基于核心素養下高中學生數學運算能力培養初探

許碧玉

【摘要】核心素養是學生在成長發展過程中必須具備的一個重要元素，對學生的學習與發展至關重要。其中，數學中運算能力是數學核心素養之一。然而，高中階段學生運算能力低下是學生數學成績和素養提升的瓶頸。現就教學中如何提升學生的運算能力，提升學生的數學核心素養，提高學生的數學學習成績等方面進行論述。

【關鍵詞】高中;數學運算;核心素養

《高中數學課程標準2017年版》（下稱《課程標準》）對高中數學知識體系進行了新的定位和分類，對課程的結構進行了新劃分，取消了文理分科。但不管怎么改革，其中貫穿的數學核心素養依然不變。明確地給出了數學學科核心素養的六個主要方面，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析，并從概念的界定、及其在數學與生活中的作用和意義方面進行了描述。

同時，《課程標準》對數學運算的解釋是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程。主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等。

筆者所在的學校是一所完全中學，普遍學生學習數學的積極性不高，學生的數學水平大概在全市40%的位置。筆者經常思考50%-60%的學生該如何上好這數學課？因為很多學生在課堂上，基本的概念和知識通過老師的引導和講解都能掌握，而在解題過程中既慢又經常出錯，數學運算成為學生學習成績提升的瓶頸。

如，在習題課的講評中，老師除了要引導學生對題目所涉及到的知識點進行分析和梳理，還需要對題目中的運算花大量時間去板演和講解。若把計算過程留給學生，既能讓學生訓練又能節省課堂的時間，可是學生花在運算上的時間是個無底洞，經常學生沒能求得正確運算結果，該節課的教學內容完成不了。幾節課下來，既要引導學生梳理知識點又要板演解題過程，學生也就真的是在“聽課”了。這樣一來，學生的“瓶頸”解決不了，還可能越走越遠。

那么，在教學中如何提升學生的運算能力，提升學生的數學核心素養，提高學生的數學成績呢？

一、掌握運算法則，理解運算對象

運算能力的培養與發展是一個長期的過程，應伴隨著數學知識的積累和深化，從簡單到復雜、從具體到抽象，有層次的發展。只有掌握了運算法則，理解運算對象才能提升運算的能力。

例如，高中數列求和方法中的“裂項相消”，在數列這一知識板塊中是比較基礎的，要求學生一定要熟練掌握。但是，當課程結束后，過段時間進行測試時，發現很多學生不會運用這個方法進行解題。究其原因就是沒能掌握運算法則，理解運算對象。

例：已知數列的前n項和為，且，求。

解：? ……①

……②

一部分學生在第一步向第二步化簡的過程中不能解答。其實，該題只是利用初中的知識點“分母有理化”，將

很明顯，此類題目特別要求學生對分母有理化方法的熟練掌握，并且形成如果通項公式的對象是分母為無理數時，首先應考慮分母有理化，完成化簡后自然就水到渠成了。

教學感悟：對于這樣的運算，學生不能熟練運用 “分母有理化”，那就成為解決這類題型的一個瓶頸。但為了保證能夠完成教學任務，不可能花時間在這一方面的訓練。所以，在初高銜接過程復習中，這一知識點的教學就應該讓學生做適量的有效的訓練，使得學生在看到分母為無理數時就先考慮有理化成為一種“數感”，牢記在心。這樣才能在熟悉的數學情境中了解運算對象，形成最合適的運算思路，進而解決實際問題。

二、探究運算方向，選擇運算方法

在高中數學中，對學生的運算教學已經不是重點，但是不少題目的運算量卻是挺大也難（如，解析幾何、函數與導數等），這好像相互矛盾。針對高中很少在課堂上重點講解運算過程或是訓練運算，但是學生的運算能力一直是考查的目標之一。因此，筆者認為，必須引導學生探究運算方向，選擇好運算方法，才能更好地提升學生的運算能力，形成學生的數學核心素養。

例：（2015年高考全國卷1）在平面直角坐標系xOy中，曲線與直線交于M，N兩點.

（1）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程;

（2）問：y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有？說明理由.

解：（1）略.

