從學生直觀想象能力的培養談高中數學核心素養的養成

陳曉波

[摘 ?要] 數學問題的發現、提出、分析與解決以及論證思路的形成、邏輯推理的進行、抽象結構的構建都需要直觀想象這一能力的支撐，教師在具體教學中應著眼于學生直觀想象能力的培養并因此使得學生的數學核心素養得到大力發展.

[關鍵詞] 直觀想象能力;數學核心素養;變式;反思

問題的提出

利用圖形理解、解決問題的直觀想象是發現數學結論、解決數學問題的重要素養，很多學生因為知識面狹窄、知識儲備量薄弱、運用能力低下等原因而在直觀想象上表現一般. 鮑建生教授曾經明確介紹過直觀想象這一核心素養的表現形式，具體表現為以下幾點：（1）借助圖形對數學問題加以描述;（2）借助圖形對數學問題加以理解;（3）借助圖形對數學問題進行探索與解決;（4）構建數學模型.

史寧中教授一直持數學知識形成依賴于直觀、數學知識的確定依賴于推理這一觀點，由此可見，很多數學結果都是“看”出來的，此處的“看”即為直覺判斷.這種建立在長期有效的觀察與思考基礎上的能力也就是我們所說的直觀能力[1]. 雖說直觀能力有先天的因素，但其養成卻必須借助一定的經驗才能實現. 因此，也有很多專家與學者秉持直觀能力是自己“捂”出來的這一觀點. 這些觀點對于高中學生數學核心素養的培養來說極具意義，因此，教師在實際教學中要注意典型數學內容的選擇并創設科學合適的探討情景，引導學生在充分的觀察與思考中積累直觀想象的經驗. 筆者借助教學實踐片段在學生直觀想象能力的養成上做一點淺要的思考.

教學片段

例題：已知函數f（x）=x+1-2x-3，求不等式f（x）>1的解集.

師：這是一道經過改編的高考題，大家從直觀上來感受一下這道題所包含的知識點有哪些呢？大家以為應該如何解決此題呢？

生1：函數f（x）含有兩個絕對值，我們所要求解的不等式中含有三個絕對值，因此，我覺得可以把f（x）化成以下分段函數并進行分類討論來解題.

師（評論）：這是一種把絕對值轉化成分段函數并借助函數圖像進行分類討論解題的巧妙方法，函數思想、數形結合思想、轉化與化歸思想等都在這一解題方法中得到了體現，零點問題、穿針法、分段函數、作函數圖像、解絕對值不等式等諸多知識點也都在這一巧妙解法中得到了充分的運用.

師：大家可有其他解法呢？

生2：可以先找零點再分類討論. 因為-1， 是函數的兩個零點，所以可做以下討論來解題.當x≤-1時，f（x）=x+1-2x-3=x-4. 因為f（x）>1，因此x-4>1，解得x>5或x<3，因此x≤-1. 當-11，因此3x-2>1，解得x>1或x< ，因此-11，因此4-x>1，解得x>5或x<3，因此 ≤x<3或x>5. 綜上所述，x< ，15. 因此不等式的解集為xx< ，15.

師（評論）：這是一種利用函數零點來分類討論解題的方法，函數零點、轉化與化歸等知識點在解題中都有涉及，通過零點去絕對值并將其轉化為我們相對熟悉的函數形式這一解法其實也是在劃分區間，將其轉化為分段函數之后來逐個討論，事實上，我們還可以將分段函數的圖像畫出來并利用分段討論來解題. 生1、生2的解題方法以及畫圖像后進行分段討論這三種解法的核心都是把絕對值轉化成分段函數，這三種解法可以說是有異曲同工之妙的.

師（推進）：假如此題出現在我們同學的考試中，大家以為自己的解題最有可能在哪些環節上會被扣分呢？

生3：我解題可能會漏了某個區間或區間端點，還有就是可能會解題不規范而導致扣分.

師（繼續推進）：大家在解決此題之后，有沒有想過其中的“-”如果變成“+”又該如何求解呢？

變式1：已知函數f（x）=x- +x+ ，M是不等式f（x）<2的解集. （1）求M;（2）略.

師：之前解題中運用的三種解法也都適用于此題的求解，大家可以逐步去掉絕對值，分x≤- ，-

師（再推進）：大家可以闡述函數解析式所具備的幾何意義嗎？

生4：f（x）可以看成為點P（x，0）到A- ，0與B ，0的距離.

師（繼續推進）：很好，現在我們已經解決了含有兩個無參數絕對值的函數解析式，對于含有參數的絕對值不等式我們又應該如何來處理呢？

變式2：已知函數f（x）=x+1-2x-a，a>0，求不等式f（x）>1的解集.

試題分析：借助零點分析法把不等式f（x）>1轉化成一元一次不等式組來解得此題.

根據函數f（x）的兩個零點-1與a（a>0）分成三個區間，結合題意并列出關于x的不等式并求得x的取值范圍.

試題分析：因為-1與a（a>0）是函數的兩個零點，所以可做以下討論：當x≤-1時，f（x）=x+1-2x-a=x-2a-1. 因為f（x）>1，所以x>2a+2，不等式無解. 當-11，所以x> a，所以 aa時，f（x）=-x+2a+1. 因為f（x）>1，所以x<2a，因此a0？搖.

討論到這一階段，還會有學生對含參數不等式的知識運用不夠嫻熟，因此可以在以上三題的基礎上繼續進行以下變式以幫助學生更好地掌握知識與方法.

變式3：已知函數f（x）=ax+1-2x-1，a>0，求關于x的不等式f（x）>1的解集;

變式4：已知函數f（x）=x+1-2ax-1，a>0，求關于x的不等式f（x）>1的解集;

變式5：已知函數f（x）=x+1+2x-a，a>0，求關于x的不等式f（x）<1的解集;

變式6：已知函數f（x）=ax+1+2x-1，a>0，求關于x的不等式f（x）<1的解集;

變式7：已知函數f（x）=x+1+2ax-1，a>0，求關于x的不等式f（x）<1的解集.

師：以上五個變式是在變式2的基礎上演變得來的，題中的函數包含了兩個絕對值的和與差，題目所求都是解含參數的絕對值不等式f（x）>1和f（x）<1.

教學反思

利用學生的直觀想象來培養學生的數學核心素養是本堂課的教學目標，教學從求絕對值不等式f（x）=x+1？搖-2x-3？搖>1的解集出發，聯想到求含參數絕對值不等式f（x）=x+1-2x-a>1，a>0的解集，并最終拓展獲得另外五個變式，題目的內涵也在各個不同的變式中得到了充分的挖掘，學生的直觀想象能力得到不斷鍛煉與提升的同時也令其數學核心素養得到了發展. 教師運用各種數學知識、數學方法進行變式并引導學生對知識、方法、思想進行掌握、運用和內化，使學生在不同的問題中經歷各種不同角度的思考并運用數學思想對問題展開分析，使學生在運用數學方法解決問題的過程中獲得了數學核心素養、思維習慣與品質的養成、提升和發展.

數學問題的發現、提出、分析與解決以及論證思路的形成、邏輯推理的進行、抽象結構的構建都需要直觀想象這一能力的支撐，教師在具體教學中應著眼于學生直觀想象能力的培養并因此使得學生的數學核心素養得到大力發展，使學生能夠在感悟事物本質的過程中獲得更多的數學思考與領悟.

參考文獻：

[1] ?王宏賓，羅增儒. 例談解題回顧的意義[J]. 數學教學，2007（5）：3-6.