對一類拋物線考題的多向探究

☉浙江省慈溪市滸山中學 岑孟慶

對一些典型題目需要進行深度“思考”與“二次創作”，挖掘出所潛在的教育功能、拓展功能和應用功能，使考生做一道題會一類題、會一串題，對于提高考生舉一反三、觸類旁通的數學素養是十分有意義的事情.下面以一道拋物線模考題為例加以說明.

一、考題呈現

例1已知拋物線C：y2=2x和點P（2，2），A、B是C上異于點P的兩點，直線PA、PB的斜率kPA，kPB滿足kPA+kPB=2，則直線AB過定點（ ）.

A.（1，0）B.（-1，0）C.（0，-1）D.（0，0）

所以直線AB過定點（0，-1）.故選C.

二、結論探究

結論1：P是拋物線C：y2=2px（p＞0）上一定點，A，B是C上異于P的兩點，直線PA，PB的斜率kPA，kPB滿足kPA+kPB=λ（λ為常數，且λ≠0），且直線AB的斜率存在，則直線AB過定點

應用此結論對于“過拋物線C：y2=2px（p＞0）上一定點P（x0，y0）的兩條直線PA，PB，與拋物線C交于A，B兩點，若直線PA，PB的斜率kPA，kPB之和為非零定值，則直線AB過定點”的一類問題便迎刃而解了.

三、縱向思考

上述各結論中，均有條件“λ≠0”，現在我們感興趣的是若λ=0會有什么樣的情形呢？

例2 已知拋物線C：y2=2x和點P（2，2），A、B是C上異于點P的兩點，直線PA、PB的斜率kPA，kPB滿足kPA+kPB=0，則直線AB的斜率為（ ）.

結論2：P是拋物線C：y2=2px（p＞0）上一定點，A，B是C上異于P的兩點，直線PA，PB的斜率kPA，kPB滿足kPA+kPB=0，則直線AB的斜率為定值

四、變向思考

上面研究的都是“斜率之和為定值”的情況，若將條件中的“之和”改為“之積”，是否也能出現定點結論呢？答案也是肯定的！

例3已知拋物線C：y2=2x和點P（2，2），A、B是C上異于點P的兩點，直線PA、PB的斜率kPA，kPB滿足kPA·kPB=2，則直線AB過定點（ ）.

五、類比思考

對于拋物線“斜率之和為非零定值”這一類試題可由上述的結論解決，那么對于橢圓、雙曲線也常有類似的試題出現，那么是否也有一般的結論呢？答案是肯定的！

例4已知橢圓）中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

解析：（1）由于P3，P4兩點關于y軸對稱，所以由題設知C必經過P3，P4兩點.

（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果直線l與x軸垂直，設l：x=t，由題設可知t≠0，且|t|＜2，可得解得t=2，不符合題意.

由題設可知Δ=16（4k2-m2+1）＞0.