數(shù)形結(jié)合、對(duì)應(yīng)思想方法在 《分?jǐn)?shù)除法》教學(xué)中的嘗試

胡澤聞

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)文化的高度凝練，是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，是數(shù)學(xué)活動(dòng)中需要不斷滲透、不斷強(qiáng)化的行動(dòng)指南。本文試圖以《分?jǐn)?shù)除法》中的問題解決為載體，將數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)實(shí)踐中無(wú)痕滲透，突出一一對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等核心數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)活動(dòng)中的自然流露，達(dá)到“清水出芙蓉，天然去雕飾”的純凈、醇美，突出數(shù)學(xué)思想方法在基礎(chǔ)教育教學(xué)中的重要性。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；思想方法；一一對(duì)應(yīng)；數(shù)形結(jié)合；逐步推演

在小學(xué)《分?jǐn)?shù)除法》單元教學(xué)中，為了深入理解分?jǐn)?shù)除法的意義，我們常常將日常生活中的出油率、汽車單位行程內(nèi)的油耗問題引入探究訓(xùn)練程序。在實(shí)際教學(xué)中，教師發(fā)現(xiàn)受教材編排體系的限制（百分?jǐn)?shù)單元編排在分?jǐn)?shù)乘除法單元后），學(xué)生尤其在解決出油率和單位數(shù)量的油需要多少原料問題時(shí)，出現(xiàn)思維障礙和解題困惑，有的教師讓學(xué)生公式化的記取解題精要和答題妙招，以期待后面學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)理解出油率意義后再來(lái)“反芻”式思考，進(jìn)而融會(huì)貫通。

實(shí)例一：一輛汽車分鐘勻速行駛了千米，照這樣計(jì)算。請(qǐng)問（1）汽車每分鐘行駛多少千米？（2）汽車行駛1千米需要多少分鐘？

基于解題經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)積累，學(xué)生對(duì)問題（1）能很好地運(yùn)用“速度=路程÷時(shí)間”加以解決；對(duì)于問題（2），學(xué)生解題主要集中在兩種思路上。其一，運(yùn)用一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，把它看作平均問題來(lái)解，解答列式為：÷=（分鐘/千米）；其二，有的學(xué)生理解為“汽車行駛千米”對(duì)應(yīng)“用時(shí)分鐘”，而1千米是千米的倍，因而汽車行駛1千米的時(shí)間就是“分鐘的倍”，即×==（分鐘）。

上述方法二思考解答過程，我們可以用簡(jiǎn)圖呈現(xiàn)如下——

然后，左側(cè)“千米數(shù)”千米用“放大法”×就變?yōu)椤?千米”，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，右側(cè)“時(shí)間”也該隨著行走路程對(duì)應(yīng)變化，因此汽車行駛1千米的對(duì)應(yīng)時(shí)間就是“分鐘的倍”，即×==（分鐘）。

實(shí)例二：噸油菜籽可以榨菜籽油噸，則（1）1噸這樣的油菜籽可以榨菜籽油多少噸？（2）要榨1噸菜籽油需要這樣的油菜籽多少噸？

教學(xué)實(shí)踐表明，將這兩個(gè)問題單獨(dú)分開研究，學(xué)生答題正確率較放一起研究解答要高。一線教師不免納悶，難道出現(xiàn)了“兩只鐘表”現(xiàn)象？可事實(shí)就那么冷冰冰的擺在那里。對(duì)此，筆者在教學(xué)實(shí)踐中采用了“一一對(duì)應(yīng)”+“簡(jiǎn)單示圖”來(lái)反映思維的邏輯漸進(jìn)演繹過程，收到了滿意的教學(xué)效果。

一、明確相關(guān)信息及問題所求

二、引導(dǎo)思考，提出方案

（教師）作為數(shù)學(xué)問題，我們用數(shù)學(xué)方法加以研究，同學(xué)們認(rèn)為噸油菜籽經(jīng)歷怎樣的變化可以變?yōu)?噸呢？學(xué)生主要提出了三種想法和方案：（方案一）在原有基礎(chǔ)上增加噸油菜籽；（方案二）用放大法將噸油菜籽擴(kuò)大到它的倍；（方案三）將噸油菜籽除以，…

