初三數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)模型建立能力的實(shí)踐與研究

蔡魏偉

【摘 ? 要】 ?初三學(xué)生已經(jīng)積累了一定的函數(shù)知識，并且具有一定的空間想象力與邏輯思維能力，此時(shí)強(qiáng)化函數(shù)建模能力培養(yǎng)對于提升學(xué)生解題能力具有重要意義。本文結(jié)合初三數(shù)學(xué)《二次函數(shù)》教學(xué)，重點(diǎn)就函數(shù)建模能力培養(yǎng)理念在教學(xué)中的滲透策略進(jìn)行了探討，希望為后續(xù)相關(guān)研究與應(yīng)用提供一些借鑒。

【關(guān)鍵詞】 ?初三數(shù)學(xué);函數(shù)建模能力;培養(yǎng)策略

建模能力是初中生需要掌握的一種基本解題能力，主要是指學(xué)生能否將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，之后運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識來求解相關(guān)問題。而函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，相應(yīng)的函數(shù)模型建立能力培養(yǎng)是進(jìn)一步提升學(xué)生解決函數(shù)實(shí)際問題的重要保障，強(qiáng)化其專項(xiàng)研究具有重要教育意義。

一、創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

為了順利引導(dǎo)學(xué)生參與到二次函數(shù)模型構(gòu)建中來，教師需要先創(chuàng)設(shè)一些貼合學(xué)生生活實(shí)際的事情，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)他們積極思考，最終可以通過深入剖析相關(guān)問題來建立建模思想。

例1：某旅游機(jī)構(gòu)在自然風(fēng)景區(qū)域當(dāng)中配備了50輛觀光巴士供游客游覽使用，假定每輛觀光巴士每天最多僅能夠租賃一次，且每日的觀光巴士租金x（元）為5的倍數(shù)。現(xiàn)有如下規(guī)律：如果x<100元，那么可以全部租出觀光巴士;如果x>100元，每輛觀光巴士日租金每增加5元，租出的觀光巴士就會相應(yīng)地減少1輛，且已知道每天全部觀光巴士需要耗費(fèi)1100元管理費(fèi)，試求：

1.在優(yōu)惠促銷期間，為了全部租出觀光巴士且要確保每天不出現(xiàn)虧損，那么每輛觀光巴士的日租金至少控制在多少元？

2.為了使每天旅游機(jī)構(gòu)獲得最高的租賃凈收入，應(yīng)該將每輛車的日租金定位多少？

解析：該數(shù)學(xué)題目同學(xué)生的實(shí)際生活具有緊密聯(lián)系，是學(xué)生外出旅行時(shí)常遇到的情況，這樣有助于激發(fā)他們參與學(xué)習(xí)的興趣以及建模的動(dòng)機(jī)。首先，依據(jù)“每天全部租出觀光巴士后所得的凈收入=每天出租觀光巴士總收入-每天管理費(fèi)用”和“凈收入為正”等條件，列出求解的不等式，之后結(jié)合“每天出租觀光巴士凈收入=每天觀光車輛出租數(shù)目×每輛車日租金-每天管理費(fèi)用”等量關(guān)系來分段構(gòu)建函數(shù)模型，其中一段為一次函數(shù)模型，另一段則是二次函數(shù)模型，之后結(jié)合分段函數(shù)模型計(jì)算來最終的結(jié)果。

解：（1）根據(jù)題干信息可知，假定全部租出觀光巴士，那么可知00這個(gè)不等式，求解可得x>22。又因?yàn)閤為5的倍數(shù)，所以可知每輛車每天的租金至少為25元。

（2）假定每天租賃觀光巴士的凈收入為y元。

當(dāng)0

當(dāng)x>100時(shí)，y=（50-（x-100）/5）x-1100=-1/5x2+70x-1100=-1/5（x-175）x2+5025。因?yàn)閥為二次函數(shù)模型，此時(shí)可知當(dāng)x=175時(shí)，y取得最大值，最大值為5025元。

二、基于函數(shù)模型，解決實(shí)際問題

為了進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的函數(shù)建模意識，深化學(xué)生對于函數(shù)建模思想的理解和認(rèn)識，數(shù)學(xué)教師可以結(jié)合實(shí)際數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)模型建構(gòu)思想來加以解決，使他們可以在利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程中享受到成功的樂趣，并最終逐步掌握這種數(shù)學(xué)建模思想。

例2：某茶葉店銷售的某品牌茶葉的成本價(jià)為80元/kg，銷售單價(jià)≥120元/kg，但<180元/kg，且在銷售一段時(shí)間后獲得，可知該品牌茶葉的銷售單價(jià)及銷量對應(yīng)表1所示。

假定y和x之間的關(guān)系是我們所學(xué)過的一種函數(shù)關(guān)系，試求：

1.試列出函數(shù)y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出自變量x的范圍。

2.為了獲得最大的銷售利潤，茶葉銷售價(jià)該確定為多少？最大利潤為多少？

解析：該道數(shù)學(xué)題借助表格數(shù)據(jù)的形式來給出了變量間數(shù)量關(guān)系，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法，配合坐標(biāo)系中的坐標(biāo)點(diǎn)，可以直觀地確定它們的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，之后結(jié)合“茶葉銷售利潤=茶葉銷售單價(jià)×銷售數(shù)量”構(gòu)建求解問題的二次函數(shù)模型，最后利用二次函數(shù)特性與性質(zhì)來求解有關(guān)問題。

解：（1）由表1可知，茶葉銷售單價(jià)每增加10元，每天茶葉銷售量就減少5kg，所以可知y與x之間呈現(xiàn)為一次函數(shù)關(guān)系，具體的關(guān)系式為：y=100-0.5（x-120）=-0.5x+160，相應(yīng)的x取值范圍為：0≤x≤180。

（2）假定茶葉銷售利潤為w元，那么w=（x-80）（-0.5x+160）=-1/2x2+200x-12800=-1/2（x-200）2+7200。此時(shí)可知當(dāng)x=180時(shí)，銷售利潤最大，最大值w最大=7000元。

三、注重歸納總結(jié)，深化教學(xué)目標(biāo)

初三數(shù)學(xué)教學(xué)期間，在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型來解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題的同時(shí)，還要結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)與要求，指導(dǎo)他們歸納和總結(jié)相關(guān)的函數(shù)建模知識，使他們可以對相關(guān)的函數(shù)模型知識以及脈絡(luò)進(jìn)行梳理，并逐步將這些函數(shù)模型知識內(nèi)化于心，確保可以在后續(xù)解決實(shí)際問題中靈活應(yīng)用這些知識。此外，在學(xué)習(xí)期間教師要注意強(qiáng)化小組合作學(xué)習(xí)，力求可以引導(dǎo)學(xué)生相互溝通與交流彼此的函數(shù)建模經(jīng)驗(yàn)與技巧，逐步提升自身的函數(shù)建模能力，同時(shí)合作學(xué)習(xí)也可以培養(yǎng)學(xué)生的問題意識以及反思能力，最終可以熟練掌握函數(shù)建模思想。

總之，二次函數(shù)是對我們現(xiàn)實(shí)世界中各種變量之間變化規(guī)律進(jìn)行刻畫的一種數(shù)學(xué)模型，是解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問題的一個(gè)重要工具，所以教師必須要高度重視培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)模型能力。在實(shí)際的教學(xué)中，教師要注意創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)習(xí)建模興趣，同時(shí)要基于函數(shù)模型，解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題，并加以歸納、總結(jié)，確保提升學(xué)生的函數(shù)建模能力。