以立體幾何教學為例談理性精神的培育

丁益民

摘要：數學教學中，讓學生充分感受數學的理性精神所煥發的魅力是極有價值的。為此，要引導學生對數學知識的本質進行理性認識，還要通過一系列活動讓數學的理性精神成為提升學生核心素養的教育之源。以立體幾何教學為例，說明相應的策略有：把握認知的邏輯主線;經歷定理的發現過程;經歷概念的似真建構。

關鍵詞：理性精神 立體幾何 認知主線 定理發現 概念建構

M.克萊因在其著作《西方文化中的數學》中寫道：“人們開始靠理性，而不是憑感官去判斷什么是正確的。正是依靠這種判斷，理性才為西方文明開辟了道路。因此，古希臘人以一種比其他方法更為高超的方法，清楚地揭示了他們賦予了人的理性力量以至高無上的重要性?！边@段話揭示的是數學的理性精神對人類文明的影響。理性精神是數學區別于其他學科的顯著特征。數學教學中，讓學生充分感受數學的理性精神所煥發的魅力是極有價值的。為此，要引導學生對數學知識的本質進行理性認識，還要通過一系列活動讓數學的理性精神成為提升學生核心素養的教育之源。下面，以立體幾何教學為例，談談筆者的做法。

一、把握認知的邏輯主線

在義務教育階段，學生對立體幾何知識的認識僅僅局限于感性層面，因此，幫助學生形成理性認識是高中立體幾何教學的重要目標。教材首先通過“運動”的方式（點動成線，線動成面，面動成體）讓學生感知幾何體的生成，然后通過投影、直觀圖等方式將幾何體“表達”出來。很顯然，這些認識依舊停留于直觀的感性層面。學生的認知通常是由簡單到復雜、由低維到高維的過程，立體幾何知識的學習，要經歷“線線關系→線面關系→面面關系”的路徑，這就是學生認知的邏輯主線。整個立體幾何教學的設計與實施都應該沿著這條主線進行，始終保持教學組織的邏輯連貫性與前后一致性。在這條主線下，每次認知維度的提升都需要原有的認知維度來支撐，也都需要借助或回到原有維度的思維模式進行新的思維活動，逐步提升空間想象能力和邏輯推理能力。

比如，教學“平面的基本性質”，通常的順序是：公理1→公理2→公理3及其三個推論。實際上，這樣的教學順序對學生的認知和抽象能力要求都比較高。學生最初接觸平面的概念時，更多的是一種淺顯、模糊的印象表征。若從公理1切入，則是讓學生在淺表抽象的基礎上進行更為復雜的抽象活動，這樣必然增加認知的難度。實際上，三個公理的功能就是刻畫歐氏幾何中點、線、面的關系，點與面、線與面、面與面的關系分別對應公理3、公理1和公理2。有了這樣的認識，就可根據邏輯主線進行教學重組：讓學生先明白如何從理論上去確定一個平面，在此基礎上進一步去研究直線與平面、平面與平面的相互關系，從而使認知活動從低維到高維拾級而上。于是，三個公理的教學順序變為：公理3（三點）→推論1（點與線）→推論2、3（線與線）→公理1（線與面）→公理2（面與面）。調整后的教學順序體現了認知的邏輯屬性，清晰地鋪設了由低維到高維的認知路徑，使學生對平面性質的理解是具有邏輯支撐的理性認識。

二、經歷定理的發現過程

定理教學是立體幾何教學的重要內容，但是很多教師對其重視不夠，“一個定理，幾點注意”的現象不在少數。定理發現過程的缺失，直接影響了學生對定理的完整認知。

筆者曾經做過一個調查測試。測試題目如下：

如圖1，表示以矩形ABCD為底面的長方體被一平面斜截所得的幾何體，求證：截面四邊形EFGH為平行四邊形。

測試對象為學習了立體幾何知識的學生。測試結果是，一半以上的學生沒有思路，想不到運用面面平行的性質定理來解決。究其原因，正是學生在構建定理時幾乎沒有經歷理性的發現過程，取而代之的是教師的直接灌輸。

因此，在教學中，要多一些讓學生自主參與定理發現過程的機會，即便他們發現的“定理”不完全正確甚至錯誤，也無妨。只有讓學生真切地經歷定理的發現過程，充分暴露定理的探索過程，他們才能在探索中逐步認識到數學知識的內核，體會到數學學習的樂趣。這正是數學理性精神的意義與價值，也是齊民友先生所提倡的數學要體現“徹底的理性探索精神”。

為此，教學“面面平行的性質定理”時，可以設計這樣兩個問題：

問題1兩個平行平面有哪些性質呢？

讓學生獨立思考，小組討論，然后匯總展示小組成果：（1）已知兩個平面平行，則一個平面內的任意一條直線都與另一個平面平行;（2）已知兩個平面平行，則分別在兩個平面內的兩條直線平行或異面;（3）已知兩個平面平行，則和其中一個平面平行的直線和另一個平面平行或包含在另一個平面內;（4）已知兩個平面平行，則和其中一個平面相交的直線也和另一個平面相交;（5）已知兩個平面平行，則和其中一個平面平行的第三個平面也和另一個平面平行;（6）已知兩個平面平行，則和其中一個平面相交的平面也和另一個平面相交;（7）已知兩平面平行，第三個平面與這兩個平面相交，則兩條交線平行……這些性質的獲得與呈現具有一定的思維線索（認知邏輯）：從平面內的直線到與平面平行的直線，到與平面相交的直線，再到與平面平行的平面，最后到與平面相交的平面以及有關的交線。如果學生的基礎較差，不能獲得這些性質，教師可以依據這樣的思維線索進行引導。

