談數學思想方法在2018年高考中的考查實踐

呂艷儀

摘 要 數學高考重點考查數學基礎知識、基礎能力和數學思想方法，筆者認為一線教師應該認真研究高考考綱、真題并分析數學思想方法在高考中的考查。本文借助2018年全國1卷部分試題分別從函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化、或然與必然這五種思想來研究數學思想方法在高考中的考查，并提出關于如何在高中數學課堂中進行數學思想方法教學的三點教學建議。

關鍵詞 數學思想方法 高考考查 教學建議

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A

《2018年高考考試大綱》明確指出：對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象與概括的考查，考查時必須與數學知識相結合，通過對數學知識的考查，反映學生對數學思想方法的掌握程度。

數學高考重點考查基礎知識、基本技能和和基本思想方法，考查通性通法，重在考查學生對中學數學知識中所蘊涵的數學思想和方法的理解和掌握程度。而對數學思想方法的考查體現綜合性與應用性，即在選擇填空題和解答題中分層次地考查，一道試題考查一種或多種思想方法或者多種題型綜合考查一種思想方法。

筆者受文啟發，對2018年高考理科數學全國1卷親自詳細解題并對其考查內容、方法、思想作結構化地分析。本文借助全國1卷部分試題，分別從函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化、或然與必然這五個數學思想方法來研究數學思想方法在2018年高考中的考查，有利于在實際教學中有意識地滲透數學思想方法，增強學生的解題能力。

1函數與方程思想

函數與方程思想是通過構造函數或方程，運用函數的圖像與性質或方程的性質來分析、轉化、解決問題。它是歷年高考考查的重點內容，在選擇題填空題中一般以三角函數為載體考查基本運算和基本應用，在解答題中一般以函數與導數為載體深入考察綜合應用。

【例1】（2018年全國1卷理科第16題）已知函數=2+，則的最小值是

【解析】該試題借助正弦函數構造了一個新函數，通過求導、因式分解解導數方程、解三角不等式分析單調性和求最值。命題形式簡單，不需特殊解題技巧，考查了通性通法和函數與方程思想的基本運算和基本應用。

【例2】（2018年全國1卷理科第21題）已知函數=+ln，

（2）若存在兩個極值點，證明：<2。

【解析】該題以基本初等函數為載體，考查求導法則，利用導數討論單調性后分析求極值和最值。第（2）問重點考查對需證明不等式<2進行變形化簡得到等價命題2+2ln2<0，再利用函數與方程思想構造一個新函=+2ln數，利用導數分析單調性證得<0。

2數形結合思想

數形結合思想是非常重要的數學思想方法，一直是高考的考查重點。高考重點考查“數”到“形”的轉化，再由“形”到“數”的轉化， 一般以分段函數及其圖像為載體考查學生數形結合的應用能力。

【例3】（2018年全國1卷理科第9題）已知函數，，若存在2個零點，則a的取值范圍是（ ??）

【解析】該題以分段函數為載體考查零點問題，運用函數與方程思想，轉化為函數=與函數=的圖象有2個交點。關鍵的是準確作出分段函數和一次函數的圖象，數形結合可快速找到參數所滿足的不等式，并解出參數的取值范圍。這題主要考查由“形”到“數”的數形結合思想的應用能力。

3分類與整合思想

分類與整合思想是指解決某些數學問題時按照某一標準進行分類，并逐類討論求解，最后綜合各類求解。它不僅是一種重要的數學思想方法，也是一種重要的解題策略。高考一般以絕對值不等式、解析幾何、導數題求參數取值范圍等為載體，主要考查有無分類意識，如何科學地、有標準地、不重不漏地進行分類，分類討論后如何整合。

【例4】（2018年全國1卷理科第21題）已知函數=+ln，

（1）討論的單調性;

【解析】該題以基本初等函數為載體，考查基本初等函數的求導法則，利用導數討論單調性后分析求得極值和最值。第（1）問重點考查準確求導=后要有分類意識，然后根據0，0<2，>2來分類討論單調性，最后整合三類成兩類2，>2。

【例5】（2018年全國1卷理科第23題）已知=|+1|||。

（1）當=1，求不等式>1的解集。

（2）若∈（0，1）時不等式>成立，求的取值范圍。

【解析】該題以絕對值函數為載體考查分類討論思想，第（1）問重點考查用零點分區間，分3類討論來去掉絕對值符號，從而求出不等式的解集。第（2）問再次利用∈（0，1）來把雙絕對值的不等式恒成立問題轉化為含單絕對值的不等式恒成立問題。

4化歸與轉化思想

化歸與轉化思想是指將待研究的問題通過畫圖、列表等方式進行轉化為一些子問題，把復雜問題簡單化，通過一步步解決子問題達到解決原問題的思想方法，即將未知化歸為已知。因此可以說高考中的每一道試題，都在考查化歸與轉化思想，偏向于結合推理證明，推理運算來考查。

【例6】（2018年全國1卷理科第19題）設橢圓C：+2=1的右焦點為F，過F的直線與C交于A，B兩點，點M坐標為（2，0）。（1）當⊥軸，求直線AM的方程。

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB。

【解析】該題主要考查橢圓的方程、圖象及其性質、直線與橢圓的位置關系，考查數形結合和化歸轉化的數學思想方法。第（2）問主要考查要證的兩角相等∠OMA=∠OMB轉化為證明+=0，這樣把復雜抽象問題轉化為一個具體可操作的問題。

5或然與必然思想

或然與必然思想，是指統計與概率的思想，通過收集樣本數據，分析樣本數據得出規律，再用樣本估計總體、用頻率估計概率，從而解決分析總體的問題。統計與概率是高考必考內容，通過對等可能事件的概率，互斥事件有一個發生的概率，相互獨立事件同時發生的概率，n次獨立重復試驗發生了k次的概率隨機事件的分布列與數學期望等重點內容的考查，重在考查基本概念和基本方法，運用概率統計思想解決實際問題。

【例7】某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為（0<<1）且各件產品是否為不合格品相互獨立。

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點。

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值，已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用。

（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX：

（ii）以檢測費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

【解析】本題主要通過考查相互獨立事件的概率、二項分布及數學期望、決策性問題來考查學生數據處理和運算求解能力、或然與必然的數學思想。結合獨立重復實驗即可求出20件產品中恰有2件不合格品的概率，利用導數求出概率取最大值時的，分析出不合格品件數服從二項分布，不合格品數與費用和X有等量關系，最后利用期望性質求出EX，最后做出決策。

因此，為了精準備考，實際教學需要初步滲透數學思想方法教學、發展數學能力和提高數學思維。關于如何在高中數學課堂中進行數學思想方法教學，給出一下建議：

（1）借助新課教學有意識地滲透數學思想方法;數學思想方法一般會隱含在知識背后、某一個概念形成過程、問題的發現或解決過程、結論的推導或推廣過程中，往往會被忽視，因此應借助新課教學有意識地挖掘、提煉出知識背后反映的數學思想方法，讓學生學到知識掌握思想方法。

（2）借助習題課加強數學思想方法訓練和梳理總結;數學思想方法的訓練必須借助不同類型的問題做有針對性地訓練，配合老師有條理地梳理、總結數學思想方法，從而增強解題能力。

（3）反復應用不斷鞏固和深化數學思想方法。借助高考真題、模擬考試題或解決某一難點來凸顯數學思想方法的重要作用，只有在反復應用中數學思想方法才得以不斷鞏固和深化，最后形成能力。

參考文獻

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