“對稱與群”教學案例

【關鍵詞】校本選修課;課程開發(fā);課程體系;對稱與群

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2019）59-0022-02

【作者簡介】劉永瑞，江蘇省泰州中學（江蘇泰州，225300）教師，一級教師。

一、課程開發(fā)方案

1.開設緣由。

首先，課程“對稱與群”是近代代數(shù)學分支，概念豐富抽象，數(shù)學符號語言較多，開設這門課程可鍛煉學生閱讀數(shù)學語言、理解數(shù)學抽象概念的能力。

其次，群論是19世紀才逐步發(fā)展起來的近代數(shù)學理論，相對于中學數(shù)學知識而言要“先進”很多，選修這門課程的學生能通過這扇窗戶了解到一些近代數(shù)學的概念和公理化體系，有利于擴展學生的數(shù)學視野，有利于提高學生對數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值的認識。

基于以上考慮分析，以人教版選修3-4教材“對稱與群”為參考，結合校本的實際情況，用講座的方式開設這門課程。

2.課時設計。

本課程共安排6講12課時。課程實施過程中，可以根據(jù)實際情況調節(jié)具體進度、增減章節(jié)。這6講課程的具體內容見下表。

二、課程實施案例展示

下面以“平面剛體運動的定義”這一內容為例，展示教學過程。

1.情景引入。

觀察我們身邊的事物，可以發(fā)現(xiàn)，對稱是現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在的現(xiàn)象，蝴蝶的翅膀、昆蟲的觸角、飛機的機身都有軸對稱性。

“對稱”是一種非常普遍的自然現(xiàn)象，它在物理學、化學和生命科學中得到廣泛的研究和應有;同樣地，在數(shù)量關系、空間形式中“對稱”現(xiàn)象也大量存在，因而它也是數(shù)學研究的重要對象，對其的研究成果形成了系統(tǒng)的數(shù)學理論。

2.構建概念。

定義1：如果一個平面圖形沿著平面上一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線稱為它的對稱軸。

定義2：把一個平面圖形繞平面上某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點稱為對稱中心。

對“對稱性”的研究常?？梢允刮覀兗由顚ξ矬w性質的認識，在我們的課程中，將借助新的數(shù)學概念來研究各種各樣的“對稱性”，介紹關于“對稱”的數(shù)學理論。

（1）反射變換的定義。現(xiàn)在我們換個角度來考察剛才的定義1和定義2。我們知道一個平面可以看成是點的集合，就像我們把直線看成點的集合一樣，設α是一個由平面內的所有點組成的集合，l是這個平面內的一條直線，定義點集α到其自身的一個映射r：P→P′，其中r把平面α內的任意一點P映到關于直線l的對稱點P′，我們把這個映射稱為平面α關于直線l的反射（reflection）。

（2）變換觀念下看軸對稱圖形?？梢灾?，在反射變換r的作用下，平面α內的點被映到點，平面α內的圖形被映到與它全等的圖形，這時，如果一個圖形在映射r的作用下仍與原來的圖形重合，我們就稱這個平面圖形是一個軸對稱圖形。

那么，如何用變換的觀念看中心對稱圖形呢？

（3）變換觀念下看中心對稱圖形。180°旋轉變換：設α是一個由平面內的所有點組成的集合，O是平面α內的一個固定點，定義點集α到其自身的一個映射ρ：P→P′，ρ把平面α內的任意一點P繞點O旋轉180°后映到點P′，這個映射稱為以點O為中心的180°旋轉（rotation）。

一般地，如果一個平面圖形在映射ρ的作用下仍與原來的圖形重合，我們就稱這個圖形是一個中心對稱圖形。

思考題：按著這個定義，平行四邊形、正六邊形、圓都是中心對稱圖形嗎？這個定義與前面的定義2等價嗎？

（4）旋轉變換與恒等變換。我們可以對以O為中心旋轉180°的旋轉進行推廣：表示平面內以一個固定點P為中心轉任意給定角度的旋轉，這樣定義的映射在數(shù)學上稱為旋轉變換。旋轉角度為0°的旋轉變換把平面上的所有點映到它自身，這個映射使整個平面上的每個點都保持不動，所以稱為恒等變換（identity transformation）。

提煉：可以發(fā)現(xiàn)反射變換和旋轉變換有一個共同點——保距性，即對于平面內的任意兩點P和Q，在變換的作用下得到點P′和Q′，滿足

|PQ| = |P′Q′|，借用物理學中的名詞，我們把這類“保持距離不變”的映射稱為平面剛體運動。

（5）平面剛體運動的概念。定義：設α是一個平面，映射m：平面α→平面α是一個一一映射，若m保持平面α內任意兩點間的距離不變，則稱m是一個平面剛體運動（the rigidmotion of the plane）。

3.課后思考問題。

尋找身邊有趣的平面剛體運動的例子，并用代數(shù)語言解釋描述。