三、方案可行性研討

方案一：在原有基礎(chǔ)上增加噸油菜籽

增加的噸油菜籽是噸油菜籽的，噸油菜籽對(duì)應(yīng)可榨出噸菜籽油的，因而1噸油菜籽可以榨油+×=（噸）。曲徑通幽，教師此時(shí)沉浸在學(xué)生這種嚴(yán)整的邏輯推演的喜悅中。

方案二：放大法，示圖反映思維過程如下：

將左側(cè)原料油菜籽的噸油菜籽×放大到1噸，那么榨出的菜籽油對(duì)應(yīng)的增加到噸菜籽油的倍，列式為×=（噸）。

方案三：將 噸油菜籽除以

經(jīng)歷了方案二的示圖推演過程，學(xué)生一個(gè)個(gè)受到啟發(fā)，早已急不可耐地靈動(dòng)起來(lái)。

學(xué)生給出的解答依據(jù)顯得格外的理直氣壯，左側(cè)的油菜籽經(jīng)歷 ÷的運(yùn)算過程可以變化為1噸，那1噸油菜籽自然對(duì)應(yīng)可榨出÷=×=（噸）。

四、回望梳理，尋找聯(lián)系

（教師）三種方案都能有效解決“1噸油菜籽可以榨出多少噸菜籽油”的問題，三種方案之間是否存在某種聯(lián)系呢？

方案一的解答式+×，運(yùn)用乘法分配律可以轉(zhuǎn)而變形為×（1+）= ×，即方案二的解答式；而方案三的解答式與方案二的融合相通早已在探研過程中得到體現(xiàn)。行云至此，課室內(nèi)掌聲響起，不約而同，為數(shù)學(xué)活動(dòng)的暢快，為數(shù)學(xué)魅力折服，也為跳動(dòng)的思維綻放的異彩。

五、解法優(yōu)選，遷移固化

教師趁著思維的熱度向?qū)W生發(fā)起追問，你認(rèn)為問題（2）能否參照問題（1）的解決方案進(jìn)行，你覺得哪種方案最簡(jiǎn)潔？調(diào)查數(shù)據(jù)表明方案三為絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)可。在此基礎(chǔ)上，教師又補(bǔ)充了一道訓(xùn)練題：在一次汽車質(zhì)量檢測(cè)中，一輛小汽車行駛了千米，耗油升。請(qǐng)問：（1）1升汽油可支持這輛小汽車行駛多少千米？（2）這輛小汽車行駛1千米大約需要耗費(fèi)多少升汽油？明白了算理算法的學(xué)生行動(dòng)特別迅速，滿臉自信、從容。

六、兩點(diǎn)思考與啟示

1.類似這樣的實(shí)際問題一方面通過逆向思維訓(xùn)練，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生定向研究和有效思辨的思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)品質(zhì)，極大地活躍和發(fā)散學(xué)生思維活動(dòng)；另一方面，從縱深看這類問題是正比例函數(shù)的雛形和啟蒙，一定程度上我們?cè)跒閷W(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)蓄積感性認(rèn)識(shí)材料，因此我們完全可以策應(yīng)黃愛華老師提出的大問題教學(xué)觀，將這類實(shí)際問題大膽前移到小數(shù)除法部分去，引導(dǎo)學(xué)生在探究中積淀，在經(jīng)歷中思考、感悟和升華。按照課程改革提出的前后連貫、一脈相承、螺旋上升，做好基礎(chǔ)教育教學(xué)實(shí)踐工作。

2.教學(xué)是慢的藝術(shù)，有人把基礎(chǔ)教育比作“牽著蝸牛散步”的事業(yè)。在這類問題的探究實(shí)踐中，教師借助“形”的直觀和神韻有效溝通和推演數(shù)量之間的微妙聯(lián)系與變化，引導(dǎo)學(xué)生用一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法逐層深入，一步步逼近和解開現(xiàn)象背后的真實(shí)。讓學(xué)生體驗(yàn)到“尋尋覓覓，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的心路歷程和絕美佳境。誠(chéng)如華老所言：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。用好數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)等核心數(shù)學(xué)思想方法、可以讓我們的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)更好地服務(wù)于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成、發(fā)展和提高。

參考文獻(xiàn)：

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