應用型工科專業的數理方法課程探索

邢秀文 馮炎青 沈洋

摘 要：根據當前社會狀況以及應用型工科學生的需求，制定了一套數學物理方法課程的內容體系以及講解方法，包括復變函數與積分變換部分、數學物理方程兩部分，適合三本院校教師參考。

關鍵詞：復變函數；積分變換；數學物理；課程建設

1、課程建設的意義

我國現行的數學物理方法課程包含復變函數與積分變換、數學物理方程兩大模塊。該課程是物理類專業的重要課程，是銜接普通物理與理論物理的重要紐帶。該課程的學習涉及到大量的關聯知識，包括高等數學、力學、電磁學、交流電路分析等，具有高度的抽象性，是一門公認的難學的課程。

隨著社會經濟的發展，整個社會關注的焦點逐漸由科學技術向經濟金融轉變，大學作為社會的一部分，也在經歷著這樣一個過程。這一轉變最具體的表現就是理工科專業的熱度逐漸下降，經濟管理金融等專業變得異常火爆。即便是理工類專業的在讀學生，對專業知識的興趣也在逐年下降。這直接導致了數學物理類課程的課時逐漸減少，難度很大的數學物理方法課程在很多學校甚至已經消失。在這樣的背景下，如何改革傳統的數理方法課程體系，使之適合現階段應用型工科專業的學生特點，就變得尤為重要。

2、課程的開設情況

北京理工大學珠海學院是一所三本層次的獨立本科院校，開設數理方法課程的專業有：電子科學與技術、通信工程、信息工程、自動化、電氣工程及其自動化、應用物理學。上述專業因為涉及到電信類的專業課程，因此目前都設置了復變函數與積分變換的教學內容。信息工程專業會涉及到無線電與雷達等后續專業課，早年曾經開設過數學物理方程，后來因為難度大而停止。只有應用物理學專業堅持開設完整的數理方法課程。

上述理工科專業在學習數理方法類課程之前，都已經學習了11學分的高等數學。從考試成績反饋的信息可以發現，學生對于一元微積分掌握的很好，對常微分方程、冪級數與傅里葉級數部分掌握的稍差，多元微積分與場論掌握很差。從多年的教學經驗發現，多數學生對數學類課程的理解上限就是高等數學，對于更高層次的數理方法很難透徹理解。

3、對數理方法課程的要求

從筆者了解的情況來看，我校各個專業對數理方法的內容要求都有所不同。下面分別闡述：

1）通信類專業，后續的《信號與系統》課程基本就是積分變換的延續，尤其是對頻譜概念要求很高；后續的《電磁場與電磁波》課程對數理方程中的泊松方程和波動方程要求很多，而對于熱傳導方程基本無需求。

2）自動化類專業，在其后續的《自動控制原理》課程中，大量應用積分變換和極點的概念來研究線性控制系統。

3）應用物理學專業，主要培養的是無損檢測方向，后續課程涉及到少量信號處理的知識，要求了解頻譜的概念；其后續的《聲學》課程對常微分方程和波動方程有較高的要求；后續的《渦流檢測》以及《磁粉檢測》涉及到一些波動方程與泊松方程。

4、復變函數與積分變換部分的內容設計

按照本文前面的描述，這部分內容的終極目標是讓學生理解頻譜的概念；理解極點的概念；理解積分變換在求解線性微積分方程中的應用，從而了解積分變換在線性系統中的應用。下面我們從課程目標倒推我們需要講授哪些概念：

1）為了學習傅里葉變換與拉普拉斯變換，需要復習高數中的傅里葉級數，需要學習一些復積分的知識。

2）為了理解拉式逆變換的積分公式，需要學習留數定理。

3）為了學習留數定理，需要了解復變函數以及復變函數的洛朗展開。

4）所有涉及復變函數、復級數、復積分的知識，都需要復數的加、減、乘、除、乘方、開方運算。

基于上述由課程目標倒推所得到的結論以及學生的高等數學基礎，我按照24-32課時設計復變函數部分的教學大綱如下：

1）復習復數的概念，掌握復數的加、減、乘、除、乘方、開方運算。

2）掌握復變函數的概念、復變函數的導數、解析函數的概念、奇點的概念。

3）理解復積分的含義，以及連通區域的柯西積分定理。但是不學習柯西積分公式。

4）理解復函數的冪級數展開。由于不學習柯西積分公式，所以不能用它導出復函數的級數展開。復函數的級數展開應該將高等數學的泰勒展開公式直接拿來應用，并簡單的說明差異。

