幾何畫板在數學教學中的應用探索

李如咬

[摘 ? 要]結合具體教學案例，分析幾何畫板在數學教學的應用，突顯幾何畫板輔助數學教學的特有優勢：體現數學源于實踐，源于生活;體現“以學生發展為本”;體現“數學是數學活動的教學”;體現數學的實質內涵.

[關鍵詞]幾何畫板;數學教學;應用

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0009-03

在初中階段，圖形的特征認識及其相關的證明以及函數圖像這些圖形類的內容是學習的重點，也是學習的難點，更是困擾很多學生的“結”點.學生對圖形缺少實際的認識，對規律的認識只停留在概念的層面，難以進行串聯性記憶和綜合運用.如何讓數學課“活”過來，讓學生最大限度地釋放數學思維的火花，很值得我們思考.

幾何畫板讓幾何“活”了，數學“動”了.幾何畫板的最大特點就是“動態性”，并具有簡明、樸素、短小的特點，擁有強大的圖形、圖像和動畫功能，具有入門容易、操作簡單、節省資源等優點.幾何畫板為學生提供了一個進行幾何實驗的環境，為教師和學生提供了一個探索幾何圖形內在關系的平臺.因此，研究幾何畫板在數學教學中的應用有著重要的意義.

一、利用幾何畫板調動學生的學習積極性

在數學教學中，教師發現能真正領悟數學之美的學生很少.其原因大多是教師受傳統教學模式的影響，課堂上講的內容太多，留給學生獨立思考、討論練習的時間太少，學生覺得數學學習枯燥無味，容易出現倦怠、厭煩等不穩定情緒，慢慢地，也就失去了學習數學的興趣.幾何畫板集圖、聲、色、文于一體，能讓學生清楚地看到圖形變化的全過程，化靜為動、化繁為簡、化虛為實，使枯燥的數學知識趣味化，提高學生主動探究的積極性，激活學生的創新思維.

二、利用幾何畫板設計生動的問題情境

一個好的問題情境的設計能激發學生的學習興趣和探究欲望，能使教師教得輕松，學生學得愉快.而利用幾何畫板可設計生動的問題情境.

例如，九年級數學上冊《圖形的旋轉》的教學中，教師首先給學生展示了幾個美麗的動畫，當動畫結束時，出現了一個個美麗的圖案（如圖1）.學生被這些美麗的圖案迷住了，立即產生了濃厚的學習興趣.這樣的開始就預示著課堂教學已成功了一半.在好奇心的驅使下，學生就會結合具體情境，運用已有知識，借助類比、聯想、猜測等方法，與教師共同探索，進行知識遷移，掌握“旋轉”的概念、性質，學會如何進行旋轉作圖.隨著對圖形旋轉概念的深入理解，學生會迫不及待地親自動手設計圖案，教師可適時給予幫助和指正，讓學生感受到學習成功的喜悅.

同一章節中的中心對稱的知識，也可借助幾何畫板加深學生對其變換過程中坐標變化的認識.如圖2中，任意拖動點A、點B、點C、點A′、點B′、點C′中的任一點，改變其線段的長度或方向，圖中的坐標都會隨后展現準確的數值，能讓學生直觀地觀察到各對應點的橫、縱坐標都變為原對應點的橫、縱坐標的相反數.

三、利用幾何畫板指引探究型問題的思考方向

美國實用主義教育學家杜威認為，教學過程是學生直接經驗的不斷改造和增大意義的過程，即“從做中學”的過程.學生應該在做事中學習，做事的過程也就是從做中學的過程.

例如，講授《直線與圓的位置關系》新課之前，我讓學生收集了大量相關的實際素材，同時設計了一些適合學生探究的問題，并嘗試使用幾何畫板制作如下課件以加強視覺感.其中，對直線與圓相切的理解是學生的思維難點，也是本節教學的重點.

課件的基本操作如下：

（1）如圖3，畫出一個半徑為r的圓O以及任意一條直線[l]，過點O作直線[l]的垂線，垂足是E.

（2）拖動直線[l]上任意一點A、點B或整條直線[l]，改變直線與圓的位置關系，讓學生從不同的動態效果多角度地觀察與思考：直線[l]與圓有幾個交點？同時跟蹤線段OE的長度（即圓心O到直線[l]的距離）變化，比較它與半徑r的大小關系.

實驗操作后，學生可以總結變化過程中各種位置關系的特征：當直線[l]與圓有兩個交點時，直線與圓相交，且OEr.

又如，《切線長定理》一節中，也可以設置活動的圖形探尋過圓外一點切線長的形成和切線長定理的有關內容.

為了便于學生理解和操作，如圖4，假設圓外一點P，在圓上取一點B，拖動B點在圓上搜尋并跟蹤觀察何時[∠PBO]等于[90°]，結合此時[∠PBO]的角度和切線長定理易知：PB[⊥]OB，另外不難發現[∠PAO]等于[90°]，PA[⊥]OA，即PA、PB都是圓O經過P點的切線.

學生還可以自主地發現線段PA、PB的長度關系，OP分[∠APB]為相等的兩個角，即OP是[∠APB]的角平分線.在此猜測的基礎上，結合相關的條件和定理不難證明這些結論的正確性.

