從一道題談幾何教學的幾點思考

鹿建國

【摘要】數學的學習離不開解決問題，典型題目不僅能起到“做一個，通一類”的示范作用，而且還能從中發掘出更多拓展價值。每位教師都應該積極探索有助于提高學生能力的教學模式。從復雜的圖形中抽離出基本圖形、強化數學概念的教學，可以讓數學教學的重心從單一的解題訓練真正轉移到對核心素養的培養中來。本文從重現題目、分析題目、思考題目三方面，以實際數學題目總結了幾何教學的一些具體方法，希望能給各位教師帶來啟發。

【關鍵詞】分解圖形;幾何教學;核心素養

一、重現題目

（廣東省珠海市香洲區2016-2017學年第一學期初三數學期末考試第24題）如圖1，菱形ABCO的頂點A、B、C在⊙O上，點E、F分別在AO、CO的延長線上，且EO=FO=2AO。連接EF，點G為EF中點，OF交⊙O于點M，點H在BC延長線上。CD平分∠GCH交⊙O于點D，OD交CM于點N，CG交AF于點K，交OD于點T。

二、分析題目

此題目的綜合性很強，考查了特殊四邊形的性質及判定、圓周角定理、垂徑定理、切線的判定與性質、角平分線的性質、等邊三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理等知識。本題對學生閱讀文字和圖形的能力要求很高，推理思路容易走偏，推理過程比較煩瑣，難度較大。

學生在答題時出現的常見問題有兩點：（1）誤以為點G在圓上，第二問只證明了OG⊥EF，就認為EF為⊙O的切線;（2）不知道如何運用題目所給的“CD平分∠GCH交⊙O于點D”這一條件，計算不出特殊角。

三、思考題目

1.庖丁解牛——分解圖形

本題是典型的積木式題型，每個小問題都可以看成是圖形的疊加，可以拆分出許多簡單圖形。由于題目中已知四邊形ABCO為菱形，且已經與圓構成了唯一、特殊的位置關系，所以第一小問在圖2的圖形上就可解答;在第一問的基礎上，只需要增加條件EO=FO=2AO，固定了點E、點F的位置，就能固定了線段EF的位置。第二小問在如圖3的圖形上就可解答，而點G為EF中點起到了降低難度的作用。這樣，原本非常復雜的圖形根據題干的描述和問題的需要就可以變成簡單的圖形。

在平面幾何的教學過程中，教師要重視培養學生分解圖形的能力，特別是對基本幾何圖形進行辨識、提取、變形、拓展的能力，引導學生學會從復雜圖形中分離出所需的簡單圖形，能夠根據圖形的基本特征把陌生的幾何圖形轉化為熟悉的幾何圖形。這種分解圖形的能力不是與生俱來的，需要教師有針對性地開展訓練，學生在經過了一定量的練習后才能實現。教師應使學生通過題目文字的敘述體會圖形的生成過程，明白圖形元素——點、線、面產生的先后順序，也就是常說的“父子關系”，還要使學生能準確地分辨圖形之間的制約關系，從而分解成僅含有必要條件和必要圖形信息的簡單圖形，去掉多余條件和圖形元素的干擾，這樣更容易找到解決問題的途徑。例如，在圖2中，因為僅有菱形和圓，學生只需思考菱形的性質與圓的性質，把兩者結合在一起，解決問題自然水到渠成了。

2.追本溯源——概念教學

《義務教育數學課程標準》關于圓的切線這部分內容是這樣描述的：“了解直線和圓的位置關系，掌握切線的概念。”不難看出，《義務教育數學課程標準》要求學生掌握切線的概念，但問題就出在學生沒有充分地理解圓的切線的概念，而是把重點放在了記憶證明切線的具體方法上。而且在題目的數量方面，“證垂直”的題目遠遠多過于“證半徑”的題目，這導致學生只要見到證明切線的題目，就會不由自主地選擇“證垂直”。當直線和圓有唯一的公共點時，叫直線和圓相切。這時，我們就要保證直線與圓有交點且唯一，圓心到直線的距離要等于圓的半徑，其中，“距離”和“相等”兩個條件缺一不可，缺少“距離”這一條件，則可能出現兩個交點，如圖4。缺少相等有可能兩個交點或無交點，如圖5、圖6，二者缺一不可。

在日常教學中，教師容易產生這樣的疑問：為什么講過的題目學生沒過多久就會忘了，同一個題目稍微變式就不會，歸其源頭在于學生對概念的掌握不深刻、不牢固，學生沒有真正學會知識點，并將其內化到自己的知識體系中。對于數學概念的學習在任何學段都極其重要，它是所有定理、法則的邏輯基礎，是知識本質的體現，是所有方法、技巧的原始依據。所以，無論是概念教學或是概念學習，我們都應該引起足夠的重視。概念的教學要具有科學性，對于概念的引入要自然，要建立在學生原有的認知水平之上;概念的形成要系統，要重視新舊知識的聯系，讓新概念快速添加到學生的知識結構中;概念的辨析要明確，教師要對概念涉及的要素進行分解，對易混淆的內容進行分辨，使學生準確地掌握概念;概念的應用要典型，要通過有針對性的應用加深學生對概念的理解，使學生總結出更多靈活多變的技能與方法。

3.返璞歸真——核心素養

通過觀察圖形和分析題目可以發現，本題主要考查的是等腰三角形的性質，圓僅僅是題目呈現的載體。利用圓半徑相等可以得到幾組線段相等，如果把圓去掉，直接給出線段相等的條件就會發現，這個圖形實際上是由許多含有特殊角的等腰三角形（包括等邊三角形）搭建組成的。第三小問實質上考查了三角形重心的性質——重心把中線分為2∶1的兩條線段。如圖1，由于△OCM是等邊三角形，那么TN的長就是CK（三線合一）長度的三分之一，這樣即可得到答案，剩下的思考只是通過角度的運算證明CG⊥OK。

數學核心素養包含數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六個方面，它的提出標志著數學教育目的從單一的解決題目徹底轉變為提升學生的數學能力。這是數學教育的一個很大進步，使數學教育的能力要求更加明確，彰顯了數學教育本質的具體要求。幾何證明過程體現了學生的邏輯推理能力，需要學生用純粹的數學語言描繪現象與規律;基本圖形體現了學生的數學建模思想以及從復雜圖形抽離出基本圖形、用基本圖形組合為熟悉圖形的能力;圖形變換也體現了學生直觀想象、感知圖形的運動與變化的能力等等。因此，教師在教學設計和教學過程中要給學生提供更多的探究機會，加強學生的動手實踐能力，發展學生的創新思維。

總之，題目千千萬，學生只有掌握了其內在聯系，憑借平時的積累形成的圖感、數感和題感，才能準確地找到思維的入口，化復雜于簡單，化未知于已知。因此，教師要重視對概念的教學，立足課堂陣地，積極培養學生的數學核心素養。

【參考文獻】

胡玉華.初中數學核心素養培養的思考與實踐[J].數學學習與研究，2018（06）：34.

張進.以中考幾何題為例淺談解題教學核心素養[J].數理化學習，2018（10）：56-57.