5）了解復函數的洛朗展開。不應該證明洛朗展開的定理，而是從冪級數展開直接拓展。例如通過sin（z）的級數展開，直接寫出sin（z）/z、sin（z）/z2等函數的洛朗展開，進而說明洛朗級數的形狀特點，以及奇點的分類。只要求學生了解函數在奇點鄰域內可以展開為洛朗級數以及奇點的分類，不要求學生能夠做具體函數的洛朗展開。

6）在了解洛朗級數的形狀之后，理解確定奇點類型的幾個規則。

7）通過將復函數的圍到積分轉化為洛朗級數的圍到積分，得到留數的概念以及留數定理。理解計算留數的幾個規則。

8）復習傅里葉級數，理解頻譜分解的思想。

9）理解傅里葉變換的定義，以及頻譜分解的思想。能夠計算最簡單函數的傅里葉變換。

10）理解拉普拉斯變換的定義，能夠計算簡單函數的拉氏變換。

11）理解拉氏變換的性質，能夠通過查表方法計算拉式逆變換。

12）理解拉氏變換求解一階振動系統和交流電路。

5、數學物理方程部分的內容設計

這部分內容更為龐雜，筆者還沒有特別滿意的處理方式。暫且提出初步的想法，與各位同行探討：

1）重點講述波動方程的建立，次重點講授泊松方程的建立，不講授熱傳導方程。要求學生理解方程的建立過程，不要求學生自己建立方程。

2）闡述方程的定解條件，要求學生理解，不要求學生自己書寫。

3）重點講授行波法，突出強調波的“傳播”思想，讓學生能夠辨認左行波、右行波、波速這三個要素。

4）直接寫出三維各向同性的波動方程，學生應該能夠辨認出各向同性發散波與各向同性匯聚波。

5）重點講授一維齊次弦振動方程的求解，與力學中的駐波做對比，與傅里葉分解做對比，強調特征頻率的概念，強調諧波疊加的概念。不講授非齊次方程，不講授非齊次邊條件。

6）講授二維圓域內的拉普拉斯方程求解，寫出其通解的級數形式，要求學生能夠根據徑向邊界條件確定疊加系數。

7）教師演示球坐標中求解拉普拉斯方程的過程，學生需要理解軸對稱形式的方程通解，能夠根據徑向邊界條件確定疊加系數。

8）了解勒讓德函數，不要求理解生成函數以及性質。

9）教師演示柱坐標下拉普拉斯方程的求解，學生了解貝塞爾方程以及貝塞爾函數的記號。

10）教師演示波動方程的分離變量法求解，得到亥姆霍茲方程。教師直接寫出亥姆霍茲方程在柱坐標以及球坐標中的通解形式，學生了解即可。

6、不足之處與尚未解決的問題

1）從泰勒級數直接過渡到洛朗級數，學生還是有接受心理障礙，需要通過提升教學技巧來化解。

2）狄拉克δ函數還未有很簡潔的處理方法。

3）一維波動方程的行波法和分離變量法教授較為成熟，但是高維曲線坐標中的分離變量法還未有很好的處理技巧。

4）曾經設想的用MATLAB中的工具箱DTOOLS數值求解方程，因為課時限制以及輸入邊界條件的難度，只講授過一次，沒有堅持下來。

全國教指委項目：應用型工科專業的數理方法課程內容體系研究與實踐（JZW-15-SL-06）

參考文獻

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[5]楊孔慶.數學物理方法[M].北京：高等教育出版社.2012.12

[6]臧濤成，馬春蘭.數學物理方法[M].北京：高等教育出版社.2014.9

作者簡介：

邢秀文（1979），男，北理工珠海學院物理講師，碩士研究生，從事大學物理教學，研究聲波無損檢測以及射線無損檢測。

（作者單位：北京理工大學珠海學院 數理與土木工程學院）