淺談數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)

秦孟彬

【摘 要】直觀想象是數(shù)學(xué)六大學(xué)科核心素養(yǎng)之一;它是指借助幾何直觀和空間想象感知事物形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決問(wèn)題的過(guò)程[1]。在教學(xué)中我們可以以立體幾何、解析幾何，幾何背景問(wèn)題等為載體采用多種手段培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)素養(yǎng);直觀想象;培養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G623.5?????? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）23-0283-01

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決問(wèn)題的過(guò)程[1]。直觀想象是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要素養(yǎng)，表現(xiàn)在能利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型。那么在教學(xué)實(shí)踐中如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力呢？

一、以立體幾何為載體培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

人類本身生活在三維空間里，我們開設(shè)立體幾何這一必修課程對(duì)于幫助學(xué)生們認(rèn)識(shí)我們生活的世界具有很大的現(xiàn)實(shí)意義，而直觀想象能力又是學(xué)生們學(xué)好幾何的關(guān)鍵。因此，通過(guò)數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)是恰當(dāng)﹑適宜的。具體來(lái)講我們有以下幾種途徑培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

1.在觀察中發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)直觀想象教學(xué)主要是通過(guò)對(duì)幾何的講解實(shí)現(xiàn)，所以在教學(xué)活動(dòng)中，組織學(xué)生觀察棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)以及球這些幾何體。學(xué)生通過(guò)對(duì)棱柱的觀察發(fā)現(xiàn)在棱柱中有兩個(gè)面是互相平行的，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行。而在圓柱的觀察中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和棱柱一樣，圓柱也有兩個(gè)互相平行的面，但是中間卻是長(zhǎng)方形構(gòu)成。經(jīng)過(guò)學(xué)生的直觀觀察之后我讓學(xué)生對(duì)空間和幾何體的結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)單講解，學(xué)生能夠總結(jié)著說(shuō)出空間幾何體是由多面體和旋轉(zhuǎn)體簡(jiǎn)單組合形成的。所以在進(jìn)行對(duì)空間幾何體的基礎(chǔ)教學(xué)匯總，組織學(xué)生通過(guò)對(duì)事物的實(shí)際觀察實(shí)現(xiàn)對(duì)空間幾何體基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生在進(jìn)行解題過(guò)程中能夠?qū)臻g幾何體進(jìn)行有效利用，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)題目的作答。長(zhǎng)此以往學(xué)生養(yǎng)成觀察的習(xí)慣后，慢慢地直觀想象能力就能得以加強(qiáng)。

2.利用身邊實(shí)物培養(yǎng)直觀想象能力。

我們生活在三維世界中，身邊的一切事物都是我們學(xué)習(xí)立體幾何的最好模型。在教學(xué)中我們要善于利用好身邊的這些實(shí)物模型，幫助學(xué)生直觀想象能力的形成。如我們的教室就是一個(gè)天然的長(zhǎng)方體、教師里面的電燈、講臺(tái)、門窗、桌椅等都可以抽象成空間幾何體中的點(diǎn)線面。為此我們看一結(jié)合教材教學(xué)內(nèi)容，以同學(xué)們熟悉的場(chǎng)景設(shè)計(jì)模型進(jìn)行舉例，讓學(xué)生感同身受地體會(huì)到總結(jié)所處的空間點(diǎn)線面的各種關(guān)系。再比如我們的課本、隨意翻開課本就是一個(gè)很好的二面角模型，通過(guò)課本的展開我們還可以研究二面角的范圍變化;我們教室門的開關(guān)與閉合正好可以演示線面平行的判定，也可以演示線面垂直的判定。這樣的例子隨處可見。因此在我們的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)中我們都要有意識(shí)地灌輸和利用這種思想。這對(duì)發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力能起到很好的效果。

3.通過(guò)多媒體教學(xué)手段發(fā)展學(xué)生直觀想象能力。

進(jìn)入高中后學(xué)生從認(rèn)識(shí)平面圖形到認(rèn)識(shí)立體圖形是一次飛躍，要有一個(gè)過(guò)程。有的學(xué)生自制一些空間幾何模型并反復(fù)觀察，這有益于建立空間觀念，是個(gè)好辦法。若利用幾何畫板、幾何圖霸、Flash動(dòng)畫等教學(xué)工具對(duì)一些立體圖形進(jìn)行不同角度觀察、揣摩，并且變化出線線、線面、面面位置關(guān)系，探索各種角、各種垂線作法，這對(duì)于建立空間觀念也是好方法。在教學(xué)實(shí)踐中有幾類幾何問(wèn)題是運(yùn)用多媒體手段的最佳選擇。

