=∠B+∠BAP

（三角形的一個外角，等于與它不相鄰的兩個內角和）

∴∠MPC=∠BAP（等式的性質）

∴△ABP∽△PCM（兩角分別相等的兩個三角形相似）

例3：（2014秋，九上末第16題）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），∠ADB=∠B=α，DE交AC于點E，且sinα=35.下列結論：

①△ADE∽△ACD；

②當BD=2時，△ABD與△DCE全等；

其中正確的結論是.

（把你認為正確結論的序號都填上）

分析：①小題中兩個三角形屬于標準的“母子”型。②小題中兩個三角形屬于標準的“等角對頂”型。

解：①如圖，∵AB=AC=5（已知）

∴∠B=∠C（等邊對等角）

又∵∠ADE=∠B=α（已知）

∴∠ADE=∠C=α（等量代換）

又∵∠DAE=∠CAD （公共角）

∴△ADE∽△ACD（兩角分別相等的兩個三角形相似）

∴①正確。

②如圖，作AM⊥BC于點M，

∵AB=AC=5（已知）

∴∠B=∠C（等邊對等角）

又∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD（三角形的一個外角，等于與它不相鄰的兩個內角和）

∠ADE=∠B=α（已知）

∴∠EDC=∠BAD（等式的性質）

∴△ABD∽△DCE（兩角分別相等的兩個三角形相似）

在Rt△ABM中，∵AB=AC=5，∠ADE=∠B=α，

且sinα=35（已知）

∴sin B=AMAB=sinα=35

∴AM=3

由勾股定理可得BM=4

∴BC=2BM=8（等腰三角形“三線合一”）

當BD=2時，DC=6，而AB=AC=5

∴AB≠DC

∴△ABD與△DCE不全等。

∴②不正確。

通過以上各題的對比，證三角形相似我們只要先看它屬于哪種類型，然后對號入座，找到解題的突破口，便會起收到事半功倍的效果。但愿我的拙劣辦提法對學生有所幫助。

參考文獻

[1]葉立軍.《初等數學研究》中第8章初等幾何變換8.3 位似和相似變換.