“植樹問題”中真實發生的數學思考

葉錦秀

【摘要】“植樹問題”的教學內容是引導學生觀察和發現全長與間距、間隔數與棵數之間的關系，通過具體的生活情境，培養學生探索解決問題有效方法的能力。林偉揚老師執教的這一課，整節課充滿著觀察、推理和交流等各種教學活動，讓學生的數學思維充分活躍，然后再通過練習的變式和比較，讓學生數學思想方法得到有效滲透的同時，思維得到發散，數學建模及應用能力得到提升，真正做到數學思考在真實發生。

【關鍵詞】閱讀與理解;習得方法;變式練習;數學思想方法

對于我這個教齡未滿五年的雛兒來說，最為幸運的是教學生涯的開始就遇到了師傅林偉揚老師。林老師舒服可愛的課堂氣氛，層層遞進的課堂形態，散發著濃濃的“數學味”，這樣的味道讓初入行的我感受到了數學教學的溫暖和魅力，也對數學有很深的向往。在學校期末的“名雁”展示課上，林老師在“植樹問題”中扎實有效的知識建構，讓我再次感受到了她對數學教學的執著和熱愛。

“植樹問題”是人教版五年級上冊數學廣角里的內容，“數學廣角”并不是數學課程標準里規定的必學和必考的內容，它承載的責任也并不是“雙基”的目標，它起于課標，且高于課標，它很好地體現了數學教學中最有價值的行為——數學思考。所以“植樹問題”之于后知后覺類的學生而言，“想說愛你很不容易”。那在林老師的“植樹問題”課堂上，又怎樣讓學生的數學思考真實發生呢？我從以下三點展開分析。

一、審題方式的優化：多種形式表征問題的本源

大多數人拿到文字，首先就是逐字逐句、一字不漏地先讀幾遍，如果看不懂了，那就再讀幾遍。所以對大多數人來說，“閱讀與理解”是最簡單的，也是最容易忽視的，可這樣的解題效率不高，也容易抓不準關鍵信息。面對同一個需要解決的問題，不同的學生理解的層次也是不同的。對于數學廣角類型的解決問題，閱讀理解不但要能理解題目的關鍵信息，更要快速與舊知識搭建橋梁，快速地找到解決問題的策略，做好建模準備。如何過“審題關”？請看林老師的教學片段：

教師請全班讀題獲取數學信息：同學們在全長100m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

師：你們覺得在審題中，有什么要提醒大家的？

生1：每隔5m栽一棵（兩端要栽）。

生2：我覺得“一邊”也是很關鍵的詞。

教師馬上在板書上進行了標注。并提問：“每隔5m栽一棵（兩端要栽）”是什么意思？

生1：每兩棵樹之間距離5m。

生2：5m一段路，這段路的兩端都要栽一棵樹。（生拿了把尺子作示意兩端都要栽）

師介入：你們很厲害啊。是不是覺得用畫圖更容易理解？你們誰愿意來畫一下？

生板演：

師點評：畫得很清楚，一眼就看出了每兩棵樹之間距離5m，也可以說每兩棵樹之間的間隔5m。

師：那“一邊”又是什么意思？

生：說明只種馬路的一邊。

林老師在這一環節的板書中通過“畫橫線”“畫圈”對關鍵詞進行標注，提高審題效率。林老師本著“以生為本”的教學理念，引導學生充分解讀“每隔5m栽一棵（兩端要栽）”，并且很機智地抓住學生的生成，恰當地激發了學生的畫圖需求。學生自發地用了物化的方法將抽象的信息直觀化、簡單化，也就是我們經常說的數形結合的方法（畫簡易圖），為后面環節的建模做好準備。

二、習得方法的整合：讓學生自發的產生數學思想方法的需要

“數學廣角”承載著感悟重要的數學思想方法的目標。毋庸置疑，植樹問題的數學思想方法在“分析與解答”環節中最能滲透。林老師根據她設計的模型主線——“猜想→探索→歸納推理→建模→應用”，不僅清晰和豐滿，且更趨合理和富有魅力，讓學生在已有的知識經驗、思想與方法中，通過不斷地猜想、探索，在“慢感悟”中明白道理。

請看教學片段1：

林老師一開始讓學生猜一猜結果大概是幾，學生一開始有猜想到答案是22，兩端要栽，也有的猜21。

師問：為什么沒人猜20？

生：兩端都要栽，20肯定錯了。

教師追問：那我們用什么方法來探究這個猜想到底正不正確呢？

生1：畫圖

教師補充：畫圖就是“數形結合”（教師馬上板書）

生2：化繁為簡

師：如何化繁為簡？

生1：先看看10m可以栽幾棵。

生2：我覺得應該簡到5m。

師介入：那為什么不研究1m呢？1m不是更簡單嗎？

生補充：每隔5m種一棵，1m就沒意思了，沒辦法研究。

師：你們這種化繁為簡，簡到極致，簡得太有味道了。

在數學廣角的思想方法教學中，學生可分為三層：A.能自發運用數學方法解題;B.聽取他人想法能夠喚起舊知從而理解;C.不知所云，但能通過一系列探索“后知后覺”。學生能主動把100進行化繁為簡，他是屬于A類，更說明林老師不但在這節課，在平時的課堂教學中也肯定時時刻刻滲透著數學思想方法。林老師本來預設評價：“你們的這種化繁為簡，簡得太有意義了”，而學生還未等老師說出口就說“太有味道了”。這樣的課堂，這樣的生成，教師與學生思維的碰撞這么的真實、有趣，我想，這大抵就是真實的數學味吧。