4.通過(guò)制作幾何模型發(fā)展學(xué)生直觀想象能力。

著名教育家陶行知曾說(shuō)過(guò)“中國(guó)教育之通病是教用腦的人不用手，不教用手的人用腦，所以一無(wú)所能。中國(guó)教育革命的對(duì)策是手腦聯(lián)盟，結(jié)果是手與腦的力量都可以大到不可思議”。簡(jiǎn)單地說(shuō)陶先生教導(dǎo)我們要在學(xué)中做，在做中學(xué)。因此想要學(xué)生的直觀想象能力能得到較好較快的發(fā)展和提高，光靠用腦想象是不夠的，還要把動(dòng)手結(jié)合起來(lái)。具體來(lái)講我們可以要求學(xué)生動(dòng)手制作幾何模型幫助學(xué)生提升直觀想象能力。例如學(xué)完多面體和旋轉(zhuǎn)體以后我們可以開展多面體和旋轉(zhuǎn)體模型制作比賽。通過(guò)比賽既能讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，在實(shí)踐中體會(huì)空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，留下的模型既能為教學(xué)提供教具也可以留在教室供學(xué)生使用幫助學(xué)生解題。另外我們也可以利用網(wǎng)絡(luò)的便捷性，購(gòu)置一些磁鐵棒和磁鐵球，這樣就可以快速地根據(jù)需要拼接出一些我們需要的幾何體幫助學(xué)生理解問(wèn)題。長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣做，學(xué)生的直觀想象能力必然會(huì)得到提升。

二、以解析幾何為載體培養(yǎng)直觀想象能力

解析幾何在本質(zhì)上還是幾何，因此解析幾何題目也是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的一大陣地。筆者的體會(huì)是，充分挖掘好解析幾何的內(nèi)容精心設(shè)計(jì)教學(xué)，對(duì)發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力是十分有效的。例如線性規(guī)劃里面還有一些動(dòng)態(tài)問(wèn)題，如約束條件含參數(shù)，可行域是變化的問(wèn)題;目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)，目標(biāo)函數(shù)的幾何圖形在變化的問(wèn)題。為此在這節(jié)內(nèi)容上我們可以充分利用好多媒體手段，利用幾何畫板等工具將問(wèn)題直觀化形象化動(dòng)態(tài)化，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力是很有幫助的。再如圓錐曲線類問(wèn)題難點(diǎn)在于需要學(xué)生將圓錐曲線與函數(shù)等知識(shí)緊密聯(lián)系，運(yùn)用圓錐曲線圖像分析問(wèn)題構(gòu)建圓錐曲線問(wèn)題的直觀模型。學(xué)生需要一定的直觀想象能力形成解決問(wèn)題的思路，借助幾何直觀可以把圓錐曲線的弦長(zhǎng)、垂直、參數(shù)范圍等問(wèn)題簡(jiǎn)明、形象的表示出來(lái)。解決此類問(wèn)題的主要思想方法是用坐標(biāo)法研究直線與圓錐曲線之間位置關(guān)系及方程與曲線之間的聯(lián)系。借助幾何畫板，學(xué)生能從可視化圖像中鞏固基礎(chǔ)，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)點(diǎn)嘗試建立數(shù)學(xué)模型，找到解題思路。幾何畫板還具有很強(qiáng)的開放性，可以從本質(zhì)上探索圓錐曲線的幾何性質(zhì)。在問(wèn)題解決與問(wèn)題再探究中，增強(qiáng)學(xué)生從幾何直觀的角度來(lái)思考問(wèn)題的意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，提高直觀想象能力。

