輔助圖在數學解決問題教學中的應用

王曉君

[摘 要]輔助圖的作用是把抽象的數量關系與直觀的圖形相結合，運用圖形直觀的特點去發現數量之間的內在聯系，以達到化隱為顯、化繁為簡、化抽象為具體的目的，從而快速、簡便地解決問題。在數學解決問題教學中，教師應重視培養學生借助直觀的輔助圖來探究、分析抽象問題的能力，進而提升學生解決問題的能力。

[關鍵詞]輔助圖;數學教學;解決問題;應用;價值

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）15-0033-02

著名數學家華羅庚先生指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休。”這充分說明“數”和“形”是緊密聯系的，因為簡單的圖形中蘊含了多種數學思想方法，且圖像語言為數學思維的表達提供了便利。因此，在數學解決問題教學中，教師借助輔助圖引導學生分析問題，不僅能讓學生易于理解題意，培養學生解決問題的能力，而且可以提高數學教學效率。

一、輔助圖在數學解決問題教學中的價值

在數學解決問題教學中，把題中的數量關系轉化為圖形，通過直觀的圖形去分析問題、解決問題，其實質是將抽象的數學關系與直觀的圖形結合起來，使得抽象復雜的數量關系直觀化、形象化、簡單化，從而有利于探求解題的思路。

對于小學生來說，他們的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的時期，所以對于稍復雜的解決問題就會束手無策，甚至無法理解題意。因此，在數學解決問題教學中，教師可突出輔助圖的作用，引導學生從不同的角度加深對問題的認識和理解，從而明晰題中的數量關系，獲得正確的解決問題的方法。正所謂“按圖索驥，順藤摸瓜”，這樣不僅很多問題可以迎刃而解，而且培養了學生將實際問題轉化為數學問題的能力。

二、輔助圖在數學解決問題教學中的應用

1.提高審題能力

低段學生的審題能力較差，問題的抽象表述往往讓他們無法理解題意，再加上他們剛學會加法，所以解決問題時容易出現不顧問題的表述，直接用加法來解決的情況。如果教師有意識地引導學生適時使用輔助圖分析問題，這對提高學生的審題能力、幫助他們理解用加法解決問題有很大的作用。

案例：教學加法的解決問題

秋天到了，小朋友們去果園里摘蘋果。3個小朋友一共摘了12個蘋果，其中小明摘了3個蘋果，小花摘了5個蘋果。那么，豆豆摘了幾個蘋果呢？

要求“豆豆摘了幾個蘋果”，就是從總數12個里減去小明摘的3個蘋果，再減去小花摘的5個蘋果，剩下的就是豆豆摘的蘋果數。若直接出示題目而不出示圖，有一部分學生就會不明白、不理解題意，甚至出現連加的錯誤解法。因此，教師可出示12個蘋果，讓學生分一分、畫一畫。如下圖：

[一共12個][小明摘了3個 ? ? ? ? ? ? ? ? 小花摘了5個 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 豆豆摘了幾個？]

在輔助圖的幫助下，學生很快理解了題意，即知道總數求其中的一部分，甚至出現了12-3-5=4以及3+5=8、12-8=4這兩種解法。這兩種解法都可以用來解決這個問題，并且直觀地驗證了算式結果的正確與否。

上述教學，利用輔助圖讓原本枯燥的解決問題變得趣味橫生，不僅有助于學生理解題意，得出正確的答案，而且有利于學生內化所學的知識，感受到數學學習的趣味性、挑戰性。

2.分析數量關系

線段圖作為數學學習的輔助工具，如今已被大多數學生所棄，因為在學生心目中“套用”是最管用的，從而導致在解題過程中忽視分析題意。然而，線段圖有著廣泛的應用，常用于輔助分析題中的數量關系，如“相遇問題”“追及問題”“和倍問題”等，能將抽象的數量關系形象化、直觀化，所以不能忽視。

案例：教學分數乘法的解決問題

學校合唱隊有隊員18人，游泳隊的人數是合唱隊的[56]，乒乓球隊的人數是游泳隊的[23]。乒乓球隊有多少人？

教師先畫一條線段，表示合唱隊的總人數并作為單位“1”，再根據“游泳隊的人數是合唱隊的[56]”，把合唱隊的總人數平均分成6份，畫出與這樣的5份同樣長的線段;然后根據“乒乓球隊的人數是游泳隊的[23]”，把游泳隊的人數作為單位“1”并平均分成3份，再畫出與這樣的2份同樣長的線段。如下圖：

