在初中數學教學中有效滲透分類討論思想

茹峰

摘 要：“分類”源于生活用于生活，分類思想是自然科學乃至社會科學中的基本邏輯方法，也是研究數學問題的重要思想方法，它應貫穿于整個數學教學中。在解題中正確、合理、嚴謹的分類，可將一個復雜的問題大大的簡化，達到化繁就簡，化難為易，分而治之的目的。

關鍵詞：初中數學;參透;分類討論;數學思想

分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，把數學的研究對象區分為不同種類的一種數學思想，正確應用分類思想，是完整解題的基礎。一般情況下，當被研究的問題包含有多種可能的情況，導致我們不能將它們一概而論時，迫使我們將可能出現的所有情況來分類討論，得出各種情況下相應的結論，而后進行綜合。

一、分類討論一般應遵循的原則

1、同一性原則。分類應按同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據。例如：有些同學把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、不等邊三角形、等腰三角形。這個分類就不正確了，因為這個分類同時使用了按邊和按角兩個分類標準。

2、相稱性原則。分類應當相稱，即劃分后子項外延的總和，應當與母項的外延相等。

3、互斥性原則。分類后的每個子項應當互不相容，即做到各子項相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個子項，又屬于另一個子項。

4、層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分。一次分類是對被討論對象只分類一次;多次分類是把分類后所得的子項作為母項，再進行分類，直至滿足需要為止。有些對象的分類情況比較復雜，這時常采用“二分法”來分類，就是按對象有無某性質來進行分類。按“二分法”作分類，就是把討論對象的外延一直分為兩個互相矛盾的概念，一直分到不必再分為止。

一般來說，教師在教學活動中可按以下三個步驟引導學生建立分類討論的思想，學會分類方法，揭示分類討論思想的本質，自覺合理的運用分類討論的思想解決相應數學問題，形成能力。

二、有意識地分階段滲透分類討論思想

初中課本中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學過程中要有意識地讓學生在學習中逐漸的體會分類討論的思想。初一數學課本在引入負數后即對有理數進行分類：將有理數分為正數、零、負數或將有理數分為整數、分數。讓學生辨別不同分類的依據，初步體會分類要不重復，不遺漏;標準不同則分類不同的基本原則。此時可提出問題“-a一定是負數嗎？”啟發學生分a>0，a=0，a<0三種情況考慮。在學習絕對值的定義時，要有意識地啟發學生從有理數分類進行認知的遷移，幫助學生概括出a>0，a=0，a<0時，應如何表示，并要求學生能做一些簡單的化簡題。例如去掉，中的絕對值符號，在解題的過程使學生體會分類討論的思想方法，學會初步應用。這個讓學生探索推導有理數加法法則的過程，實際上就是應用分類思想解決問題的一個完整的過程。

三、啟發誘導，適時揭示分類討論思想的本質

分類討論是重要的數學思想方法，但初中學生常常分類討論的意識不強，不知道哪些問題需要分類及如何合理的分類。這就需要教師在教學中結合教材，舉一些符合大綱要求且學生能夠接受的，需要區分種種情況進行討論的問題，啟發誘導，揭示分類討論思想的本質。

例1? 方程kx2-2x+3=0有幾個實數根？

學生往往不注意k對方程性質的影響，討論或講評中，使學生明確系數k決定方程的次數，從而分k=0，k≠0兩類討論。當k≠0時，再分△>0，△=0，△<0三種情況進行討論。

例2? ?二次函數y=a（x-1）2+m的圖像過哪幾個象限？

這道題勢必要考慮圖像的開口方向，又要考慮對稱軸和頂點的位置。要對字母a和m分類。怎么分，則應由學生討論，互相補充，互相評價，逐步完善。

這兩道例題是初中數學的常見習題，在教學中引導學生思考此類問題，一方面滲透分類思想，一方面通過具體的實例使學生體會分類的實質為：化繁為簡，將一個復雜的問題分為幾個簡單的問題，分而治之;其次，有時分類并不是一次就可完成，需逐級分類。在此階段的教學中，應結合具體的例題，揭示分類討論的本質為化繁為簡，由特殊到一般，分而治之。使學生進一步加深對分類討論的理解。

四、創設情境，深化提高，使學生自覺應用分類討論思想

在教學中應邊學習邊總結，使學生明確引起分類討論的原因，增強學生自覺應用分類討論的意識克服分類討論中的盲目性和隨意性，提高學生的綜合運用這種數學思想解題的能力。在初中數學中，若涉及到以下幾個方面，往往需要進行分類討論：

1、有些知識本身是分類定義和概括的。如絕對值的定義、一元二次方程根的判別式等

2、數和式的變形中需要附加條件

3、研究含有字母的方程、不等式解的特征和求解

4、涉及幾何圖形的形狀和位置的問題

5、開放性的數學問題

6、一般地，當問題的條件特別少時，需要分類以補充條件的情況

例3? 解方程：∣X-2∣+∣X+3∣=5

分析：該題是含有絕對值的方程，怎樣去掉絕對值的符號化為一般的一元一次方程為解題的關鍵。由絕對值的定義，求出各絕對值的零點：2，-3，把數軸分成三段：x≥2，-3

五、分類后結論如何歸納

一般情況下，分類討論后都要對結論進行歸納，這也是解決這一類問題必須的步驟。常見的有三種結論歸納方式：并列形式、并集形式、交集形式。我們把后兩種合稱為集合運算形式。

（1）并列形式? 將分類討論的結果用并列復句的形式給出。

（2）并集形式? 對每類的結果求并集作為最后的結論。

（3）交集形式? 對每類的結果求交集作為最后的結論

總之，通過加強數學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性。根據初中學生的特點，教學中要遵照循序漸近、逐步深化的原則并采用靈活多變和有效的教學手段來實施分類討論方法的教學。

參考文獻

[1]刁衛東：如何運用分類討論思想解題。《中學數學》1997.5

[2]王燕春：學會分類方法，提高分類意識。《中學生數學》.1998.5

[3]彭林、刁衛東：中考數學命題熱點與規律探折。《中小學數學》2001專刊