基于問題驅動的數學化教學的實踐與思考

[摘 要]問題驅動以提好問題為前提，方式有以大帶小、以點帶面、以實帶虛等。基于問題驅動的數學化教學，是從“準點的時刻表”過渡到“外出的指南針”，是從“一成不變的傳遞”轉變成“個性表達與共性建構的相映生輝”，是從“深入剖析的鞏固新知”漸進為“自我反思的感悟提升”。教學應以凝練和實施教學設計為抓手，做到問題情境注重數學含量，過程經歷指向模型建構，思維訓練遵循發展規律，最終，理論與實踐辯證統一，共同作用促使教學相長。

[關鍵詞]問題驅動;數學化;教學實踐;教學設計

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0001-03

課改，就是改課，而要想改變課堂中教與學的行走方式，首先就要改變我們教師的思想。邂逅“數學化”思想，源于《作為教育任務的數學》這本書，這一思想是荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾首次提出的。簡單來說，數學化就是“數學地組織現實世界的過程”。隨著研究的不斷深入，“數學化”教學的實施前提應時而變，即從“生態課堂”到“有效經歷”，再到現在的“問題驅動”，越來越聚焦教學本質，接地氣且方便操作。“思變則通，通則生智。”在“基于問題驅動的數學化教學”的主張下，教學行為悄然改變，教學效果明顯改善。

一、問題驅動：以“提好問題”為前提

要想教得好，需要問得巧。這里的“巧”至少包含兩個層面：首先是弄清楚教學內容，把準知識性的核心問題，梳理思維性的基本問題，即確認“教什么”;其次是對教學內容的再加工，使問題產生最大效益，即確認“如何教”。也就是說，“問得巧”既要能“提出好的數學問題”，還要能用這些“啟發性的、本原性的、觸及數學本質的、在教學中起統領作用的問題”驅動數學教學。

1.整合情境，以大帶小

例題承載著碎片化的知識，“一步一景”催生“一題一得”。 “順利地教”并不一定能實現“有效地學”。教師的“關懷備至”，往往是“牽引”過度，學生的“即時回答”，很多時候只是“思考簡單”，這些直接導致學生失去自主探究和自由發展的可能。這種境界較低、格局較小的教學，我們稱之為“小問題”教學。“大問題”的“大”主要涉及這四個方面：學科本身的大問題;教學方式的大問題;教學行為背后的教育大問題;學科發展性傾向的大問題。這四個方面只有和諧統一，才能共同服務于學生思維的發展。

以“認識負數” 的教學為例，可設計“大問題”：“用合適的方式把你知道的負數表示出來。”“負數的意義是什么？”“怎樣在數軸上表示負數？”……以驅動數學化教學。首先，引導學生調用已有的經驗理解問題，并掌握正負數的讀法和寫法;接著，梳理創造負數的途徑，即“人為創造”和“生活約定”，并在不同中找相同，發現“相反意義”的數量可以用負數表示，觸摸負數的本質;最后，在將負數與正整數的對比中，確認負數在數軸上的位置，豐富數的認知。顯然，整合情境后的“以大帶小”，能夠助推學生建構知識和拔節生長。

2.統攝全局，以點帶面

有些數學知識板塊特征明顯，學生思考和解決問題的過程“異構同質”。對于這種屬性的知識，教師可以從“點”入手，深入挖掘，并以此統攝全局，過渡到“面”。因為課堂教學時間有限，教師很難做到“面面俱到”，而通過聚焦典型例子，能夠將抽象的思考模型順利遷移到不同的情境中，以實現學生“一通百通”。

以“解決問題的策略——轉化”的教學為例，可緊扣“不變量思想和等量代換”的轉化本質，設計完整的“智慧鏈”來統攝教學全局：“是怎樣轉化的 ？（外觀其形） ”“為什么可以這樣轉化？ （內辨其理） ”“一定是這樣轉化嗎 ？（內外平衡拓其思） ”在具體實施時，引導學生聚焦“曹沖稱象”，提煉等量轉化，感知轉化的思考路徑;聚焦“面積比較”，提煉等面積轉化，掌握轉化的方向和方法;聚焦“整理回顧”，提煉“等周長”轉化、“等計算結果”轉化等，內化轉化生智的模型和價值。顯然，問題情境在變化，但是驅動教學的“動點”沒有改變，因為這個“動點”能反映典型問題，能直達轉化本質，還能演繹智慧路徑。

3.貫通前后，以實帶虛

教師既要“務實地教”，還要引導學生“務虛地學”。這里的“務虛”是指“從具體實際出發，又要離開感性的具體，舍棄具體事物的特殊性，抽象出事物的普遍本質和一般規律”。顯然，只有“務實”地引導學生經歷數學學習的“關鍵步子”，才能引發學生“務虛”地體驗和感悟，形成必要的、能帶走的“關鍵能力”。