（2）假設存在點P（0，p）使得命題成立，即有.設直線PM、PN的斜率分別為k1，k2則有k1+k2=0，設點， ， 同理可得? .

聯立方程： 消去y，可得

顯然當a>0時，.

則由韋達定理可得：

，? .

=0.

. ……①

. ……②

. ……③

-8ak+（a-p）4k=0.

∴k（p+a）=0.

解得p=-a或k=0（顯然成立）.

∴存在點P（0，-a）使得命題成立.

以上題目，單獨從知識點來講，難度應該是中檔略偏低，然而這類題目的運算往往成為不少學生的攔路虎，究其原因就是運算過程中的步驟①②③。縱觀眾多學生的解答過程主要出現以下的問題。

其一，未能真正理解解析幾何運算的基本原則是盡量減少未知數的個數，不懂得將四個未知數減少成兩個未知數。即，未能將 ， 進行變形，真正理解掌握“設而不求”。

其二，未能明確運算方向，選擇恰當的運算方法。如在步驟②中，部分學生會全部展開成： 未能明確運算途徑應該借助“韋達定理”。而且往往會這樣運算的學生，他們是比較盲目地見括號去括號，為了計算而運算，心中沒有明確的目標，所以也就很難再想到提公因式法運算至步驟③。

教學感悟：正確的運算方向應該是借助“韋達定理”，保留x1+x2，，最后再利用韋達定理代入化簡可得。可見，培養學生明確各類題型的運算方向，就能夠針對運算的問題，選擇正確的運算方法設計運算程序，從而解決問題。

三、設計運算程序，求得運算結果

《課程標準》指出能夠用程序思想理解和表達問題，理解程序思想與計算機解決問題的聯系是核心素養之數學運算的最高水平。因此，設計運算程序，自然要運行程序框圖。

例，《九章算術》中的“兩鼠穿墻”問題為“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”可用下圖所示的程序框圖解決此類問題。

現執行該程序框圖，輸入的d的值為130，則輸出的i的值為（? ? ）.

（A）5? ? （B）6? ? （C）7? ? （D）8

分析：從問題的描述可知，這是一個“合作完成工程”問題，可以轉化為大鼠和小鼠兩鼠的“工作量”之和。程序框圖中變量x表示大鼠當天的工作量，變量y表示小鼠當天的工作量，變量S表示兩者工作量之和，顯然兩鼠工作量構成等比數列。

變量x：

變量y：

變量S是兩個等比數列的前n項和

∴S﹤130時，n的最大值為7，但還是進入循環體一次，所以計算得到i=8。故選D。

但在實際解答中，不少學生選擇了C選項。主要原因是讀不懂程序框圖的意思，無法正確理解程序所表達的運算。在數學運算上思維不夠嚴密，對運算的范圍不夠了解。

教學感悟：學生在設計或是閱讀程序過程中，能夠用程序思想理解和解釋問題是解題的關鍵。

近年來，經過教學實踐，筆者大膽嘗試運用多方形式對學生進行引導和訓練，使學生在學習中嘗到了樂趣，在競爭中學習動機得到提升，收到突出的教學效果。今年所帶高三文科數學，以文科班（7）班的數據為樣本統計如下：

總之，數學運算是數學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段。數學運算之于計算機可以說是CPU，數學運算之于學生是解題過程的一個路徑，是決定學生能不能到達巔峰，決定學生在這一過程所用的時間及結果的正確性。事實證明，在高中數學運算教學中，運用多方形式對學生進行引導和訓練，讓學生能夠進一步發展數學運算能力，有效地借助運算方法解決實際問題，通過數學運算促進數學思維的發展，養成程序化思考問題的習慣，形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，這對于提升學生的數學核心素養，提高學生的數學學習成績，促進學生全面發展意義重大。

當然，高中數教學中提升學生的運算能力，提升學生的數學核心素養，提高學生的數學學習成績是一個復雜而系統的工程，不是一朝一夕的事情，還需要在實踐中不斷探索、總結，才能取得更好的效果。

參考文獻：

[1]教育部.高中數學課程標準2017年版[M].人民教育出版社.