問題2你準備選擇哪個性質作為兩個平面平行的性質定理呢？

讓學生分組證明一下這些性質，并引導學生分析證明過程，觀察這些性質之間的關系。學生能得到結論：性質（1）和性質（2）可以由平行的定義獲證，而從性質（3）到性質（6），每個證明過程都需要用到性質（7）。因此，性質（7）是最基本的性質，將它作為兩個平面平行的性質定理是最合理、科學的。

這兩個問題的解決，不僅有助于學生從整體上建構數學知識，更重要的是讓學生在數學建構中真切地感悟到數學的理性精神——這種理性精神體現為，數學知識不是事實的逐一堆砌，而是具有層次結構、邏輯關聯的有機整體。

三、經歷概念的似真建構

一些數學概念的產生經歷了漫長的歷史過程，因此，其抽象程度可想而知，要讓學生在短時間內進行自主建構是不大可能的。為幫助學生進行有意義的概念建構，從而體會其中的理性精神，教師可對概念產生的歷史過程進行意義提取、適度整合，再對其中的某些片段進行模擬，讓學生嘗試從數學家的視角進行似真的建構。學生在與歷史相似的模擬情境中，產生認知的原動力，學習數學家的思維方式，形成理性的思維。這樣的數學學習不僅是“意義賦予”，更是一種“文化傳承”的過程。

比如，教學棱柱概念時，很多學生認為“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫作棱柱”這樣的定義是正確的。這樣的定義與歐幾里得的《幾何原本》中的棱柱定義幾乎一致，并且在長達2000多年的時間里都被認為是正確的，但它其實是錯誤的。教學中，可以讓學生似真地經歷棱柱定義的發生與發展過程，糾正錯誤的認知，理性地建構棱柱概念。具體可以設計如下三個活動：

活動1：嘗試用自己的語言給棱柱下定義，并以小組為單位進行交流討論，然后對定義進行歸類總結（結果見表1）。

活動2：辨析各種棱柱“定義”的嚴謹性。

先呈現如下頁圖2所示的多面體來否定“定義”1。再呈現如下頁圖3所示的多面體來否定“定義”2。

同時，介紹有關的數學史：

歐幾里得在《幾何原本》第11卷中最早給出棱柱的定義：“一個棱柱是一個立體圖形，它是由一些平面構成的，其中有兩個面是相對的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四邊形?！庇捎跉W幾里得的影響，2000多年里，人們都沒有懷疑過歐幾里得的定義。直到1916年，美國數學家斯頓等人才發現該定義是錯誤的，并且舉出了一個經典的反例。

接著，通過分析讓學生認識到，“定義”3和“定義”4都關注了側棱的特征對棱柱的影響，“定義”5則從運動的角度定義了棱柱。同時，指出這也具有歷史相似性，并且適時介紹有關史實。

最后，總結歷史上棱柱定義經歷的三個階段：（1）歐氏定義一統天下;（2）歐氏定義的改進;（3）動態定義的產生。

活動3：準確運用底面、側面和側棱的特征，獲得人教版教材上的定義（有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體）;通過運動的方式，獲得蘇教版教材上的定義（由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體）。

教材在編寫時常常按照數學知識的邏輯體系進行，而這種邏輯體系下的知識呈現與歷史真實的發展過程可能存在著不一致——弗賴登塔爾稱之為“教學法的顛倒”。也就是說，按照教材體系進行的學習活動是把學習當成純粹的邏輯推理展開的。這時，學生在進行數學建構時的那種直覺、猜想、試驗等過程都會被淡化與隱藏——顯然，在這樣的過程中，學生很難體會到數學家的思維歷程，學生的思維完全被教師的講解與引導代替，學生只能支配低效的碎片化思維，很難體會數學的理性精神。

上述教學設計對數學史知識進行了簡化與整合，以幫助學生自主建構棱柱概念：教師運用歷史相似性對其中蘊含的思維進行“解密”，讓學生認識到棱柱概念的形成經歷了漫長的歷史;概念的形成是最接近歷史客觀事實的建構過程。

最后，需要特別指出的是，立體幾何教學應該以數學的邏輯嚴謹性為前提，遵循公理化規則和認知的規律，為學生設計從感性到理性循序漸進的學習過程，讓學生逐步形成公理化體系下完整、連貫的邏輯思維能力，進而形成嚴謹的科學態度和必要的理性精神，這樣才能提升學生的數學核心素養。

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃課題“高中數學課堂教學中滲透數學文化的案例研究”（編號：Cb/2018/02/34）的階段性研究成果。

參考文獻：

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[5] 張乃達.數學：數學文化背景下的思維活動——由一個教學個案引起的思考[J].中學數學月刊，2009（2）.