教師引導學生從已知條件或問題分析，使學生明白要求乒乓球隊的人數，必須先求出游泳隊的人數。根據“游泳隊的人數是合唱隊的[56]”，把“學校合唱隊有隊員18人”作為單位“1”，那么求游泳隊的人數就是求18的[56]是多少，所以用乘法計算，列式為18×[56]=15（人）;再根據“乒乓球隊的人數是游泳隊的[23]”，把游泳隊的人數作為單位“1”，求乒乓球隊的人數就是求15的[23]是多少，所以也用乘法計算，列式為15×[23]=10（人）。這里，通過直觀的線段圖，不僅可以吸引學生的注意力，很好地幫助學生找到題中的數量關系和變化的單位“1”，達到化繁為簡的目的，還能拓展學生的解題思路，使學生真正掌握這一類題型的解決方法。因此，在分析問題過程中，教師要注意引導學生把數與形結合起來考慮，將數量關系的問題轉化成圖形問題，這樣不僅可以使復雜的問題簡單化、抽象問題具體化，調動學生學習的主動性，還能提高學生的思維能力。

3.理清解題思路

解決問題時，學生對于多樣化的解題方法掌握得不是很好，常表現為有一種解題方法就滿足了，很少仔細去聽、去理解其他同學不同的解題方法。如在點子圖、方格圖、面積圖中找出不同的解決方法，既有助于學生理清解題思路，又有利于學生對不同的解題思路進行對比、優化。

案例：教學連乘的解決問題

我們學校的廣播操方陣，每行10人，有4行，有3個方陣，一共有多少人？

教師要求學生用一個圓點表示一個人，在點子圖上圈出先算的部分，列出算式，再對著點子圖說說是怎么想的。

解法（1）：根據“每行10人，有4行”，先算出一個方陣有多少人。

解法（2）：根據“每行10人，有3個方陣”，先算出一大行有多少人。

解法（3）：根據“一個方陣有4行，有3個方陣”，先算出一共有幾小行。

在學生交流反饋后，教師將三種解法的點子圖放在一起，引導學生比較這三種解法相同和不同之處，使每位學生都能直觀地理解每一個解題步驟的意思。

上述教學連乘解決問題時，教師將教學重點定為“使學生經歷從實際生活中發現問題、提出問題、解決問題的過程，學會用兩步連乘的方法解決問題”，將教學難點定為“使學生會分析連乘問題的數量關系，能借助簡單的圖理解解題的思路，培養初步的數形結合的思維能力”。通過對學生的調查和教學實踐后發現，學生對連乘問題的計算技能掌握得較好，但對連乘問題的解題思路是比較模糊的。為了更好地引導學生感悟解題方法的多樣化，理清解題思路，教師整堂課始終注意暴露學生的思維，有意識地用點子圖來幫助學生理解每一個解題步驟的含義，這樣既使學生明晰每一種方法中的數量關系，為后面的進一步探究做好準備，又培養了學生數形結合的意識。同時，教師利用多媒體課件，充分發揮數形結合的優勢，揭示知識的本質和知識之間的內在聯系，使學生真正理解和掌握所學知識。

4.簡化解題過程

利用輔助圖解決問題，既可以將抽象的數學問題轉化成具體的圖形，簡化解題過程，又能使學生對題意理解透徹，記憶深刻。

案例：教學分數加減法的解決問題（填空題）

一杯牛奶，小明第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上次剩下的一半。小明喝了四次后，剩下的牛奶占這杯牛奶的幾分之幾？

很多學生看到這樣的問題覺得比較棘手，因為用算式來解題的話，不容易理解題意，而用圖形來分析思考就會簡單許多，使學生感受到用輔助圖解題的作用和優勢。

可用一個簡單的圖形來分析，如用一個正方形（如右圖）：一個正方形表示一杯牛奶，那么第一次喝了一半，剩下的就是二分之一;第二次剩下的就是二分之一的一半，即四分之一;第三次剩下的就是四分之一的一半，即八分之一;第四次剩下的就是八分之一的一半，即十六分之一。

這樣通過輔助圖，學生不僅理解了題意，而且容易得出剩下的牛奶占這杯牛奶的幾分之一，即陰影部分占整個正方形的幾分之幾。因此，在解決問題中運用輔助圖，能把抽象的數學問題直觀化，有利于學生找到題中的數量關系，加快解題的速度，提高解題的正確率。

總之，輔助圖的作用是把抽象的數量關系與直觀的圖形相結合，運用圖形直觀的特點去發現數量之間的內在聯系，以達到化隱為顯、化繁為簡、化抽象為具體的目的，從而快速、簡便地解決問題。因此，在數學解決問題教學中，教師應重視培養學生借助直觀的輔助圖來探究、分析抽象問題的能力。尤其是當學生遇到不易解決的問題時，教師應引導他們聯系實際分析題意，并通過輔助圖明晰題中的數量關系，理清解題思路，最后正確、迅速地解決問題。

（責編 杜 華）