重拾分?jǐn)?shù)計算　優(yōu)化運(yùn)算步驟

【摘要】本文論述指導(dǎo)學(xué)生用分?jǐn)?shù)計算優(yōu)化運(yùn)算步驟的方法，通過觀察、分析具體教學(xué)片段，指出學(xué)生在運(yùn)算中面臨的問題，建議利用分?jǐn)?shù)計算簡化運(yùn)算過程，提高學(xué)生的計算能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 分?jǐn)?shù)計算 整體性 運(yùn)算步驟

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）09A-0099-02

計算表面上看起來很簡單，只要學(xué)生掌握了基本的運(yùn)算法則，就可以進(jìn)行運(yùn)算。但在面對一些計算步驟多、數(shù)據(jù)量大的問題時，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)畏懼計算或不愿計算的情況。怎樣幫助學(xué)生提高運(yùn)算能力呢？筆者對小學(xué)高年級計算練習(xí)進(jìn)行調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)計算相對于整數(shù)計算和小數(shù)計算具有運(yùn)算的優(yōu)勢，利用分?jǐn)?shù)計算可以把握計算對象的整體性，使得運(yùn)算過程簡便。

一、問題由來：一陣議論聲打破了備課的“理所當(dāng)然”

小學(xué)高年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)側(cè)重于綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，練習(xí)中存在大量的計算問題。然而，學(xué)生常常為計算而苦惱。

（一）教材情景及簡析

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級下冊第二單元中有這樣一個問題：銀行通常將50枚1元硬幣摞在一起，用紙卷成圓柱形（如下圖）。你能算出1枚1元硬幣的體積大約是多少立方厘米嗎？（得數(shù)保留一位小數(shù)）

問題要求1枚1元硬幣的體積，可以先算出50枚1元硬幣的體積，也可以先算出1枚1元硬幣的厚度，題目意圖在于讓學(xué)生體會靈活運(yùn)用圓柱體積公式解決實際問題的過程。

（二）課堂教與學(xué)的情況

師：你們準(zhǔn)備如何解決這個問題？

生1：先求出大圓柱體積，再除以50，算出1枚硬幣的體積。

師：同意他的想法嗎？

生（齊）：同意。

師：還有別的想法嗎？

生2：我們也可以先算出1枚硬幣的厚度，再求1枚硬幣的體積。

師：這樣可行嗎？

生（齊）：可行。

師：選擇你喜歡的方法，列式計算出1枚硬幣的體積。

（課堂狀態(tài)：教室里一片安靜。過了一會兒，個別學(xué)生在交談。接著，議論聲音變大了）

師：怎么回事？

生3：太難算了！

生4：有四位小數(shù)計算，老師你看，有“3.14×1.5625”。

生5：要是有計算器就好了！

（三）教師對學(xué)生生成的質(zhì)疑

學(xué)生的一句“要是有計算器就好了”，讓筆者意識到，學(xué)生的計算肯定哪兒出了問題，同時也意識到課前備課似乎忽略了什么。筆者打開預(yù)設(shè)的教案，預(yù)設(shè)解題過程是這樣的：

預(yù)設(shè)列式采取綜合算式形式，轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)形式避開小數(shù)運(yùn)算，豎式計算涉及的小數(shù)計算也是學(xué)生熟悉的3.14的乘積，最后小數(shù)除法關(guān)鍵步驟其實只有一步，所以這樣的預(yù)設(shè)并沒有引起筆者過多的注意，但學(xué)生的表現(xiàn)卻打破了筆者備課的“理所當(dāng)然”。

（四）教師直面學(xué)生的生成

筆者思考片刻，直接轉(zhuǎn)向?qū)W生提出的計算問題，踏踏實實地在黑板上計算出來，雖然計算量較大，但能夠計算出來。過程如下：

緊接著，筆者給學(xué)生提了一個問題：“我們能否將算式中的數(shù)處理一下，優(yōu)化計算過程，讓計算不那么繁雜。正好老師這有一種方法，你們覺得這樣的計算過程怎么樣？”（出示預(yù)設(shè)算法）

分析：教學(xué)是教師教與學(xué)生學(xué)的有機(jī)結(jié)合，教學(xué)過程中，學(xué)生的學(xué)有發(fā)生，隨之教師的教應(yīng)生發(fā)生，久而反復(fù)，方可教學(xué)相長。上述環(huán)節(jié)中，教師沒有直接拋棄學(xué)生的計算方法，而是直面學(xué)生的問題所在，解決難計算的問題，幫學(xué)生克服計算困難，樹立計算信心。同時，考慮到學(xué)生思維與教師思維的不一致，對比是學(xué)生與教師思維鏈接最好的橋梁，因此，筆者采取對比的形式呈現(xiàn)教師的計算過程，給學(xué)生自我優(yōu)化及汲取運(yùn)算方法的空間。