三、以動(dòng)態(tài)問(wèn)題為載體培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題是指題中圖形存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線、直線或弧線上運(yùn)動(dòng)，求其動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡或者運(yùn)動(dòng)規(guī)律的問(wèn)題[2]。問(wèn)題難點(diǎn)在于需要學(xué)生利用幾何直觀了解動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及數(shù)與形的聯(lián)系，有較強(qiáng)的綜合性。動(dòng)態(tài)圖形問(wèn)題是指圖形通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折或縮放等運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形重疊，并探求圖形之間變化的規(guī)律[2]。問(wèn)題難點(diǎn)在于需要學(xué)生準(zhǔn)確把握?qǐng)D形的形狀變化，注意形狀變化的臨界點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)中分析，在變化中求解。教學(xué)時(shí)可以借助立體幾何畫板可以將文字轉(zhuǎn)化為圖形、化抽象為直觀。直觀呈現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，有助于學(xué)生觀察動(dòng)點(diǎn)的變化情況，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。學(xué)生在圖形變化中探索不變的性質(zhì)，增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀想象解決問(wèn)題的意識(shí)，提高數(shù)形結(jié)合能力，讓直觀想象能力得以形成和發(fā)展。例如立體幾何中探尋點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)到定直線動(dòng)點(diǎn)到某一平面的距離問(wèn)題，傳統(tǒng)教學(xué)在黑板上作圖很難體現(xiàn)出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，而我們只需要使用立體幾何畫板這一工具就可以很方便地讓點(diǎn)運(yùn)動(dòng)起來(lái)，這樣可以幫助學(xué)生提升直觀想象的能力，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。例如，在研究“柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積”時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)方法只是在黑板上畫幾個(gè)圖，給學(xué)生幾個(gè)公式，而利用多媒體技術(shù)可以給出充分多的圖形，讓學(xué)生在觀察中分析眾多圖形，并且在分析后得出結(jié)論，并可以在更多圖形中驗(yàn)證，使學(xué)生自己得到正確的公式。在幾乎是無(wú)限的空間中，研究幾何圖形，從中分析得出正確的結(jié)論，這是傳統(tǒng)教學(xué)不可能做到的，真正做到陳重穆教授提出的“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”的效果，徹底擺脫教學(xué)中“燒中段”的教學(xué)方式，使學(xué)生自己自主地建構(gòu)知識(shí)體系[3]。例如，在教學(xué)“二面角”這一課時(shí)，教學(xué)生如何畫二面角是一個(gè)重要內(nèi)容。教師用傳統(tǒng)的教學(xué)方法在黑板上畫給學(xué)生看，存在一定的弊端。如學(xué)生走神，教師畫時(shí)部分學(xué)生不注意看;教師作圖時(shí)，身體遮擋住部分學(xué)生視線;等等。而運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)，情形就大不一樣了。教師可以先用多媒體演示畫二面角的步驟和基本方法，由于用多媒體演示，手段新穎，學(xué)生的注意力集中，給學(xué)生留下的深刻印象。演示結(jié)束后，教師再到黑板上示范畫角，最后讓學(xué)生獨(dú)立畫角。這樣的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)，符合學(xué)生的心理需求，使學(xué)生對(duì)畫角方法清楚明了，教學(xué)效果好。學(xué)生的直觀想象能力自然就上去了。

四、以數(shù)形結(jié)合問(wèn)題為載體培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，將抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的處理，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。因此，數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，更是一種數(shù)學(xué)思想（方法）[4]。在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中我們經(jīng)常要將一些代數(shù)問(wèn)題幾何化。利用幾何直觀形象的特點(diǎn)幫助我們解題。充分挖掘好數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，把數(shù)的問(wèn)題圖形化形象化，這對(duì)學(xué)生直觀想象能力的提升是有幫助的。例如函數(shù)與方程問(wèn)題經(jīng)常需要將函數(shù)與方程互化，這就是一個(gè)很好的數(shù)形結(jié)合點(diǎn)。如求函數(shù)f（x）=x2+15-x2-6x+13的最大值。直接用函數(shù)方法求解是很難的，但我們不妨將其圖形化。我們不妨將其化為f（x）=（x-0）2+（0-15）2-（x-3）2+（0-2）2這樣就可以看成動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差最大的問(wèn)題。做出圖形后利用三角形兩邊之差小于第三邊即可求出最值。如果老師有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生這樣思考問(wèn)題對(duì)于加強(qiáng)學(xué)生直觀想象能力是十分有幫助的。

總之直觀想象能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，我們?cè)诮虒W(xué)中要結(jié)合教材內(nèi)容精心設(shè)計(jì)，認(rèn)真研究，充分準(zhǔn)備這樣才能起到良好的效果。

參考文獻(xiàn)

[1]黃炳鋒.充分發(fā)揮技術(shù)作用發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].福建基礎(chǔ)教育研究，2016（10）.

[2]喬霽，高琳，龐之與，楊芳，陳莉.超級(jí)畫板對(duì)學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)探究[J].貴州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016（9）.

[3]賈艷敏.運(yùn)用多媒體巧學(xué)立體幾何[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2011，（8上）.

[4]丁杭纓.給學(xué)生一個(gè)立體的“數(shù)學(xué)”——例談“數(shù)形結(jié)合”[J].人民教育2010，（7）.