再看教學片段2：

林老師展示了一位學生探究20m長的路種樹圖：

聽完學生的介紹后，師問：為什么你前面3幅圖畫了樹，后面怎么畫了線段圖呢？

生：因為我覺得畫線段圖更簡單方便。

師：一個點表示？

生：一個點表示一棵樹，一段就是間隔長。就是點段點段點，最后是點。

師：這也就是我們數學上說的一一對應的數學思想方法。你太厲害了，有數學思維。從樹圖到線段圖的過程就是抽象的過程啊！那根據他的圖同學們有什么發現？

生1：我發現一個5m種2棵樹，2個5m種3棵樹，3個5m種4棵樹，4個5m種5棵樹。

生2：算出間隔數是x，x+1就是樹的棵數。

生3：也可以說算出n，n+1就是點數，點數也就是我們的棵樹。

師：你歸納得太好了。[教師板書：點（棵樹）=段（間隔數）+1]

教師追問：好的，基本模型你們已經找到了，那這個間隔數怎么算呢？

生：我們看這個20m的，就是求20里面有幾個5，用除法計算：20÷5=4。

所以有4個間隔，4+1=5，可以種5棵樹。

師：直接用二年級的除法知識解決了這道題目！真棒！所以全場100m怎么種樹，對于你們來說就很簡單了吧？

林老師選取了典型的作品，從學生的角度出發進行分析，讓學生告訴學生怎么畫圖、怎么分析、怎么歸納。樹圖到線段圖就是抽象的過程，樹就相當于點，兩棵樹之間的距離就是段，點段點段……在學生質樸的語言中滲透什么是一一對應思想。甚至在如何求得間隔數的環節，學生竟然能說出來，把新知識轉化成舊知識，植樹問題的本質就是二年級學習的“包含除”。而學生在自己分析的過程中為了表達更簡單準確，也自發地產生了探究需求——公式，用x、n表示間隔數，也就是符號化思想，中學稱之為函數思想，為六年級的“數學思考”研究方法打下堅實的基礎。所以，我想，一堂數學思考在真實發生的數學課，不僅是讓學生會解“植樹問題”，也不僅是讓學生建成功建模，而是讓學生在整個建模的過程中從內心深處感受建模思想的需要。這樣的課堂，不但學生習得了知識和方法，與此同時，也成就了教師的成長。

三、練習方式的改變：讓數學思想從“有”變得“更有”

對于我們很多的教師而言，鞏固新課時最好的方法就是課本的“做一做”，然后就是后面相應的練習題，做完，分析好，這個內容就結束了。而林老師對于植樹問題練習的變式，卻很好地避免了“低層次重復研究”的泥潭。

1.想一想，填一填

幸福村要在一條1000米長的公路一旁種植香樟樹，每隔10米栽一棵（兩端都共要栽），一共要栽多少棵香樟樹？

我可以先選一個簡單的數（ ）米，畫圖看一看。

兩端要栽，所以可以這樣畫圖（）。

我選的（ ）米中，有（ ）個間隔，栽樹是（ ）棵。

1000中共有（ ）個間隔，兩端都栽，所以一共要栽（ ）棵。

2.畫一畫，寫一寫

在下面不同的路線上均勻植樹，一共植5棵樹，請按照要求畫出5棵樹（畫點表示一棵樹），然后寫出棵樹與間隔數的關系。

（1）兩端都栽：

棵樹與間隔數關系是（ ）

（2）一端栽另一端不栽：

棵樹與間隔數關系是（ ）

（3）在圓形花壇周圍栽：

棵樹與間隔數關系是（ ）

如果把“建模”當作是一節課的終極目標，那我們的目標就僅僅停留在技能與方法上了。我們的教學目標應該定位讓學生在整個建模的過程中從內心深處感受建模思想的需要，建模不過就是手段、是過程罷了。林老師通過這樣的變式練習，讓學生更加感受到數學思想方法的需要。當然，我們不可能讓每一個學生都在這節課上思想爆棚，而是讓學生在已有的基礎上對數學“更有”成功的喜悅，“更有”用數學眼光分析生活現象的意識，“更有”數學思想來支撐，讓“有”變得“更有”。

數學課就像是一部連續劇，所有劇情都是連在一起的，少了哪一集都不行，三年級的知識連著四年級，四年級的知識連著五年級，課中滲透的數學方法也是如此。鋪墊到位，學生的腦海里就能浮出之前習得的經驗。當然這不是這樣一節“植樹問題”的課就能解決的，而是通過長期的努力和積淀。或許一節課過去了，好像孩子們的腦子里什么方法都沒有掌握，但是這種似有似無的“留白”，其實是一種酵素，終于有一天會在需要的時候浮現出來的。

讓我們一起努力吧，關注數學思考的真實發生，給學生一節有“根”的數學課。

【參考文獻】

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