數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)的策略探究

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 胡德林

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 黃 靜

數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)模型：對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡單假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）為我們提供了一種解決問題的方法和手段，一把開啟問題大門的鑰匙，它把數(shù)學(xué)和生活緊密聯(lián)系起來，使我們有了一雙發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)的眼睛，是解決實(shí)際問題的一種有效工具，它的運(yùn)用，讓我們感受到數(shù)學(xué)無處不在，感受到生活與數(shù)學(xué)息息相關(guān).要能更好地學(xué)習(xí)和生活，我們必須學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的運(yùn)用，培養(yǎng)應(yīng)用能力.古人曰：“授人以漁，不如授人以漁”，我們要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法和解決問題的能力遠(yuǎn)比教給學(xué)生知識(shí)更重要，模型的運(yùn)用更好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)用的廣泛性和靈活性，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力.現(xiàn)就初中數(shù)學(xué)課本中出現(xiàn)的一個(gè)數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用，談?wù)剶?shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)策略.

原始模型問題呈現(xiàn)：

將軍飲馬問題：如圖1，據(jù)說，在古希臘有一位聰明過人的學(xué)者，名叫海倫.有一天，一位將軍向他請(qǐng)教了一個(gè)問題：從A地出發(fā)到河邊MN飲馬，然后回到B地，走什么樣的路線最短？如何確定飲馬的地點(diǎn)？

圖1

圖2

海倫給出的解決方法：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線MN于點(diǎn)P，則P點(diǎn)所在位置即為將軍飲馬的地點(diǎn).

應(yīng)用能力培養(yǎng)策略1：教會(huì)學(xué)生閱讀和分析，弄清問題的本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)模型

上面的問題是一個(gè)實(shí)際問題，我們通過分析、梳理，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)就是關(guān)于兩個(gè)點(diǎn)和一條直線的問題，找出了關(guān)鍵的要素，就可以將它提煉成一個(gè)簡潔的數(shù)學(xué)模型.

這個(gè)問題模型可以提煉為：已知兩個(gè)定點(diǎn)A、B和一條定直線MN的問題.

通過這樣的提煉，建立起了如圖2所示的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生更加容易理解、掌握和運(yùn)用.

在教學(xué)過程中，通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)內(nèi)容進(jìn)行認(rèn)真細(xì)致的閱讀、理解、分析、領(lǐng)悟，弄清來龍去脈，抓住問題的本質(zhì)和關(guān)鍵，提煉出數(shù)學(xué)模型，做到一針見血.

應(yīng)用能力培養(yǎng)策略2：教會(huì)學(xué)生總結(jié)和歸納，洞察問題的真相，掌握模型的變化

模型運(yùn)用一：在平面圖形中的運(yùn)用

（一）在三角形中的運(yùn)用：與三角形的特殊性質(zhì)融合.

問題1：如圖3，在等邊△ABC中，AB=6，N為AB上一點(diǎn)，且AN=2，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BM、MN，則BM+MN的最小值是______.

圖3

圖4

模型提煉：在這個(gè)問題中，B、N是兩個(gè)定點(diǎn)，AD是定線，要求在AD上確定一點(diǎn)M.

解決方法：如圖4，根據(jù)模型，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱，所以只要連接CN，交AD于點(diǎn)M，此時(shí)M點(diǎn)就滿足BM+MN的值最小.（改變等邊三角形為等腰三角形，同樣可以這樣處理）

（二）在正方形中的運(yùn)用：與正方形性質(zhì)的融合.

問題2：如圖5，E為正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，AE=3，BE=1，P為AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值為______.

模型提煉：在這個(gè)問題中，B、E是兩個(gè)定點(diǎn)，AC是定線段，要求在AC上確定一點(diǎn)P.

圖5

圖6

解決方法：如圖6，根據(jù)模型，因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，所以只要連接BD，交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PE的值最小.（此題中的正方形也可以改為矩形、菱形）

（三）在圓中的運(yùn)用：與圓的性質(zhì)的融合.

問題3：如圖7，已知⊙O的直徑CD為2，弧BC的度數(shù)為60°，點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為______.

模型提煉：如圖7，在這個(gè)問題中，A、B是定圓⊙O上兩個(gè)定點(diǎn)，直徑CD是定線段，要求在線段CD上確定一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小.

圖7

圖8

解決方法：如圖8，根據(jù)模型，只要過點(diǎn)A作AA′⊥直徑CD，交⊙O于點(diǎn)A′，則A′就是點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接A′B，交CD于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P就滿足BP+AP的值最小.

模型運(yùn)用二：在函數(shù)圖像中的運(yùn)用

（四）在一次函數(shù)中的運(yùn)用：與坐標(biāo)系的融合.

問題4：如圖9，已知兩點(diǎn)A（-1，3）、B（3，5），點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

模型抽取：在這個(gè)問題中，A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，x軸是定直線，要求在x軸上確定一點(diǎn)P.

解決方法：如圖10，作點(diǎn)A（或B）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（或B′），連接A′B（或B′A），交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)P點(diǎn)就滿足PA+PB的值最小.

