有限的生命與無(wú)限的價(jià)值

孫玉芹 劉建軍

摘要：詳細(xì)介紹了大學(xué)數(shù)學(xué)課程中《高等數(shù)學(xué)》的一個(gè)教學(xué)案例，從問(wèn)題的背景知識(shí)鋪墊開(kāi)始，講述了課程教學(xué)的主要內(nèi)容，其中嵌入了數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識(shí)、數(shù)學(xué)人文思想的相關(guān)介紹，最后對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了評(píng)析，將純粹傳授數(shù)學(xué)知識(shí)升華到教學(xué)理念的哲學(xué)層面、人才培養(yǎng)的價(jià)值引領(lǐng)和專業(yè)課程思政的高度。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);教學(xué)案例;哲學(xué)思維;課程思政

中圖分類號(hào)：G642.4? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：1674-9324（2019）42-0175-02

一、背景

1.極限概念奠定了高等數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)。極限思想是由于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的。例如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法——割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用。又如，春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的哲學(xué)家莊子（公元4世紀(jì)）在《莊子·天下篇》中對(duì)“截丈問(wèn)題”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想，也是現(xiàn)代微積分中本質(zhì)的思想。

2.極限的運(yùn)算提供了高等數(shù)學(xué)施行的工具。極限是研究變量的變化趨勢(shì)的基本工具，是人們從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限的基本方法，本質(zhì)上是客觀世界從量變引起質(zhì)變過(guò)程的一種反映。高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上的。極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法。

3.清醒地認(rèn)識(shí)無(wú)限是哲學(xué)思維的一次突破。初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在有限問(wèn)題和無(wú)限問(wèn)題上的差別何在？搞清楚這個(gè)問(wèn)題不僅可以提高數(shù)學(xué)能力，而且可以提升思維素養(yǎng)。用有限的生命創(chuàng)造無(wú)限的價(jià)值，更是人文精神的進(jìn)階。

二、展示

1.利用“割圓術(shù)”介紹極限思想。黑板上先畫(huà)一個(gè)圓，在圓內(nèi)作內(nèi)接正n邊形把圓周等分，一般的把內(nèi)接正6×2邊形的周長(zhǎng)記為C（n為自然數(shù)）。這樣得到一系列內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)，當(dāng)n越大，越是把圓周分割得細(xì)，其內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)就越接近圓周。但是無(wú)論n取多大，只要它被取定了，它所對(duì)應(yīng)的正多邊形的周長(zhǎng)就不是圓的周長(zhǎng)，所以必須如此不斷地分割下去，一直到圓周無(wú)法再分割為止，即設(shè)想n無(wú)限增大，它的周長(zhǎng)就與圓周“合體”而完全一致了。圓的周長(zhǎng)是確定的數(shù)值，這個(gè)確定的數(shù)值也可以理解為一列有次序的數(shù)（即數(shù)列）當(dāng)n→∞時(shí)的極限。

備注1：我國(guó)古代（公元3世紀(jì)）數(shù)學(xué)家劉徽形容他的“割圓術(shù)”說(shuō)：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣。布置學(xué)生研讀教科書(shū)中用圓的面積作為描述對(duì)象的講解。

備注2：“割圓術(shù)”思想與古希臘“窮竭法”不謀而合，在圓周率計(jì)算史上曾長(zhǎng)期使用。1610年德國(guó)數(shù)學(xué)家柯倫用2邊形將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后35位，1630年格林貝爾格利用改進(jìn)的方法計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后39位，成為割圓術(shù)計(jì)算圓周率的最好結(jié)果。分析方法發(fā)明后逐漸取代了割圓術(shù)，但割圓術(shù)作為計(jì)算圓周率最早的科學(xué)方法一直為人們所稱道。

備注3：劉徽所處的時(shí)代是魏、蜀、吳三國(guó)割據(jù)的時(shí)代，那時(shí)候中國(guó)的社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)發(fā)生了極大的變化，特別是思想界，文人學(xué)士們互相進(jìn)行辯難，所以當(dāng)時(shí)一幫文人學(xué)士走到一起，一個(gè)正方一個(gè)反方，提出一個(gè)命題大家互相辯論，在辯論的時(shí)候人們就研究討論關(guān)于辯論的技術(shù)、思維的規(guī)律，所以在這一時(shí)期人們的思想解放是在春秋戰(zhàn)國(guó)之后沒(méi)有過(guò)的，這時(shí)人們對(duì)思維規(guī)律的研究特別發(fā)達(dá)，有人認(rèn)為這時(shí)人們的抽象思維能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)春秋戰(zhàn)國(guó)。劉徽在《九章算術(shù)注》的自序中表明：把探究數(shù)學(xué)的根源作為自己從事數(shù)學(xué)研究的最高任務(wù)。他注《九章算術(shù)》的宗旨就是“析理以辭，解體用圖”。“析理”就是當(dāng)時(shí)學(xué)者們互相辯難的代名詞。劉徽通過(guò)析數(shù)學(xué)之理，建立了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系。眾所周知，古希臘數(shù)學(xué)取得了非常高的成就，建立了嚴(yán)密的演繹體系。然而，劉徽的“割圓術(shù)”卻在人類歷史上首次將極限和無(wú)窮小分割引入數(shù)學(xué)證明，成為人類文明史中不朽的篇章。

