淺談反例在高中數學教學中的作用

吳長偉

關鍵詞：高中數學教學 ?反例 ?應用

反例，顧名思義，就是刻意變換事物的本質屬性，從事物的反面突出事物的性質的例子。在邏輯學中，反例是相對于某個全稱命題而言的。而在數學中，反例是指使某個命題不成立的例子，它是對命題而言的。反例在發現和認知數學真理，強化數學基礎的理解和掌握，以及培養學生的思維能力和創造性技能起著不可低估的意義和作用。

一、反例在中學數學教學中的應用

數學教學中所謂的反例就是教師在教學過程中針對某一教學知識點而列舉出一個符合題干而不符合命題結論的特例。這一特例，能夠很好地從事物的反面突出事物的屬性。因此，反例在數學教學的很多方面都有應用。

（1）反例在學生理解定理和性質中的應用。學生在學習一個新的定理或性質時，往往出現混淆或者忽略一些關鍵性詞語，為了克服這種現象，教師可以適的當引入反例，幫助學生進行記憶，從而達到掌握定理和性質的目的。

學生學習一個新的定理或性質時，往往是在關鍵詞上出現忽略，從而出現解決問題的錯誤。為了克服這種現象，教師應該知道如何在教學中構造反例，幫助學生記憶關鍵詞，正確認識和運用定理與性質。

（2）反例在學生理解公式和法則中的應用。學生在學習有關數學公式、法則時，常常會忽略公式、法則的使用范圍，生搬硬套，造成方枘圓鑿的局面。因此在數學教學中，教師不僅要向學生講清楚公式和法則的使用范圍，還要列舉一些反例來加深理解，使學生正確掌握公式和法則。例如，在必修5第三章學習不等式性質時，經常會出現判斷題，例如“當ab﹤0那么a+b﹤0，”很多同學認為這是正確的，但實則不然。這時教師可以舉這樣一個例子：設a=2，b=-1，則a·b=-2﹤0，而a+b=1﹥0，而來否決這一錯誤命題，再次加深學生對實數運算的理解。

由此反例，學生能夠認清在實際解題中必須嚴格按照公式和法則進行解題，而不能憑主觀判斷進行解題，引導學生從本質上理解如何正確運用公式和法則。教師在數學教學中，通過列舉反例可以加深學生對公式、法則的理解，并注意適用范圍，使用條件，達到一舉兩得的目的。

（3）反例在增強學生發現問題、糾正錯誤的觀念中的應用。面對學生解題中所出現的共性錯誤，教師不要想著盡快于點破錯誤的所在，而應示以反例，用反例說明解法有誤。通過反例，讓學生自己探究、討論并發現問題，分析錯誤原因，找出正確的解題方法。從而培養學生追尋問題錯誤的根源的習慣，并指導學生糾正錯誤，最終讓師生共同品嘗成功的欣喜，達到師生雙贏的目的。

二、運用反例應該注意的問題

在數學的教學中教師恰當的運用反例，既能調動學生對數學學習的興趣，使學生養成認真對待問題的習慣，還能培養學生的批判思維、逆向思維和創新思維。但在數學的教學過程當中，反例的使用應該要注意以下問題：

（1）從定義入手獲得反例。概念是數學學科是反映事物本質的思維形式，而定義是則明確概念的邏輯方法。在數學問題中，若首先給出一個概念的定義，然后用反例判斷其是否正確，和證明一樣，必須經過一系列的深層次的思考活動，從定義入手獲得反例，反例是不能憑空創造的。

（2）要注意主次關系。學習概念、定理和方法是數學學習中的主要任務，對于基本命題和結論應該被嚴格證明和推導。但舉反例應簡潔，重在明辨是非，因此我們對反例的掌握要求不能太高，緊緊圍繞學習的主要內容進行有效輔助即可。

（3）所舉反例要注意符合學生的實際。在數學教學中，學生一般不會出錯，或者只有極個別學生出錯的不必列舉反例。不同的學習內容，不同的情況下，對反例有著不同的要求，只有當反例符合實際情況時，反例才會在數學學習中發揮真正的作用。

總之，數學是一門非常嚴謹的學科，它有著自己獨特的思考方式和邏輯推理體系，而在數學發展過程中，反例與證明有著同等重要的地位。反例因其直接、簡便、形象、說服性強等特點，決定了它在數學教學中起著不可替代的作用。教師有責任有義務去教會學生運用反例，這樣不僅講課時，學生可以通過反例扎實的掌握比較抽象的概念、公式、定理、法則等，同樣，在數學考試中運用舉反例來解決選擇題中的一些題目，也會收到事半功倍的效果。