基于數學問題的數學創新能力培養例析

汪晶晶

[摘? 要] 培養學生數學創新能力是當前數學教育的一個重要目標. 在初中數學教學中，教師應促使學生積極參與數學活動，鼓勵學生大膽猜想，發現問題;變換視角，解決問題;聯通融合，反思問題. 在數學問題中，培養學生數學創新能力.

[關鍵詞] 數學創新能力;數學問題;數學教學

創新是民族的靈魂，一個民族要想走在時代前列，就不能沒有創新. 數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用[1]. 培養學生數學創新能力是當前數學教育的一個重要目標. 有關數學創新能力的內涵尚未有定論，筆者比較認同羅新兵和羅增儒教授的觀點，將認知過程與認知結果相結合，去揭示數學創新能力的內涵：從認知過程來看，主要表現為克服思維定式，打破常規做法;從認知結果來看，主要表現為豐富的、相異的、原創的思維產物[2].

筆者作為一線教師，發現我們目前的初中數學課堂中，整節課學生進行大量計算、機械回答教師課前設計的問題等現象還是普遍存在的，這對于學生打好基礎固然是有幫助的，但學生同時也失去了發展創新能力的機會. 培養學生創新能力的主陣地還是課堂，除了注重打好學生的基礎，也要謀求發展，靈活創新. 我國著名數學家華羅庚先生和吳文俊先生以及數學教育家張奠宙先生也都認為“創新需要堅實的基本知識和基本技能為基礎，而建立基礎又需要創新精神的引領. ”[3]縱觀美國數學教育改革，就是不斷在打好基礎和尋求創新之間尋找平衡的過程. 解決問題是美國數學課程的核心，有利于學生創新能力的培養. 事實上，除了解決問題之外，發現問題及反思問題也能很好地培養學生的創新能力. 下面筆者結合自己的教學實踐，具體談談在發現問題、解決問題和反思問題三個方面如何培養學生的創新能力.

打開創新之門：大膽猜想，發現問題

猜想是對研究的問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯想、類比、歸納，并依據已有的材料和知識做出符合一定經驗與事實的推測性想象的思維方法. 在課堂教學中，教師應創設適當的情境，鼓勵學生大膽猜想，發現問題. 由于每個學生的認知能力不同，理解能力不同，已有的知識結構也不盡相同，導致學生在猜想過程中的思維方式各異，從而發現的問題也不同. 也就是說，從認知結果上看，學生發現的問題是豐富的、相異的、都是原創的思維產物. 學生從經歷過的東西猜想未曾經歷過的東西，從事物的過去和現在猜想事物的未來，或從一個事物猜想另一個事物，這就是一種創造性思維模式. 數學創新能力與數學創新思維關系密切，數學創新思維是數學創新能力的前提和基礎. 因此，在數學教學中，放手讓學生大膽猜想，發現問題，有利于培養學生的數學創新能力.

案例1? 矩形的判定.

在這節課中，師生首先共同復習矩形的定義和性質，之后明確本節課的學習內容：如何判定一個四邊形是矩形. 第一種判定方法必然是定義，因為任何定義既可以作為性質又可以作為判定方法. 那么如何發現其他方法呢？教師放手讓學生大膽猜想. 由于在前面學生學習過平行線的性質和判定、等腰三角形的性質和判定、平行四邊形的性質和判定等，已經積累了相關的學習經驗，判定和性質通常是兩個已知和結論互換的命題，這為學生猜想創造了條件，并提供了科學的猜想方法. 在實際教學中，學生發現并猜想了11種判定方法：（1）四個角相等的四邊形;（2）三個角為直角的四邊形;（3）對角線相等且互相平分的四邊形;（4）一組對邊平行且一組對角為90°的四邊形;（5）對角線相等的平行四邊形;（6）對角互補的平行四邊形;（7）三個角相等的平行四邊形;（8）一組鄰角相等的平行四邊形;（9）在四邊形ABCD中，AO=BO，∠ABC=90°;（10）一組對角相等，另一組對角都為90°的四邊形;（11）四邊形ABCD為平行四邊形，BO=AC.

在前面的學習中，很多幾何圖形的判定方法都是性質的逆命題，學生已經形成一種思維定式，認為判定方法就是性質的逆命題. 包括在人教版教材中，矩形的判定方法也是將矩形性質的已知和結論互換，形成新的命題，再加以證實. 其實，矩形的判定方法是多樣化的，學生在猜想的過程中，克服了思維定式，打破常規做法，并且猜想的結果也是很豐富的，雖然上述的第（9）條猜想是個假命題，可以通過舉反例證偽，但是這些猜想都是學生原創的思維產物. 學生在猜想的過程中，發展了數學創新思維. 因此，在課堂教學中，教師要舍得花時間讓學生大膽猜想，發現問題.

