引例探究圓錐曲線的中點弦問題

☉浙江省安吉縣昌碩高中 李金林

直線被橢圓截得的線段稱為橢圓的弦，若弦的中點確定，則直線隨之確定.此類問題我們常稱之為圓錐曲線的中點弦問題.處理此類問題的常用方法是“點差法”.下面以一道2018年的高考題為例，對涉及中點弦的有關問題進行探究.

例1（2018年全國卷Ⅱ）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為，直線l的參數方程

（1）求C和l的直角坐標方程；

（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為（1，2），求l的斜率.

本題以直線和曲線的參數方程為背景，應先將直線與曲線的參數方程化為直角坐標方程，再利用平面幾何與解析幾何的方法解題.

下面探究第（2）問中點弦問題的處理方法.

（2）解法一：設直線l與橢圓C的交點為

結論1：若直線l與橢圓（ ）相交于=1a＞b＞0 M，N兩點，且線段MN的中點為P（x0，y0），則直線l的斜率

類似地，也可將此結論拓展到雙曲線和拋物線.

結論2：若直線l與雙曲線C（a＞0，b＞0）相交于M，N兩點，且線段MN的中點為P（x0，y0），則直線l的

例2已知雙曲線E的中心為原點，F（3，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（-12，-15），則E的方程為（ ）.

因為kAB=

又因為F（3，0）是E的焦點，所以c=3，c2=a2+b2=9. ②

由式①②可得a2=4，b2=5，故E的方程為

正確選項為B.

結論3：若直線l與拋物線C：y2=2px（p＞0）相交于M，N兩點，且線段MN的中點為，則直線l的斜率為

例3設F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點P（-1，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點，點Q為線段AB的中點，若|FQ|=2，則直線l的斜率等于______.

解析：設點Q的坐標為（x0，y0）.因為

由①②可知y0=±2.故直線l的斜率等于±1.

最后再給出例1第（2）問的另外幾種解法，供參考.

解法二：設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，A（x，y），則B （2-x，4-y），將點A，B的坐標代入橢圓方程得兩式相減得即y=-2x+4，所以直線l的斜率為-2.

評析：此法與解法一有異曲同工之妙，兩式作差之后，所得關于x，y的二元方程，即直線l的直角坐標方程.

解法三，整理得關于t的二次方程

4+4tsinα+t2sin2α+4（1+2tcosα+t2cos2α）-16=0，

整理得（1+3cos2α）t2+（4sinα+8cosα）t-8=0.

結合已知條件得t1+t2=0，即2cosα+sinα=0，進而得tanα=-2，即直線l的斜率為-2.

評析：本解法充分利用了直線參數方程中參數t的幾何意義：|t|表示直線l上任一點P（x，y）到定點P0（x0，y0）的距離.當點P在P0上方時，t＞0；當點P在P0下方時，t＜0；當點P與P0重合時，t=0.對于形如（t為參數），當a2+b2≠1時，應先化為標準形式后才能利用參數t的幾何意義解題.

整理得 （tan2α+4）x2+（4tanα-2tan2α）x+（tanα-2）2-16=0.

解得tanα=-2.

所以直線l的斜率為-2.

評析：應用此方法也可將直線l的直角坐標方程與橢圓方程聯立，即消元后，利用根與系數的關系求解.