對哥德巴赫猜想的論證

程潔

【摘要】哥德巴赫猜想只在一定數值內才能成立.把一定數值范圍內的所有素數（質數）都兩兩相加，會得到一系列偶數.把這些偶數排列在數軸上，若能占滿這段數軸上的所有偶數位置，則說明這段數軸上的所有偶數都對應了兩個素數之和.亦即每個偶數都可分解為兩個素數了，哥德巴赫猜想得以證實.若所得的這些偶數不能占滿這段數軸上所有偶數位置，那么對應于空缺位置的偶數是不能化為兩個素數之和了.這從反面驗證了哥德巴赫猜想是不全面的、不成立的.

【關鍵詞】哥德巴赫;猜想;論證;偶數;素數;數列;數軸

一、引 言

偉大的數學家C.哥德巴赫（Christian Goldbach）曾猜想：“大于6的一個偶數可寫成為兩個素數之和;大于5的一個奇數可以寫作三個素數之和”.哥德巴赫猜想目前依然是世界上數學界探討的一個有趣的問題.許多著名的數學家（其中包括我國的華羅庚和陳景潤等先輩數學家）都對哥德巴赫猜想進行過論證，但都沒有得出令人滿意的結果.現在雖然有人已在4×1018的數值范圍內驗證了哥德巴赫猜想，但也只限于這一數值范圍內，沒有做出更廣泛的論證，也未提出完整的驗證方法來，雖然試圖找到一個能全面論證的分割公式，但至今還沒有得出結果.

若在數軸上取無窮大值的話，此最大值應是奇數呢，還是偶數呢？它是素數呢，還是非素數呢？在此極限狀態下，該無窮大值既不能認為是奇數，也不能認為是偶數;既不可說它是素數，也不可說它是非素數.在此情況下，無從可言“一個偶數可化為兩個素數之和”了.也就是說在此情況下哥德巴赫猜想已是無意義的了.這樣看來，只有在有限值范圍內，哥德巴赫猜想才能成立.所以，必須在一個有限值范圍內來探討哥德巴赫猜想，才是有意義的.過去對哥德巴赫猜想的一些論證工作，只從猜想的結論出發，沒有考慮猜想的前提條件和適用范圍.一個真理都有它的前提條件和適用范圍，這是不言而喻的.忽視其前提條件和適用范圍，只從哥德巴赫猜想的結論出發，泛泛論證結論，是難于得到滿意答案的.

把一個偶數分割為兩個素數之和時，其解不是唯一的，而是多解的.譬如48，可分割為1+47;也可分割為5+43;或7+41;11+37;17+31等.這里有許多不確定因素，這對把一個偶數分割為兩個素數之和的工作，會增加許多困擾.

按過去傳統的論證方法，往往很難得出令人滿意的結果，最終只能認為哥德巴赫猜想是無解的了.這是不符合事實的.只要解放思想，從多方面考慮思索，是可以找到出路的.我現在抱著拋磚引玉的態度，提出一個新的論證方法，同有興趣的廣大讀者共同探討.

二、新論證方法摡述

因為在無窮域內，也就是在極限狀態下，哥德巴赫猜想是沒有意義的，所以，應該首先把無窮域排除在外，也就是必須在有限值范圍內來論證.在有限值的范圍內，素數的個數是有限的，這一素數數列的各相應值也都是確定的.把其中所有素數都兩兩相加，會得到一系列偶數.把所得到的所有偶數，按其大小排列在數軸上，驗證這些偶數能否占滿相應一段數軸上的全部偶數位置.

若這些偶數能占滿這段數軸上全部偶數位置，說明這段數軸上的每個偶數都對應了兩個素數之和.也就是說，每個偶數都可化為兩個素數之和了.因此也就證明了哥德巴赫猜想是正確的.

如果由兩個素數相加所得的所有偶數，排列在數軸上，不能占滿這段數軸上的全部偶數位置.在這段數軸上還有空缺的偶數位置，那么對應于此空缺位置的偶數，是不能化為兩個素數之和了.這從反面證明了哥德巴赫猜想是不全面的，不成立的.

至于一個奇數可表達為三個素數之和的問題，可按同樣方法解決，不再贅述.

三、結 論

我在這里提出了三個問題：（1）哥德巴赫猜想是在一定前提條件下提出的，只有在合乎這種條件的情況下，哥德巴赫猜想才能成立，才有意義.不是在任何情況下哥德巴赫猜想都適用的.我覺得這非常重要，否則，把哥德巴赫猜想推廣應用到無窮域，是不可想象的，最終結果只能是否定了哥德巴赫猜想.以前的論證工作都忽視了這一點，最終只能認為是無解.（2）在有界的數列內，把所有素數都兩兩相加，會得到一系列偶數.這些偶數都一一對應了兩個素數之和.若把這些偶數都排列在所取數列的數軸上，它們若能占滿相應一段數軸上的所有偶數位置，那么在此數軸上的每個偶數都能夠毫無例外地化為兩個素數之和了.（3）若所得的所有偶數排列在相應一段數軸上，不能占滿這段數軸上的所有偶數位置，那么對應于空缺位置的偶數，是不能分割為兩個素數之和了.

我提出的對哥德巴赫猜想的驗證方法，若取的有限值越大，素數數列所包含的素數的個數也就越多.但在數軸上素數是越來越稀的，雖然如此，確定素數的工程量還是較大的，把這些素數兩兩相加的工作量也會越大.但是，這只是簡易的運算，是可以操作的.特別在高速計算機的幫助下，無論取的有限值多大，都是完全能夠完成的.

最后，我認為我提出的驗證方法，避開了高深數學運算，把一個困難無解的問題，化為一個通過簡單運算就可解決的問題.我對哥德巴赫猜想的驗證，在理論上也應該說是完全正確的.

哥德巴赫猜想已不再是一個不可捉摸，神秘莫測的無解問題.

【參考文獻】

[1]王元.論哥德巴赫猜想[M].濟南：山東教育出版社，1999.