開拓創新之路：變換視角，解決問題

解決問題是數學教育的核心，是學生思維活動一種重要形式. 在解決數學問題的過程中，培養學生創新能力的關鍵是變換視角，發散思維. 發散思維是從一點出發，向各個不同方向輻射，產生大量不同設想的思維. 無論是從認知過程還是認知結果來看，發散思維都體現了創新. 不少心理學家認為，發散思維是創造性思維最主要的特點，是測定創新能力的主要標志之一. 在初中數學課堂教學中，一題多解是非常重要的發散思維的方法，它可以讓學生學會對問題進行多角度、多層次的分析，打破常規，培養學生創新能力.

案例2? 等腰三角形的判定.

在這節課中，學生首先猜想得出命題：如果一個三角形有兩個角相等，那么它是等腰三角形. 根據命題畫出圖形（如圖2），并用幾何語言寫出已知和求證.

已知：如圖2，在△ABC中，∠B=∠C.? 求證：△ABC為等腰三角形.

在實際的教學中，學生先獨立思考，后合作交流，共同探討出六種證法，令人嘆為觀止（如圖3）.

證法1：過點A作AD⊥BC，垂足為點D，證明△ABD ≌△ACD.

證法2：作∠BAC的角平分線AD，證明△ABD ≌△ACD.

證法3：過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F. 可證△BED ≌△CFD，從而DE=DF. 由于AD是中線，△ABD和△ACD的面積相等，而它們的高相等，所以底邊AB=AC，△ABC為等腰三角形.

證法4：過點A作BC的平行線DE，分別過點B，C作BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分別為點D，E. 根據平行線間距離相等，得出BD=CE，再證明△ABD ≌△ACE.

證法5：分別過點B，C作BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為點D，E. 再利用等面積法或者全等得證.

這里要特別指出第六種證法，學生發現△ABC和自己全等，因為∠B=∠C，BC=CB，∠C=∠B，所以△ABC≌△ACB，從而AB=AC，△ABC是等腰三角形. 筆者曾經在特級教師任勇老師寫的書里看到過這種證明方法，當時直接被震撼到了，這世間還有如此簡潔、奇妙的方法！沒想到自己的學生通過合作交流也想到了. 這種證法克服了思維定式，打破常規，學生在思考的過程中發展了數學創新能力. 其實，這些豐富的、相異的證法全部都是由學生獨立思考、交流討論得出的，對于學生而言具有原創性. 而且學生在試圖尋找其他證法的過程中，總是在不斷地變換思考視角，力圖求新、求異. 因此，通過一題多解，變換視角來解決問題，可以培養學生的數學創新能力.

架構創新之橋：聯通融合，反思問題

反思是指對曾經在思維活動中出現的問題和解決問題的方法、結論不斷思考的心理活動，既表現為對尚未解決的問題的上下求索，又表現為對已有解法和結論的挑剔和批判. 因此，學生反思問題的過程就是創新的過程，并且學生的數學創新能力在反思活動中會得到更多的體現. 然而，學生反思問題的意識是比較薄弱的，更談不上反思的方法和習慣.

在實踐中，筆者引導學生利用創新工具——思維導圖在解決問題后進行反思，將所學知識和方法梳理成知識網絡，為學生架構創新之橋.

案例3? 等腰三角形的判定.

在這節課中，學生展示各種解法之后，教師歸納總結，將所有解法進行聯通融合，提升數學思維，并為學生提供一種可借鑒和學習的反思問題的方法，進而發展數學創新能力. 繪制的思維導圖如圖4.

在教學中，筆者也經常布置作業讓學生寫數學小論文，數學小論文的形式也是多樣的，有的是談談自己學習本章內容的體會，有的是課堂研究的延續，對課堂上研究的問題做進一步思考，也有的是讓學生根據課堂上研究問題的方法，研究一個新的問題. 學生創作小論文的過程就是反思、創新的過程，因此，有利于學生養成反思的習慣，發展數學創新能力. 由于教師在課堂上的引導，很多學生在小論文中利用思維導圖作為開篇或者結尾，使研究的思路更清晰. 下面選取了兩位同學小論文里的思維導圖，如圖5.

著名數學教育家波利亞曾說過：“問題是數學的心臟.” 學生探究知識的欲望，往往是從問題開始的. 我們教師在教學時，要鼓勵學生大膽猜想，發現問題，提出問題;變換視角，解決問題;聯通融合，反思問題，促使每一位學生積極參與到充滿智慧的數學問題探究活動中，讓潛能得以開發，思維得以提升，創新能力得以發展. 我們在教學中播下數學問題的種子，學生數學創新能力定會開出絢爛之花.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 羅新兵，羅增儒. 數學創新能力的涵義與評價[J]. 數學教育學報，2004，13（2）.

[3]張奠宙，于波. 數學教育的“中國道路”[M]. 上海：上海教育出版社，2009.