（五）在二次函數(shù)中的運(yùn)用：與二次函數(shù)的性質(zhì)融合.

圖9

圖10

問題5：如圖11，拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=-3，該拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，4），以AB為直徑的⊙M恰好經(jīng)過點(diǎn)C.

（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

（2）設(shè)⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上求作一點(diǎn)E，使得△BDE的周長最短.

模型抽取：在本題第（2）問中，由于△BDE的周長=BD+BE+DE，而BD的長是定值，所以要使△BDE的周長最短，就是要使BE+DE最短，從而就轉(zhuǎn)化為模型問題.在這個(gè)模型中，B、D是兩個(gè)定點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是定直線，要求在對(duì)稱軸上確定一點(diǎn)E.

圖11

圖12

解決方法：如圖12，由拋物線的性質(zhì)，知點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)A，所以連接AD交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，此時(shí)點(diǎn)E就滿足BE+DE最短，從而△BDE的周長也就最短.

上面的幾個(gè)問題展現(xiàn)了模型在不同的幾何圖形中以不同的變換形式呈現(xiàn)，但只要我們細(xì)心觀察，認(rèn)真歸納總結(jié)，對(duì)情景進(jìn)行梳理、對(duì)問題進(jìn)行提煉，就能發(fā)現(xiàn)這些問題無非是給原始模型換上了不同的外衣，使模型出現(xiàn)在不同的場合中，“人還是那個(gè)人，物還是那個(gè)物”，只是不變中的變化，變化中的不變，萬變不離其宗，仍然是兩個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的問題，達(dá)到了一通百通.

應(yīng)用能力培養(yǎng)策略3：教會(huì)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想，把握問題的本質(zhì)，突破模型的空間

模型運(yùn)用三：在立體圖形中的運(yùn)用：圓柱體中的運(yùn)用與圓柱體性質(zhì)的融合

問題6：有一圓柱形食品盒，它的高等于16cm，底面直徑為20cm，螞蟻爬行的速度為2cm/s.

（1）如圖13，在盒內(nèi)下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對(duì)面中部點(diǎn)B處的食物，那么它至少需要多少時(shí)間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計(jì)，結(jié)果可含π）

圖13

圖14

（2）如圖14，在盒外下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對(duì)面中部點(diǎn)B處的食物，那么它至少需要多少時(shí)間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計(jì)，結(jié)果可含π）

模型提煉：此題的第（2）問只要將圓柱體沿側(cè)面展開（如圖15），問題就轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)定點(diǎn)A、B和定直線CD，在直線CD上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最短.

解決辦法：如圖16，將圓柱體沿側(cè)面展開，得到長方形，其中A、B兩點(diǎn)是定點(diǎn)，線段CD是定線段，要求在CD上確定一點(diǎn)P，使PA+PB最短.所以對(duì)照模型很容易想到……

圖15

圖16

此問題看似與模型無關(guān)，模型是在平面圖形中的運(yùn)用，而此問題是在立體圖形中的運(yùn)用，但只要將圓柱體沿側(cè)面展開，就將立體圖形轉(zhuǎn)化成了平面圖形，呈現(xiàn)在我們面前的就是模型的真面目，揭開面紗就顯出了真相，只是模型的轉(zhuǎn)化而已，實(shí)現(xiàn)了舉一反三.

應(yīng)用能力培養(yǎng)策略4：教會(huì)學(xué)生類比延伸，利用問題的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)模型的擴(kuò)展

模型運(yùn)用四：模型外延運(yùn)用：類比推理、運(yùn)用延伸

問題7：如圖17，臺(tái)球桌面上有如圖所示的母球A和紅球B，現(xiàn)要將母球A先擊打臺(tái)球桌面的邊沿CD后反彈擊中紅球B，畫圖說明擊打的線路.

模型提煉：此題與模型問題沒有本質(zhì)的區(qū)別，都是用對(duì)稱的方法解決，類比模型問題就能找到答案.

圖17

圖18

解決辦法：如圖18，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線CD于點(diǎn)P，則只要母球A擊打桌邊點(diǎn)P處，反彈后就會(huì)擊中目標(biāo)紅球B.

此問題看似與模型不同，但通過將問題與模型進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)其與模型問題的本質(zhì)基本一樣，思想相同也相通，運(yùn)用模型方法，輕易就將其解決.類比的思想、創(chuàng)新的延伸，使模型擴(kuò)容，幫助我們解決了與之相近的問題，真正做到觸類旁通.

數(shù)學(xué)模型給我們提供了一種解決問題的方法和有效手段，學(xué)生在建模、觀模、用模和思模的過程中培養(yǎng)了：學(xué)習(xí)習(xí)慣、觀察視角、思考方法、思維方式、探索精神和創(chuàng)新能力，提高了數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，掌握了開啟數(shù)學(xué)問題的“鑰匙”，感受到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的輕松，收獲了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功，體會(huì)到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，進(jìn)而激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、探究數(shù)學(xué)的熱情.W