2.舉例說(shuō)明數(shù)列的各種表現(xiàn)。有的數(shù)列通項(xiàng)無(wú)論下標(biāo)變得多大，都看不出確定的趨勢(shì)，另外有的數(shù)列能夠看出確定的趨勢(shì)，由此引出數(shù)列極限的精確概念。

3.數(shù)列的“ε→δ”定義。設(shè){x}為實(shí)數(shù)數(shù)列，a為確定的數(shù)。若對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，總有|x-a|<ε，則稱數(shù)列{x}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{x}的極限。

備注4：本定義堪稱《高等數(shù)學(xué)》課程中最精妙的定義之一，上文畫(huà)線的“4句話”是最巧妙的組合，它們的功能各不相同，缺一不可，在此詳細(xì)講解四句話在概念中的作用和注意事項(xiàng)。

備注5：定義中的N可能是非常大的數(shù)，然而不管它多大，它都是有限的，都與無(wú)限具有本質(zhì)的區(qū)別。“無(wú)限”的意境可以描述為“滿園春色關(guān)不住，一枝紅杏出墻來(lái)”。

備注6：極限定義中涉及的“無(wú)限”，還有哪些怪異的性格呢？提示：自然數(shù)集合是無(wú)限個(gè)元素的集合，自然數(shù)中有奇數(shù)和偶數(shù)，那么子集合偶自然數(shù)的數(shù)量是母集合自然數(shù)數(shù)量的一半嗎？

備注7：愚公移山的故事說(shuō)：“子又生孫，孫又生子，子又有孫，子子孫孫無(wú)窮匱也，而山不加增，何苦而不平？”引導(dǎo)學(xué)生用有限與無(wú)限的觀點(diǎn)進(jìn)行描述。

三、評(píng)析

1.“體驗(yàn)學(xué)習(xí)教學(xué)法”是授人以漁的教學(xué)方法。“體驗(yàn)學(xué)習(xí)”意味著學(xué)生親自參與知識(shí)的建構(gòu)，親歷過(guò)程并在過(guò)程中體驗(yàn)知識(shí)。學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解過(guò)程并不是一個(gè)“教師傳授—學(xué)生聆聽(tīng)”的傳遞活動(dòng)，學(xué)生獲取知識(shí)的最好途徑是學(xué)生在親自“研究”、“思索”、“想象”中領(lǐng)悟知識(shí)，在“探究知識(shí)”中形成個(gè)人化的理解。本次課程從介紹“割圓術(shù)”到分析各種各樣的數(shù)列表現(xiàn)，都是相當(dāng)具有帶入感的過(guò)程，再現(xiàn)了歷史上該知識(shí)的形成過(guò)程，也由此傳授給了學(xué)生自己思考并逐步掌握全部?jī)?nèi)容的方法，這種“授人以漁”的教學(xué)方法也是“為了每一個(gè)學(xué)生終身發(fā)展”的教育理念的體現(xiàn)。

2.用價(jià)值觀引領(lǐng)知識(shí)教育，把握人才培養(yǎng)的正確方向。劉徽割圓術(shù)的引用不僅體現(xiàn)在知識(shí)教育層面，也是我國(guó)兩千年文化底蘊(yùn)的熏陶。數(shù)學(xué)是人類文明的火車頭，社會(huì)發(fā)展依賴數(shù)學(xué)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)能力也是體現(xiàn)公民素質(zhì)的重要組成部分。備注3的講解體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化與社會(huì)文化之間的共生與互動(dòng)。

3.愚公移山故事的內(nèi)涵與外延詮釋了專業(yè)思政。愚公講述的數(shù)量表現(xiàn)是有限與無(wú)限之間非常形象的比對(duì)，然后故事主人公吃苦耐勞、持之以恒的精神也有利于培養(yǎng)合格的社會(huì)主義事業(yè)建設(shè)者和接班人。

4.有限的生命升華為無(wú)限的價(jià)值。雷鋒說(shuō)：“人的生命是有限的，可是為人民服務(wù)是無(wú)限的，我要把有限的生命投入到無(wú)限的為人民服務(wù)之中去。”雷鋒在自己的人生中詮釋了有限與無(wú)限的比較，劉徽也在他有限的生命里給后人留下了無(wú)限的價(jià)值（知識(shí)無(wú)價(jià)），那么專業(yè)課程的教學(xué)過(guò)程中時(shí)常植入這樣的理念，習(xí)近平總書(shū)記提出的“培養(yǎng)什么樣的人、如何培養(yǎng)人”的問(wèn)題也就迎刃而解了。

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