解答零點含參問題的常見方法

☉廣東省清遠市第二中學 湯華英

零點含參問題是高考的熱點題型之一，其常見題型有：已知函數的零點個數求參數的取值范圍；或由已知條件求函數的零點個數.解決函數的零點問題，通常可以采用數形結合法、分離參數法和分類討論法.

一、數形結合法

例1（2017年新課標全國Ⅰ卷理科·21）已知函數f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

解：（1）因為f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，所以f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（2ex+1）（aex-1）.

所以當a≤0時，f′（x）＜0在R上恒成立.所以f（x）在R上單調遞減.

綜上所述，當a≤0時，f（x）在R上單調遞減；當a＞0時，上單調遞增.

（2）由（1）可知：當a≤0時，f（x）在R上單調遞減，至多有一個零點，與題設不符.

圖1

綜上所述，a的取值范圍為（0，1）.

例2（2018年新課標全國Ⅰ卷理科·9）已知函數存在2個零點，則a的取值范圍是（ ）.

A.［-1，0）B.［0，+∞）C.［-1，+∞）D.［1，+∞）

解：g（x）存在2個零點等價于方程g（x）=0存在2個解，等價于方程f（x）=-a-x存在2個解，等價于y=-a-x和的圖像存在2個交點.在同一直角坐標系中，畫出y=-a-x和的圖像，如圖2所示.

圖2

小結：數形結合法是解決零點含參問題的法寶，首先從數的角度討論函數的單調性，再從形的角度畫出符合題意的函數圖像，然后結合圖像回答問題.對于常見的三次函數、二次函數或者是導函數的解析式相對簡單的函數零點問題，用數形結合法會使得問題迎刃而解.

二、分離參數法

例3已知（fx）是定義在R上的函數，且滿足：①（f4）=0；②曲線y=（fx+1）關于點（-1，0）對稱；③當x∈（-4，0）時，（fx）=log2.若y=（fx）在x∈［-4，4］上恰有7個零點，則實數m的取值范圍是（ ）.

解：因為曲線y=（fx+1）關于點（-1，0）對稱，所以曲線y=（fx）關于點（0，0）對稱.

所以（fx）在R上是奇函數.所以（f0）=0.又因為（f4）=0，所以（f-4）=0.而y=（fx）在x∈［-4，4］上恰有7個零點，所以當x∈（-4，0）時，（fx）=log2）有2個零點.又因為當x∈（-4，0）時，f（x）=logm），所以當x∈（-4，0）時有2個零點轉化為xex+ex-m=1有2個不同的解，即xex+ex-1=m有2個不同的解.令g（x）=xex+ex-1，y=m，則g（x）=xex+ex-1與y=m的圖像有2個交點.因為g′（x）=ex+xex+ex=ex（x+2），所以g（x）在（-4，-2）上單調遞減，在（-2，0）上單調遞增.而（0）=0，故函數g（x）在（-4，0）上的圖像如圖3所示，所以要使g（x）=xex+ex-1與y=m有2個交點，只需，所以A選項是正確的.

圖3

小結：分離參數法是解決零點含參問題的另一種重要方法，需要用到函數與方程的轉化思想，先將原函數y=f（x）的零點問題轉化為方程f（x）=0的解的問題，再轉化為兩個新函數y=g（x）與y=m圖像的交點問題.分離參數法不僅可以回避對參數的分類討論，而且參數的取值范圍更加形象、直觀.

三、分類討論法

例4（2015年新課標全國Ⅰ卷理科·21）已知函數

（1）當a為何值時，x軸為曲線y=（fx）的切線；

（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設函數h（x）=min{（fx），g（x）（}x＞0），討論h（x）零點的個數.

解：（1）f′（x）=3x2+a.設曲線y=（fx）與x軸相切于點P（x0，0），則：

（2）①當x∈（1，+∞）時，g（x）=-lnx＜0，所以h（x）=min{（fx），g（x）}≤g（x）＜0.所以h（x）在（1，+∞）上無零點.

③當x∈（0，1）時，g（x）=-lnx＞0，所以只需考慮f（x）在（0，1）內的零點個數.

因為f′（x）=3x2+a，所以當a≥0時，f′（x）＞0在（0，1）上恒成立.又因為，故此時（fx）在（0，1）上沒有零點.

小結：分類討論法就是根據題目所給的已知條件，通過對參數進行分類討論，進而對題目中的數學問題進行分類討論，然后對劃分的每一類問題進行研究和求解，它所體現的是化繁為簡、化難為易、逐個解決的數學思想.怎樣分類是一個難點，而怎樣分類又是一個自然而然的過程，因此要確定一個函數零點的個數，除了要掌握以上的方法，還需要較好地掌握函數的單調性與零點存在性定理等知識.