創設探究型問題，讓學生動手操作、實驗、總結，這種帶著問題的探索是一種模擬數學家探尋結論的類似情境.啟發學生像前人那樣，主動地觀察，獨立地研究，感受數學知識的形成和發展的奇妙過程.實踐出真知，讓學生在實踐操作中學習數學，感受數學的美，增強學生學習數學的興趣，讓學生輕松掌握數學知識.

四、利用幾何畫板培養學生的創造力

幾何畫板除了幫助學生理解概念，使一些抽象、難懂的定理變得易于掌握外，還能彌補傳統解題中的直觀性、立體感和動態感等方面的缺陷.

例如，求證等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

如圖5，等腰三角形ABC中，AB=AC，BC上任意一點D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BH⊥AC于H.求證： DE+DF=BH.該題是八年級比較典型的一道開放性證明題，難度不大，但很經典，證明方法很多.

在幾何畫板中，能生動地看到每種變化有可能帶來的突變.

變化一：當D點在BC的延長線或反向延長線上時，結論就會發生變化，即[DE-DF=BH].

變化二：當D點運動到等腰三角形的內部設為點O時（如圖6），視等腰三角形的形狀而定.（1）當三角形是頂角小于[60°]的等腰三角形時，三段高的和大于腰上的高;（2）當三角形是頂角大于[60°]的等腰三角形時，三段高的和小于腰上的高;（3）當三角形是有一個角為[60°]的等腰三角形，即正三角形時，就有“正三角形內任意一點到三邊的距離的和等于等邊三角形的一條高”的結論.

變化三：當點運動到等邊三角形的外面時，結論形式雖有所不同，但研究道理是相似的.

如圖7，設點P是等邊三角形外一點，P到三角形ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為[h1，h2，h3]，三角形ABC的高為h.通過數據跟蹤觀察結合計算結果，學生很容易接受和理解得出的結論：[h1+h2-h3=h].幾何畫板讓比較難懂的知識變得易于理解，同時逐步培養了學生的抽象概括能力.在經歷了自身的動手操作后，將無形的知識通過有形的操作來掌握，將無趣的數學學習變為有趣的數學學習，使學生對知識的形成感到親切、自然，進而輕松愉快地掌握了知識.

五、利用幾何畫板架設數形結合的橋梁

著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休.”數形結合是一種非常重要的數學思想，在數學發展過程中，數與形結合在一起，內容上互相聯系，方法上互相滲透，并在一定的條件下可以互相轉化.運用數形結合思想，可以使數與形各展其長，使邏輯思維與形象思維完美地統一起來.而幾何畫板為我們提供了這樣的平臺.

靜態的圖形、圖像使原本相互聯系的知識割裂開來，失去了知識之間的內部聯系，會使學生只注意事物的局部而忽視整體.幾何畫板能動態地展示問題的特點，可以克服靜態圖形的缺陷.

例如，九年級下冊《相似》一章中，研究三角形內接矩形的面積變化規律的“數學實驗”.如圖8，在△ABO中，C是OA邊上的任意一點，以C為頂點作△ABO的內接矩形CDEF，使矩形的一邊CD在OA上，點C在OA上運動，矩形CDEF的面積隨之變化.設OC為x，建立x與矩形面積S間的函數關系.讓學生探究，當x變化時，矩形面積的變化特點及是否有最大值.

通過制圖，設立關于x與面積S=FC [×] FE的參數函數，然后幾何畫板自動顯示當C點運動時，對應的動點I（x，S）（S為矩形面積）的運動軌跡（其軌跡為開口向下的一段拋物線）.不斷改變△ABC的形狀，研究△ABC的底邊OA或OA邊上的高變化時，對拋物線形狀有什么影響.當已知OA與OA上高的值時，我們就可以算出x等于多少時，矩形CDEF的面積最大.

對于較復雜、抽象、需有一定想象能力的問題，教師光用嘴和筆常常說不清楚，借助于幾何畫板強大的圖形、圖像功能，把“數”與“形”緊緊結合在一起，將數學實驗引入課堂教學中，可以活躍課堂氣氛，減輕教學負擔，大大激發了學生的學習興趣和促進了學生認知主體作用的有效發揮.

以上便是我利用“幾何畫板”在數學教學中的一些嘗試與探索，幾何畫板作為現代信息技術與教學整合的一項杰出創作，應用幾何畫板可以提高數學教學的直觀性和準確性，彌補了傳統教學方式在直觀感、立體感和動態感等方面的不足，讓學生更深刻地體會到數學“動”的一面，從而達到改進部分章節教學方法和手段的目的，更好地提高課堂教學的有效性.真正體現課堂教學中學生的主體地位和教師的主導地位，對提高學生的數學素質和教師的教學能力有著重要的作用，同時也對我國的素質教育起著重要的推進作用.

[ ?參 ? 考 ? 文 ? 獻 ?]

[1] ?王伍增.新編多媒體課件制作培訓教程：計算機職業培訓叢書[M].北京：化學工業出版社，2008.

[2] ?中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[3] ?繆亮.幾何畫板輔助數學教學[M].北京：清華大學出版社，2006.

（責任編輯 黃桂堅）