復變函數與積分變換教學的體會

肖莉　陳榮三　張林麗

【摘要】復變函數與積分變換是工科學生必修的一門非常重要的基礎課程，本文主要討論了這門課程教學中的問題，提出了提高這門課程的教學效果的一些方法.

【關鍵詞】復變函數；積分變換；高等數學

復變函數是實變函數在復數域內的推廣與發展，復變函數的理論與方法在數學、自然科學和工程技術中有著廣泛的應用，是解決流體力學、熱學等中的平面問題的有力工具.而積分變換是數學中將復雜運算轉化為簡單運算的有效變換手段，它的理論與方法不僅在數學的許多分支中，而且在其他自然科學中均有著廣泛的應用，它已成為不可缺少的運算工具.正是由于復變函數與積分變換理論與方法的重要性，因此這門課程是許多工科專業如自控等專業必修的數學課程，學好這門課程可以為工科學生學習后續專業課程如“數學物理方程”等打下良好的數學基礎.

但是學生對這門課程的了解不夠，所以對它的認識存在一些誤區：學生認為這門課程的實用性不強，很難想象它在現實生活與實踐中的應用價值.同時由于學習過程中復變函數需要理解記憶的概念與定義很多，所以學生普遍感覺理論性偏強；積分變換接觸一些抽象枯燥的變換公式，這更加讓學生認為這是一門純理論沒有實用性的課程因而失去學習它的興趣.在復變函數中很多概念是實變函數在復數域的推廣，因此很多學生只看到了復變函數與實變函數的相同之處沒有看到它們之間的區別，覺得這門課程是高等數學內容的重復學習，認為學習這門課程既浪費時間又沒有什么意思.另外由于課程的學時設置與后續專業課設置等原因都對這門課的教學效果產生了影響，比如學時太少教學內容很難展開，后續相關課程與這門課學習時間間隔較長，學生已經遺忘所學內容對后續課程的學習沒有起到很好的幫助作用.

鑒于此，我們在教學過程中，如何幫助學生尋找合適的“竅門”，降低學習難度，激發學習興趣，對學生學好“復變函數與積分變換”非常重要.我認為為了取得較好的教學效果可以從以下幾個方面做：

首先應該讓學生了解學習這門課的重要性，特別是對后續課程學習的影響.因此針對不同的專業要首先了解該專業的課程，具體地指出學習這門課程對后續專業中的哪些課程的哪些內容會有幫助.比如“復變函數與積分變換”的內容與“工程力學”“電工技術”等課程的聯系十分密切，我們就可以在這些課程中找出相關的例子給學生，讓他們知道學習這門課的必要性和重要性.如我們可以具體給學生指出Laurent級數可以應用于數字信號處理中，利用Laurent級數直接寫出離散數字信號的Z變換；又如Laplace變換可以幫助我們求電流，因為串聯電路上電壓、電阻、電流、電感、電容就滿足一個微積分方程，要求串聯電路的電流問題也就變成了求解微積分方程的問題，而拉斯變換正是求微積分方程的有力工具.所以在課時允許的條件下我們應該盡可能舉出一些實際的例子，讓學生體會學習這門課程的重要性，也增強學生學習這門課程的興趣.

其次，我們一定要讓學生知道復變函數與高等數學之間的關系.復變函數與積分變換和高等數學的聯系是很緊密的，復變函數中的許多理論、概念和方法是實變函數在復數域的推廣，但也要明白它與實變函數的許多不同之處.在學習過程中一定要注意它的相同與不同，只有這樣才能學好這門課程.在講課過程中要強調不同之處，提醒學生要特別注意這些不同的地方，比如指數函數在復變函數里面具有了周期性、負數可以求對數、正弦函數與余弦函數不再有界等等，因為學生在學習完高數后再來學習復變函數很容易將原來已經學到的知識平移到復數域而犯一些不該犯的錯誤.當然在講課中也應該指出相同的地方，如在復數域我們也有洛比塔法則、一些初等解析函數的泰勒展開式與實函數的結果類似、求導法則不變等，指出這些可以減輕學生的學習任務，因為在高等數學的基礎上這些相同或類似結論的記憶變得十分簡單，對提高學生的學習效率是有幫助的.然而最重要的是要讓學生了解怎樣用學過的高數的知識學習復變函數，又如何用復變函數的知識解決高數里面的問題.這樣可以讓學生在學習過程中做到既學習了新知識又鞏固了舊知識.因此在學習過程中應該經常提醒學生注意復變函數與實變函數的關系.復變函數實際上相當于兩個二元實函數，因此在復變函數學習中我們經常要用到與二元函數有關的知識與解題方法，比如當要證明復變函數不連續時，實際上就變成了證明兩個二元函數不連續，因為復變函數連續當且僅當虛部與實部所對應的兩個二元函數連續；又比如討論復級數的斂散性其實就是討論對應的兩個實級數的斂散性，因為復級數收斂當且僅當虛部與實部所對應的兩個實級數收斂，這樣的例子在復變函數里面很多，從這些例子看出高數的知識對于解決復變函數的問題是很有用的.同時也應該看到不僅如此，復變函數里的知識也可以幫助解決高數的問題，如在高數里面一些不能求解的積分，可以將它們轉化為復積分，再利用復變函數里面留數定理求出實積分，這也是復變函數里面留數這一章學習的重點即留數的應用.至于積分變換與高數的聯系也是十分緊密的，在引入傅立葉變換時會講到傅立葉積分，而傅立葉積分的推導是從傅立葉級數開始的，這是大家在高數里面學習過的重要內容.總之在學習“復變函數與積分變換”的過程中一定要和學生強調這門課程與高數的關系，應該提醒學生注意相關概念之間的異同，只有這樣才能讓學生很好地將這它們聯系起來，達到最佳的學習效果.

以上就是我自己多年講授“復變函數與積分變換”這門課程中的一些體會和感受，希望能和大家分享，也希望“復變函數與積分變換”這門十分重要的課程能夠讓學生喜歡它并學好它.

【參考文獻】

[1]東南大學數學系.積分變換[M].北京：高等教育出版社，2008.