構造函數在導數中的應用

☉新疆實驗中學 鄭顯輝

構造函數是求解導數問題的基本方法，如何根據初等函數的導數公式和導數的基本運算法則來合理的構造出輔助函數，從而借助函數的性質來解決抽象函數的導數問題，下面舉例說明.

類型一 f（x）+xf′（x）構造函數F（x）=xf（x）

例1（2018甘肅蘭州一診）已知函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，且當x＞0時，不等式f（x）+x·f′（x）＜0 恒 成立 ，若 a=30.2·f（30.2），b=（logπ2）·f（logπ2），c=a，b，c之間的大小關系為（ ）.

解：構造函數g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）.因為當x＞0時，不等式f（x）+x·f′（x）＜0恒成立，所以當x＞0時，g′（x）＜0.所以g（x）在（0，+∞）上單調遞減.又因為函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，所以函數g（x）=xf（x）為R上的奇函數，且在R上單調遞減.因為1＜30.2＜2，0＜logπ2＜1，所以-2＜logπ2＜30.2.所以c＞b＞a.故選C.

變式nf（x）+xf′（x）構造函數F（x）=xnf（x）

F（x）=xnf（x），F′（x）=nxn-1f（x）+xnf′（x）=xn-1［nf（x）+xf ′（x）］.

類型二 xf′（x）-f（x）構造函數F（x）=

例2 （2015全國新課標Ⅱ卷理12）設函數f′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）.

A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）

類型三 f′（x）+f（x）構造函數F（x）=f（x）ex

例3設（fx）是R上的可導函數，且f（′x）≥-（fx），，則（f1）的值為______.

解：由f′（x）≥-f（x）得f′（x）+f（x）≥0，所以exf′（x）+exf（x）≥0，即［exf（x）］′≥0.

設函數F（x）=exf（x），則此時有1=F（2）≥F（0）=1，

變式f′（x）+nf（x）構造函數F（x）=enxf（x），

F（x）=enxf（x），F′（x）=f′（x）enx+nenxf（x）=enx［f′（x）+nf（x）］.

類型四 f′（x）-f（x）構造函數F（x）=

例4 （2017·南昌市三模）已知函數f′（x）是函數（fx）的導函數對任意實數x都有（fx）-f（′x）＞0，則不等式（fx）＜ex-2的解集為（ ）.

A（.-∞，e）B（.1，+∞）C（.1，e）D（.e，+∞）

因為對任意實數x都有（fx）-f′（x）＞0，所以g（′x）＜0，即g（x）為R上的減函數，即g（x）＜g（1）.因為g（x）為R上的減函數，所以x＞1.所以不等式（fx）＜ex-2的解集為（1，+∞）.故選B.

類型五 f′（x）sinx+f（x）cosx構造函數F（x）=f（x）sinx

F（x）=f（x）sinx，則F ′（x）=f′（x）sinx+f（x）cosx

例5（2018屆高三福建省德化永安漳平三校聯考）定義在上的函數（fx），f（′x）是它的導函數，且恒有cosx（fx）+f（′x）sinx＞0成立，則（ ）.

類型六 f′（x）sinx-f （x）cosx構造函數F（x）

例6定義在上的函數（fx），f（′x）是它的導函數，且恒有（fx）＞f（′x）tanx成立，則（ ）.

類型七 f′（x）cosx-f（x）sinx構造函數F（x）=f（x）cosx

F（x）=f（x）cosx，則F ′（x）=f′（x）cosx-f（x）sinx

例7設函數f（′x）是定義在（0，2π）上的函數（fx）的導函數，f（x）=f（2π-x）.當0＜x＜π時，f（x）sinx-f′（x）cosx＜0，，則a，b，c之間的大小關系為（ ）.

A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b

解：令g（x）=（fx）cosx，則g′（x）=f（′x）cosx-（fx）sinx＞0.所以函數g（x）在（0，π）上單調遞增.因為（fx）=（f2πx），所以g（x）=g（2π-x），即g（x）的圖像關于x=π對稱.所所以a＜b＜c.故選A.

類型八 f′（x）cosx+f（x）sinx構造函數F（x）=