以“認識面積”的教學為例，教師通過“定標準、去測量、得結果”三個板塊，驅動學生主動建構面積的概念。首先，用操作活動引發認知沖突，讓學生感知表征的豐富性和結果的不確定性，產生統一標準的需求;接著，引導學生嘗試使用“標準”初步測量面積，體會“面積”其本質上是“面”的積累，從而感知面的大小與數出的結果之間的對應關系;最后，鎖定“標準大小”和“數量多少”這兩個關鍵因素，解決相關的實際問題。教學中還要引導學生將面積與長度、時間和質量等計量單位放在一起觀察、對比和感悟，明確凡是計量多少的需要，都要經歷“三個階段”和鎖定“兩個關鍵”。顯然，這樣的問題架構，有助于實現“虛實相生”，并且“生生不息”。

二、數學化：以“和諧共生”為核心

弗賴登塔爾認為，數學化有兩種，一類是橫向數學化，即把生活世界引向符號世界;另一類是縱向數學化，即在符號世界里，符號生成、重塑和被使用。換句話說，前者將生活引向數學，“生活味”濃一些，后者是數學內部的發展，“數學味”濃一些。相對而言，小學階段的學習，兩種味道應兼而有之，并且能因需側重、和諧共生。

1.起點和諧：生活問題或數學問題

數學化注重“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”，即要想成功實施數學化，只有考慮了學生的基礎，后續的組織、抽象和建模才具有針對性和實效性。這里的學生基礎有“數學基礎”和“生活基礎”之分。“數學基礎”與學生受教育的程度有關，主要是通過學習已經獲得的知識技能、思考方法和數學思想等。“生活基礎”與學生生活的環境質量有關，主要是指學生在生活世界里沉淀的經驗、技能和價值觀等，盡管這些經驗不深刻，技能不精湛，價值觀也不穩定，但作為“等待發掘的礦藏”，不可小覷，更不能忽視。因此，數學化的起點既可以是生活問題，也可以是數學問題，還可以是兩者的優化組合。進一步說，只要貼近學生生活實際，能夠引發學生認知沖突、激發學生積極參與、有利于學生發展的問題，都可以作為數學化的起點。

2.過程和諧：觀察比較或需求創造

弗賴登塔爾提倡“再創造”，希望學生能像數學家一樣思考，能將知識“從無到有”地創造出來，實現有效的數學化。因為知識的屬性不同，所以“再創造”的路徑也就有了差異。比如“長方體的體積”，這個知識點反映的是體積大小與長方體內部元素（長、寬和高的長度）之間相互依賴與制約的關系，其基本屬性是對客觀規律的描述，知識是“確定的”。認識這種知識的基本方法是“發現”，也就是通過觀察并比較諸多不同對象，從中發現共性，這樣的共性就成為具有一定普遍意義的規律。又如“認識分數”，就是源于語言表達、量的測量和數的運算三方面的需要而被發明出來的，什么樣子都有可能，知識是“不確定的”。像這一類知識，其本質屬性是人的“發明”，通常是因人的主觀“需求”而出現的。顯然，發現的過程核心環節是“觀察與比較”，發明的過程重在“需求與創造”。因此，在踐行“再創造”的理念時，不能空喊口號，不能以偏概全，而要實事求是地研究知識屬性、選擇合適路徑。畢竟只有合適的，才是最好的。

3.終點和諧：引向生活或引向數學

終點只是為了休整，目的是更好地再次出發。但有一點可以肯定：“學以致用”不能止步于練習題，這樣的“終點”行為只是遷移模仿、機械復制，而且沒完沒了，極易“終結”學生對數學學習的興趣。從聯系的角度看，起點和終點本身就是認知回路的重要節點，看似外在分離，其實內在統一，因此，數學化終點也可以引向生活或引向數學。比如“解決問題的策略——轉化”，最后將轉化策略引向生活，創造出“司馬光砸缸”（人離開水→水離開人）、埃舍爾鑲嵌圖形 （簡單圖形→藝術作品，引導學生感知轉化的魅力和價值，培養學生自覺地把數學應用于日常生活的態度）、哥尼斯堡七橋問題 （生活問題→數學模型）……又如“平行四邊形的面積”，設置“通過轉化成規則的長方形，順利解決了平行四邊形的面積計算，那么要計算三角形的面積又該如何轉化呢？兩者面積計算之間有什么相同點和不同點呢？”問題，激發學生探究的欲望和興趣，引導學生感受知識的關聯性和差異性。當然，引向哪里并不絕對，主要考量是否能夠助推學生有所思、有所悟和有所得，這才是和諧共生的關鍵。

