溝通關系建構數學模型

宋鈞鈞

摘 要：“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數學趣題。教學中，本人根據學生現有的認知水平，努力溝通數量關系，解題策略內在關系，有效突破傳統教學模式，滲透化繁為簡的數學思想，構建數學模型，使學生積累了豐富的數學活動經驗。

關鍵詞：雞兔同籠 ?數量關系 策略 數學思想 數學模型

一、背景闡述

“雞兔同籠”問題是中國古代經典趣題的代表。在現行的各個版本的教材中都有其濃墨重彩的一筆。如北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學生學會運用列表這種基本的解題策略解題;蘇教版六年級上冊將之作為一道練習題來鞏固“假設和替換”的策略;原人教版（實驗版）則是在六年級上冊“數學廣角”中詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法（列表、假設或方程解等）及實際應用。除此之外，還有不少名師在二年級用“畫圖法”、在六年級用“二元一次方程組”來生動地演繹它，特級教師朱樂平、俞正強等都對此進行課堂演繹或評析。

二、教學片段

（一）、情境導入：呈現教材情境圖（古人學習“雞兔同籠” 問題圖），理解“古語”并提出問題：籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只？

師：猜一猜：雞和兔各有多少只？

師：他們的猜測對嗎？同學們有方法來驗證一下嗎？

師：大家猜了好幾組數據，但是經過驗證都不對，為什么都猜不準呢？

生：數太大了不好猜！

【設計意圖：1.通過大數據的“雞兔同籠”問題進行答案的猜測，由于學生已經具備了一定的生活經驗和知識儲備，他們會猜測出各種答案（但絕不會猜測全部是雞或全部是兔子），這樣的猜測不僅為解決問題指明了方向，還增強了學生的數感，發展了推理能力;2.根據猜測進行計算、驗證，感受大數據下的問題解決困難，滲透化繁為簡的數學思想;3.讓學生經歷猜測、計算、驗證的活動過程初步體驗數量之間的關系（在頭數不變的情況下：雞、兔數量的多少變化和隨之發生變化的腳的數量之間的關系）、積累基本的活動經驗，為接下來的列表解決問題鋪墊。】

（二）、新知探究

1.呈現例一，滲透思想

師：數小一些是不是就能猜對了？

出示例1：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？

2.自主嘗試，解決問題：獨立思考可以列表、畫圖、算式等，嘗試解決，然后匯報。

【設計意圖：1.給予學生充分的時間與空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程，從中發現“雞兔同籠”問題中的一些特殊的規律，初步體會其內在聯系，從而感悟數量之間的關系;2.嘗試用多種方法（畫圖、列表、計算等）解決雞兔同籠問題，初步感受各種解題策略之間的關系。】

3.交流策略，溝通數量關系

師：經過同學們的研究，現在知道雞和兔各有幾只了嗎？

師：你是怎么探究得出這個結果的？老師請這幾位同學來為大家做匯報？

生1：逐一舉例：從雞有0只，兔有8只開始推算（如下表）

師：仔細觀察，你能發現些什么？

追問：從左往右看，每次增加1只雞，減少1只兔，腿數是怎么變化的？

（把一只雞換成一只兔，腳的數量就增加2只）

追問：從右往左看，每次增加1只兔，減少1只雞，腿數又是怎么變化的？

（把一只兔換成一只雞，腳的數量就減少2只）

……

師：你認為這種方法有什么特點？（逐一舉例）

小結：逐一列表法雖然比較麻煩，但是不重復不遺漏;

【設計意圖：1.第一張列表的選擇呈現學生常規的逐一舉例法，引導學生按順序尋找答案;2.呈現逐一舉例的列表更利于教師有效的持續的引導，幫助學生發現并理清兔子和雞之間到底有什么關系。】

生2：請取中列表的同學匯報（取中列舉：如下表）

師：你為什么選擇4只雞、4只兔為第一組數據？

師：在驗證了第一組數據后，（計算驗證后發現了什么問題？）馬上調整為第二組數據？

師：在驗證了第二組數據后，（計算驗證后發現了什么問題？）馬上調整為第三組數據？

追問：他的這種猜測、計算驗證、分析、調整的方法怎么樣？（簡便、快捷）

【設計意圖：1.合理的利用有價值的生成，盡可能關注學生在學生中的遇到的問題與困惑，激活學生的思維，促進學生自主能動的開展學習、探究活動;2.在取中舉例4雞4兔有24只腳的基礎上，對比腳的數量進行了第一次調整（5雞3兔），發現“增雞減兔”后發現腳數更少了，因此進行了第二次調整（3雞5兔）“增兔減雞”，腳數才等于26只，再一次感受雞、兔頭數的數量變化與腳數之間的數量變化的關系;3.在逐一列表并發現雞兔的頭數變化與腳數變化之間的數量關系基礎上，感悟對猜測、計算、驗證后的數量關系（猜測下的腳數與實際腳數的數量關系），并進行合理的分析、調整（猜測下腳多了——“減兔增雞”;猜測下腳少了——“增兔減雞”）。】

師：現在你能根據調整數據的方法，練習調整從8雞0兔16腳和0雞8兔32腳調整到26腳。說一說調整的方法。（如下表）

總結：這些同學根據已知信息進行嘗試猜測，分析后進行合理調整，然后進行計算驗證，最終都得到正確答案。（相機板書：猜測、驗證、調整）

三、結語

史寧中教授提出：義務教育階段數學的本質是研究“關系”。本課教學中我致力于引導學生通過猜測、計算、驗證、分析、推理、調整等思維活動，借助“畫圖法”探究并理解“雞兔同籠”問題的本質，幫助學生溝通數量之間的關系，解決問題策略之間的內在關系，在此基礎上引導學生思考，發現規律，從而把所列的表格，圖形、總結的規律轉化為數學符號，建構成數學模型。

參考文獻：

[1]小學數學課程標準[M].北京師范大學出版社，2011.

[2]王延強.淺談“雞兔同籠”問題的數學建模[J].山東教育. 2011（05）.

[3]凌魁、陳健. 在數學建模中體驗數學思想方法[J].中國農村教育. 2016（05）.

[4]姜家鳳.激情 猜想 驗證 溝通 建模——“雞兔同籠”教學實踐與反思[J].小學教師. 2009（11）.

[5]杭甬.基于建模的“雞兔同籠”教學[J].小學教學參考. 2016（07）.

[6]傅瑩芳. 整合解題策略，滲透數學思想——“雞兔同籠”教材分析及教學建議[J].新課程學習.2013（04）.