芻議通性通法在中學數學教學中的重要地位

陳晨

【摘 要】在刷題就是一切的大環境下，數學教學成為機械式的解題訓練，解題不講究緣由，談的都是答題模板。教師究竟應該教給學生什么？教師應教授數學的本質思想方法概念，多講授通性通法。本文以數列教學為例，講述了通性通法在教學中的重要地位，注重數學教學的簡潔性與統一性。

【關鍵詞】高中數學數列;教學策略;通性通法

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0163-01

數列是高中數學學習的重點也是難點，如等比數列通項公式的一種推導方法累乘法，對某些數列求通項公式有著借鑒作用，等比數列通項公式的另一種推導方法遞推法，對大量有著遞推特性的題目都能采用此通法，但往往數列學習過后學生記住的不是這些通性通法而是由公式衍生出的大量華而不實的性質，對數列的知識是一些支離破碎的片段，沒能形成數列的一個知識網絡。

1? ?數列新授課中的通性通法

如數列方法課，這類課通常處處有方法處處有技巧，題題有內涵，可輪到學生自己做題時卻無從下筆。如等差或等比數列前n項和公式及等差或等比數列通項公式中有首項a1、末項an、項數n、公差d和前n項和Sn這五個量，已知其中三個基本量可以求出另外兩個基本量，在這五個基本量中，最重要的是首項a1和公差d。研究這五個基本量之間的關系應是等差數列學習的通性通法，但有時在教師的引導下，學生處理等差數列的一些問題時考慮的首要方法很少是根據題設找出3個基本量，再求出另外兩個基本量，就能解決數列一系列問題。反而是喜歡花費大量時間思考性質技巧所謂的簡便方法，如設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9=____。學生往往想到根據S3，S6-S3，S9-S6為等比數列解決此題，但如果題目改成S2=9，S6=36，則S9=____。有些學生便慌了神，無從下筆，若題目變為等比數列{an}的前n項和為Sn，若=3，則=____。若學生考慮不到先用分離系數的技巧將題目轉變為=3，則=____便直接混戰于S5，S10-S5，S15-S10成等比數列的復雜迭代中。但如果學生知道等比數列通性通法是利用a1、an、n、q、n、Sn五個基本量，可以直接運用等差數列求和公式表示S3，S6求出公比q代入。

S3，S6-S3，S9-S6成等比數列固然是個很重要的性質，但教師在運用這一性質的時候不是應該首先介紹a1、an、n、q、n、Sn五個基本量的通法嗎？對于技巧的講解需要適度，必須貼合學生的現有水平，面對有些技巧學生的模仿多于理解，題目換了面貌可能這些技巧反倒成了絆腳石，擾亂了學生的解題思路，填塞給學生的方法不是長久的方法，技巧運用往往不如通性通法來得踏實。

2? ?數列復習課中的通性通法

復習課對章節知識概念方法起到總結鞏固，梳理形成知識結構的作用，可以提高解題能力，解決綜合性問題。如證明數列為等差或等比數列的問題，教師常講授的是構造法。如設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2.設bn=an+1-2an，證明數列{bn}是等比數列。學生可以想到，由①-②，得an+1=4an-4an-1，但學生很難想到通過移項變形構造出an+1-2an=2（an-2an-1），從而證明bn=2bn-1。大多數課堂或輔導書中講解的都是這個方法，雖然這一方法看上去很美，但這種美不夠純粹，學生感覺這種變化技巧難度太高。其實教師可以介紹利用等比數列的概念：從第二項起后一項比前一項為同一個常數證明的方法，即，由an+1=4an-4an-1進行代入消元，證明比值常數為2。這是一種學生能夠觸及的美。利用等比或等差數列的概念是數列證明的通性通法，也是絕大多數證明問題的通性通法。

3? ?結語

總之，作為教師應重視通性通法在教學中的地位，摒棄一些看似華麗卻無法被學生接受的技巧，從而還原數學的簡潔美、統一美。更重要的是，簡潔的數學，純粹的數學才是學生喜愛的數學，數學給予他們的應是數學的思考方式，而不是數學的解題技巧。