關于復變函數求極限的方法淺談

彭興媛

摘 ?要：在學習復變函數這門課程時，求極限是復變函數這一章當中非常重要的知識點。本文就關于求復變函數極限的常用方法進行了淺談，希望能給予初學者一些參考。

關鍵詞：復變函數 ?極限 ?二元函數

中圖分類號：O151 ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-1578（2019）11-0022-01

1 ? 引言

在高等數學里，求函數的極限是一個非常重要的內容，并由此展開了函數的連續、導數等等內容，同樣，在復變函數與積分變換這門課程里，求復變函數的極限也存在同樣的地位，所以對于給出的一個復變函數判斷其極限是否存在，若存在則極限是多少這樣的問題就變得非常重要。從本文的討論中還可以發現復變函數與二元實變量函數的聯系相當緊密。

2 ? 求極限的方法

2.1 利用復變函數極限的定義

設函數f（z）在z0的某個去心領域內有定義，若對任意

給定的正數ε，總存在正數δ（ε），使得對于滿足不等式

0<|z–z0|<δ（ε）的一切z，其函數值f（z）都滿足不等式

|f（z）–A|<ε，那么，常數A就叫做函數f（z）當z趨向z0時的極限，記作：f（z）A→A（當z→z0）。值得注意的是，定義中z→z0的方式是任意的。現在我們通過例子來理解如何利用定義求函數極限。

例1：若z→z0時，有f（z）→A，則：當z→z0時，有|f（z）|→|A|。

證明： 因為在z→z0時，有f（z）→A。

根據定義可得，對任意給定的正數ε，總存在正數

δ（ε），當一切z滿足0<|z–z0|<δ（ε）時，有|f（z）–A|

<ε。

且又有||f（z）|–|A||≤|f（z）–A|<ε，故由極限定義可知該結論成立。

可見利用定義證明極限存在的關鍵就在于能否找到

δ（ε）。

例2：證明函數f（z）=e1/z在z趨向0時的極限不存在。

證明：因為z趨向0的方式是任意的，所以現在取兩種特殊的趨近方式：

第一種，當z沿著正實軸趨于0時，此時復變函數退化成實變量函數f（x）=e1/x，且該函數趨向于+∞。

第二種，當z沿著負實軸趨于0時，此時實變量函數f（x）=e1/x卻趨向于0，即z沿著不同方式趨向0，函數f（z）將趨向于不同的值，故由極限定義可知該函數的極限是不存在的。

2.2 利用復變函數極限的定理

設f（z）=u（x，y）+iv（x，y）， z0=x0+iy0， A=a+ib， 那么f（z）→A（當z→z0）的必要與充分條件為：u（x，y）→a， v（x，y）→b（其中（x，y）→（x0，y0））。

下面，我們通過典型例題來理解如何利用該定理證明函數的極限是否存在。

例題：證明函數f（z）=Re（z）/|z|，在z趨向0時的極限不存在。

證明：方法一，可設z=x+iy，則函數

f（z）=Re（z）/|z|=x/，

所以u（x，y）==x/，v（x，y）=0。

當z沿直線y=kx趨于0時，有

u（x，y）= ?x/= ±1/。

顯然極限值隨k值不同而不同，因而根據高等數學中所學的二元函數極限的定義可知，u（x，y）在（x，y）趨于（0，0）時的極限不存在，雖然v（x，y）的極限存在，但根據本定理可知該復變函數f（z）的極限仍是不存在。

實際上本例題除了利用定理求極限外，還可以考慮另一種更為簡單的方法。

方法二：設z=r（cosθ+isinθ）（將變量z表示成三角表達

式），其中r=|z|，θ=arg（z），則f（z）=cosθ。

所以，當z沿著不同的射線θ=arg（z）趨向于0時，cosθ趨于不同值，即f（z） 趨于不同值，故極限不存在。

將該方法與定理進行比較，不難發現，此方法解題更為巧妙，且計算難度大大降低。

3 ? 結論

我們可以看到無論哪種方法都能將復變函數的極限存在與否，如果存在且是多少都能求出，但每種方法各有優缺點。利用定義求極限關鍵在于能否找到合適的δ（ε），如果函數較為復雜，則δ（ε）不容易找出，而根據定理求極限的優點在于將復變函數求極限的問題轉化成了兩個二元實變量函數求極限的問題，也就是將復變函數的知識轉變成高等數學的內容，利用學過的知識解決現在的問題，且該方法較為直觀，操作步驟簡便，但同樣的，如果二元實變量函數的表達形式較為復雜，則求極限也會相應變得困難，所以在做題時，一定要先考察函數形式，再采用合理簡便的方法。

參考文獻：

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