二、原因分析：這陣議論聲究竟為何而來

課堂上突如其來的一陣議論聲，讓原本平靜的練習(xí)課變得不平靜，這不平靜的背后究竟隱藏了什么？下面筆者以問題的形式尋找答案。

問題1：學(xué)生到底會不會算？

題目中的計算有平方和小數(shù)的多位數(shù)乘除法，屬于小學(xué)階段計算內(nèi)容，因此，學(xué)生是會計算的。

問題2：學(xué)生為什么不算？

既然學(xué)生會算，但學(xué)生沒有算，問題出在哪兒？回顧學(xué)生的計算過程，較為復(fù)雜的步驟有3.14×1.5625和4.90625×9.25兩步，這兩步都是多位數(shù)小數(shù)乘法，其中3.14×1.5625的計算過程需要計算6步（5步乘法、1步加法），4.90625×9.25的計算過程需要4步，每一步的數(shù)據(jù)量都很大，數(shù)據(jù)量最大的有9位數(shù)。像這樣計算步驟多、數(shù)據(jù)位數(shù)大的計算確實有一定的計算難度，這里計算步驟多、數(shù)據(jù)位數(shù)大主要源于題目信息中的數(shù)字形式——小數(shù)。筆者對大量乘法計算問題出錯原因進(jìn)行調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，問題類型對學(xué)生的影響不大，數(shù)字形式是關(guān)鍵所在，以此看來，數(shù)字的形式是學(xué)生畏懼、不愿計算的主要原因。

問題3：如何解決學(xué)生的不愿意算？

教師預(yù)設(shè)算法的步驟并不比學(xué)生算法的步驟少，但過程中很少涉及豎式計算，且豎式計算量小，易于計算，這是由于教師將算式中的小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，利用分?jǐn)?shù)約分進(jìn)行化簡，減少計算步驟、縮小數(shù)據(jù)量，最后只要計算3.14×37÷128即可。就這道題來看，小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)可以有效解決學(xué)生不愿意算的問題。

三、教學(xué)啟示：重新認(rèn)識分?jǐn)?shù)計算

為什么小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)就可以解決學(xué)生的問題？這需要我們重新認(rèn)識分?jǐn)?shù)計算。

（一）與整數(shù)計算和小數(shù)計算相比分?jǐn)?shù)計算所具備的優(yōu)勢

小學(xué)階段所涉及的運(yùn)算對象有三類：整數(shù)運(yùn)算、小數(shù)運(yùn)算和分?jǐn)?shù)運(yùn)算。與整數(shù)運(yùn)算、小數(shù)運(yùn)算相比，分?jǐn)?shù)運(yùn)算具有的優(yōu)勢具體體現(xiàn)在分?jǐn)?shù)可以與小數(shù)、整數(shù)相互轉(zhuǎn)化形式，分?jǐn)?shù)計算知識與除法、比的知識相通。例如：將一個直徑是3厘米的圓放大成半徑為6厘米的圓，放大后的圓的面積與放大前圓的面積的比是多少？

此過程利用比的意義、分?jǐn)?shù)除法等知識，在整數(shù)范圍里通過約分得出結(jié)果（如右圖左）。如果將“直徑3厘米”用小數(shù)求出半徑為1.5厘米，按照題意，這時需要通過小數(shù)除法計算，相比之下，利用分?jǐn)?shù)計算具有優(yōu)勢。

（二）分?jǐn)?shù)計算關(guān)注計算對象的整體性

在混合運(yùn)算中，分?jǐn)?shù)運(yùn)算側(cè)重于計算對象的整體性，以上面例題為例（如下圖），左邊是利用分?jǐn)?shù)計算過程，計算中將3.14后面的數(shù)據(jù)看成一個整體，借助分?jǐn)?shù)約分進(jìn)行整體計算，突出計算對象之間的關(guān)系。再看圖中右邊的計算過程，在混合四則運(yùn)算的順序下，從左往右依次計算，表現(xiàn)出純粹的計算性。由此看來，分?jǐn)?shù)計算過程表現(xiàn)出計算對象的運(yùn)算特性。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生重運(yùn)算的意識。利用分?jǐn)?shù)計算過程，需要考慮計算對象之間的關(guān)系，利用約分前需要做好觀察、思考、轉(zhuǎn)化等準(zhǔn)備工作（發(fā)現(xiàn)25，并將25與50約分），更能體現(xiàn)出計算的數(shù)學(xué)思維，具有良好數(shù)感的學(xué)生能夠更好地把握計算對象的整體性。

（三）分?jǐn)?shù)計算易于呈現(xiàn)計算的簡化步驟

小學(xué)高年級學(xué)生在計算中不僅會思考問題的解題思路，而且還會考慮是否存在簡便的計算步驟，由于分?jǐn)?shù)計算關(guān)注計算對象的整體性，使得計算過程中簡化的步驟更利于發(fā)現(xiàn)。例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級下冊第六單元練習(xí)八第7題：小青家到梅花山的路程大約4.2千米，以12千米/時的速度騎自行車前往，需要多少分鐘到達(dá)？解答過程如下，第二種解題過程更利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)計算中的簡便因素（12與60約分）。

小學(xué)是學(xué)生從具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過渡的階段，分?jǐn)?shù)計算過程關(guān)注計算對象的整體性，突顯計算對象的內(nèi)在關(guān)系，符合形式運(yùn)算的特質(zhì)。分?jǐn)?shù)計算通常涉及分?jǐn)?shù)加減法通分、分?jǐn)?shù)乘法約分和分?jǐn)?shù)除法中倒數(shù)等，這些問題中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)形式結(jié)構(gòu)，通過解決分?jǐn)?shù)計算問題有助于學(xué)生順利完成這種過渡。

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作者簡介：謝云龍（1984— ），男，江蘇南京人，小學(xué)一級教師，大學(xué)本科學(xué)歷，江北新區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 雷 靖）