顯然，現實的教學需要兩種數學化動態平衡和辯證統一。尤其是“當學生的基礎知識儲備不足時，‘生活味是學生理解和掌握知識的‘調味劑;當學生已經儲備了足夠的基礎知識，能夠用數學的思維來理解和掌握數學知識時，‘生活味就要淡一點”。 換句話說，只有兩種數學化結伴而行、共同作用，才能幫助學生有效“經歷”。但是，我們也要清醒地認識到，隨著年級的增長，“數學味”會逐漸濃于“生活味”，這是數學學科的特質所決定的，也是對生活數學化的回歸和超越。

三、教學實踐：以“教學設計”為抓手

好的問題，能為思維搭建“腳手架”，為教學制訂“路線圖”。這要求教師能夠把握教材、整合情境和提煉知識，屬于“靜態規劃”。但是，教學還要以“好問題”為引領，實施有效的數學化，屬于“動態經歷”。而教學實踐則需要動靜結合，并最終凝練成教學設計，觀照教育教學的現場。

1.問題情境注重數學含量

無論是生活的問題情境，還是數學的問題情境，它們的作用主要是激發興趣、引發困惑和觸發思考，它們恰似肥沃的土壤，為數學問題的生長提供了良好的環境。對于一節課而言，問題的情境可以不一樣，但是從情境中提煉出來的“數學”是一樣的，情境創設服務于問題生成，這個功能和作用不能本末倒置。如教學“可能性”時，可設計“摸球”和“摸撲克牌”的問題情境，游戲中摸什么不是重點，重點是引導學生感知“確定事件”和“不確定事件”，會用“可能”“一定”和“不可能”來描述概率事件，并且基于問題情境中數量的多少，把握可能性大小的本質。

2.過程經歷指向模型建構

過程經歷的豐富性是為了建構模型的深刻性。精密的傳授，往往導致學生“努力說服自己從教學中獲得特定的知識與技能，盡量控制大腦（個性的）去適應教師‘精心準備的問題情境，去尋求與教師一致的理解”，看起來快捷和高效，其實被動和無趣。比如“認識分數的初步”，首先創設問題情境，激發學生創造分數的內需，然后引導學生經歷生態的表征問題的過程，通過對比、歸納，抽象出分數的模型。雖然學生的“再創造”相對粗糙，但這是最真實的存在。教學要做的是捕捉學生表達中蘊含的關鍵信息，逐步將“個性表達”提煉成“共性建構”。顯然，這樣的學習立足學生實際，過程有溫度又不失深度。當然，在這個過程中，教師要精準指導、合理調控和有序推進，可以放手，但絕不能放任。

3.思維訓練遵循發展階段性

顧泠沅教授認為，實現數學化一般要經歷三個階段，即實物操作、表象操作和符號操作。表象操作作為中間環節，助推實物操作順勢過渡到符號操作，以突破形式化的難關。與此對應，三種階段還匹配三種數學思維，即直覺思維、表象思維、邏輯思維，以適應各個階段的需要。比如“9加幾的進位加”，可創設數蘋果的情境，先讓學生用自己的方式，一個一個地數，或者從9往后數，這屬于直覺的思考;接著，引導學生觀察盒子的特點（每盒放10個），催生學生拆分和合并的需求，得到9+1=10和10+3=13，并通過對比發現“湊整十”的優勢;然后，脫離具體實物，通過圈畫圖形，遷移知識，進入對表象的思考;最后，脫離圖形，順利運用“湊十法”計算，實現“9加幾的進位加”的形式化。當然，在有序推進的過程中，如果后一階段難以突破，仍舊可以回頭，從較低思維層次入手，以幫助學生理解和建構。

綜上所述，相比傳統教學，基于問題驅動的數學化教學，是從“準點的時刻表”過渡到“外出的指南針”，是從“一成不變的傳遞”轉變成“個性表達與共性建構的相映生輝”，是從“深入剖析的鞏固新知”漸進為“自我反思的感悟提升”。也就是說，教學不再是簡單地解決問題，而是借助問題解決驅動“再創造”過程，以體驗的豐富助推建構的深刻，使學習變得有生長、有意思和有道理，最終實現教學相長。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 黃愛華，張文質. 大問題“教學的形與神” [M].南京：江蘇教育出版社，2013.

[2] 丁洪，洪薈春.緊扣問題本質，驅動自主建構：“解決問題的策略 （轉化） ”磨課實踐與思考[J].小學教學參考，2018（20）：13-15.

[3] 弗賴登塔爾. 作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[4] 郜舒竹.小學數學這樣教[M].上海：華東師范大學出版社，2015.

[本文系南通市“十三五”教育科學規劃2016年度青年專項課題“基于問題驅動的數學化過程的研究”階段性成果（課題編號：QN2016012）。]

（責編 童 夏）